Kiến thức

Bất đẳng thức-ToanHoc.org

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một một mảng kiến thức khó và rộng trong chương trình toán THPT, vì vật hôm nay

Toán Học

xin chia sẻ đến bạn lý thuyết, phương pháp chứng minh các bất đẳng thức thường gặp và bài tập tự luyện kèm đáp án. Bài viết này sẽ bám sát kiến thức sách giáo khoa, đồng thời sẽ nêu những kiến thức cần ghi nhớ để giúp bạn đọc nhớ lâu, rèn luyện kĩ năng giải bài tập. Mời các bạn theo dõi

Mục lục

ẩn

1. Lý thuyết bất đẳng thức

a) Bất đẳng thức là gì?

b) Tính chất

c) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức Côsi

2. Các dạng bất đẳng thức

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và tích chất cơ bản

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất và chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cauchy

Dạng 3: Đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức

Dạng 5: Sử dụng bất đẳng thức phụ

1. Lý thuyết bất đẳng thức

Bạn đang xem: Bất đẳng thức-ToanHoc.org

a) Bất đẳng thức là gì?

Cho a, b là hai số thực.

Các mệnh đề “a > b”, “a < b”, “a ≥ b”, “a ≤ b” được gọi là những bất đẳng thức.

bất đẳng thức lớp 10

b) Tính chất

bất đẳng thức

Xem thêm: Cách sử dụng của May và Might trong tiếng Anh-Phân biệt May và Might trong tiếng Anh

c) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức Côsi

a) Đối với hai số không âm

Cho a ≥ 0, b ≥ 0, ta có $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$ . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b

Hệ quả :

  • Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
  • Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

b) Đối với ba số không âm

Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, ta có $frac{a+b+c}{3}ge sqrt[3]{abc}$. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Lưu ý: Để hiểu sâu hơn về có thể xem lý thuyết và bài tập

bất đẳng thức Cauchy

 ở phần trước

2. Các dạng bất đẳng thức

Xem thêm: Cấu trúc với Both And và cách sử dụng chính xác nhất-Tiếng Anh Free

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và tích chất cơ bản

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ≥ B ta có thể sử dụng các cách sau:

  • Ta đi chứng minh A – B ≥ 0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A – B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
  • Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.

Ví dụ minh họa

Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng

Ví dụ : Cho hai số thực a, b, c. Chứng minh rằng các BĐT sau

a) $able frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}$

b) $3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)ge {{left( a+b+c right)}^{2}}$

c) ${{left( a+b+c right)}^{2}}ge 3left( ab+bc+ca right)$

Lời giải

a) Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{(a-b)}^{2}}ge 0Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge 2ab$.

Đẳng thức$Leftrightarrow a=b$.

b) BĐT tương đương $3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca$

$Leftrightarrow {{left( a-b right)}^{2}}+{{left( b-c right)}^{2}}+{{left( c-a right)}^{2}}ge 0$ (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

c) BĐT tương đương ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2cage 3left( ab+bc+ca right)$

$Leftrightarrow 2left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)-2left( ab+bc+ca right)ge 0$

$Leftrightarrow {{left( a-b right)}^{2}}+{{left( b-c right)}^{2}}+{{left( c-a right)}^{2}}ge 0$ (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là “bổ đề” trong chứng minh các BĐT khác.

Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt

Toán 10 bất đẳng thức

Ví dụ: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}<2(ab+bc+ca)$.

Lời giải

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có $a+b>cRightarrow ac+bc>{{c}^{2}}$.

Tương $bc+ba>{{b}^{2}};text{ }ca+cb>{{c}^{2}}$ cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm

chuyên đề bất đẳng thức

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất và chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cauchy 

Khi sử dụng

bất đẳng thức Cauchy

 (

Cauchy

), bạn cần nhớ kĩ 4 lưu ý sau đây:

Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2$. Chứng minh rằng $left( frac{a}{b}+frac{b}{a} right)left( frac{a}{{{b}^{2}}}+frac{b}{{{a}^{2}}} right)ge 4$

Lời giải

Các bất đẳng thức

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau$A=frac{{{x}^{2}}-x+3}{sqrt{1-{{x}^{3}}}}$ với $x<1$

Lời giải

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của $P=frac{sqrt{bc}}{a+2sqrt{bc}}+frac{sqrt{ca}}{b+2sqrt{ca}}+frac{sqrt{ab}}{c+2sqrt{ab}}$

Lời giải

Các bất đẳng thức cần nhớ

Xem thêm: Danh sách các trường Đại học công lập ở Hàn Quốc

Dạng 3: Đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức

Đặt ẩn phụ là một trong những kĩ thuật hay khi chứng minh bất đẳng thức, thể hiện được tính sáng tạo của người làm toán. Việc đặt ẩn phụ một cách khéo léo sẽ giúp ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh trở thành những bất đẳng thức quen thuộc và dễ chứng minh hơn. Trong khuôn khổ nhất định của bài viết, chúng tôi xin đuợc trao đổi cùng các bạn về một số cách đặt ẩn phụ khi gặp một số bất đẳng thức đại số gồm 3 biến với giả thiết

Ví dụ 1: Cho các số dương a, b, c. Hãy chứng minh rằng $frac{a+b}{a+b+c}+frac{6b+8c}{2a+b}+frac{3a+2b+c}{b+c}ge 7$

Lời giải

Cách chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 2: Cho x, y, z là số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1,5. Chứng minh rằng $x+y+z+frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}ge frac{15}{2}$.

Lời giải

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng 5: Sử dụng bất đẳng thức phụ

Điều quan trọng dạng toán này là cần phát hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức phụ có thể là những BĐT cơ bản đã có hoặc là chúng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chúng ta dự đoán và đưa ra BĐT phụ từ đó vận dụng vào bài toán.

Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng: $frac{a}{{{b}^{3}}}+frac{b}{{{c}^{3}}}+frac{c}{{{a}^{3}}}ge frac{a+b+c}{abc}$

Lời giải

bài tập về bất đẳng thức

Ví dụ 2: Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng $frac{a}{1+a}+frac{b}{1+b}+frac{c}{1+c}le frac{3}{4}$.

Lời giải

bất đẳng thức

Để hiểu sâu hơn về bất đẳng thức bạn có thể tìm đọc bài

bất đẳng thức côsi

đã chia sẻ ở bài trước. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn đọc.

 

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button