Kiến thức

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT TOÁN 12

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT: TOÁN 12 CHƯƠNG 2 BÀI 6

Bạn đang xem: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT TOÁN 12

I. Bất phương trình mũ cơ bản

ax > b ( hoặc ax < b; ax ≥ b; ax ≤ b), trong đó a,b là hai số đã cho, a> 0, a≠1.

Ta thường giải

bất phương trình

mũ cơ bản bằng cách logarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của

hàm số logarit

. Logarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế đều dương) theo cơ số lớn hơn 1( nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm):

– Nếu b > 0 và a > 1 thì

ax > b ⇔ logaax > logab ⇔  x > logab;

ax ≥ b ⇔  x ≥  logab

ax <  b ⇔  x < logab;

ax ≤ b ⇔  x ≤  logab

– Nếu b>0 và 0<a<1

ax > b ⇔ logaax < logab ⇔  x < logab;

ax ≥ b ⇔  x ≤  logab

ax <  b ⇔  x > logab;

ax ≤ b ⇔  x ≥ logab

– Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình ax > b, ax ≥ b  đều đúng với mọi x (tập nghiệm là R)

– Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình ax < b, ax ≤ b đều vô nghiệm

II. Bất phương trình logarit cơ bản dạng logax > b (hoặc logax < b; logax ≥b; logax ≤ b)

trong đó a,b  là hai số đã cho,a>0, a≠1

Ta giải bất phương trình logarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương.

– Nếu a > 1 thì

logax ≥  b ⇔ x ≥ ab

logax  < b ⇔ 0 < x < ab ;

logax ≤  b ⇔ 0 < x ≤ ab

– Nếu 0 < a < 1 thì

logax  > b ⇔ alogax < a⇔ 0 < x < ab ;

logax ≥  b ⇔ 0 < x ≤ ab

logax  < b ⇔  x > ab ;

logax ≤  b ⇔ x ≥  ab

III. Chú ý

Các bất phương trình mũ, bất phương trình logarit cơ bản nêu trên trong trường hợp b =aα( đối với bất phương trình mũ cơ bản) và b =logaα ( trường hợp bất phương trình logarit  cơ bản) thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit để giải, không cần logarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:

Nếu a > 1 thì a> aα ⇔ x > α;

Nếu 0 < a < 1 thì logax > logaα ⇔  0 < x < α;…

BÀI TẬP
BÀI 1: Giải bất phương trình mũ: 2x+2−x−3<0

Lời giải chi tiết

BPT⇔2x+1/2x−3<0

Đặt 2x=t. ĐK: t > 0.

Ta có bất phương trình:

t+1/t−3<0

⇔(t²−3t+1) / t<0

⇔t²−3t+1<0 ( do t>0)

⇔ (3−√5) / 2<t< (3+√5) / 2

⇔(log23−√5) / 2<x<(log23+√5) / 2

BÀI 2: Giải bất phương trình mũ:

log1/2(2x+3)>log1/2(3x+1) (1)

Lời giải chi tiết

Điều kiện: 2x+3>0 và 3x+1>0

⇔x>−3/2 và x>−1/3

⇔x>−1/3

log1/2(2x+3)>log1/2(3x+1)

⇔2x+3<3x+1

⇔2x−3x<1−3

⇔−x<−2

⇔x>2

Kết hợp điều kiện ta được x>2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(2;+∞).

Chú ý:

Các em có thể trình bày cách khác như sau:

log1/2(2x+3)>log1/2(3x+1)

⇔0<2x+3<3x+1

⇔2x+3>0 và 2x+3<3x+1

⇔x>−3/2 và −x<−2

⇔x>2

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button