Kiến thức

Biện luận nghiệm phương trình lượng giác chứa tham số-Hoc247.vn

Bạn đang xem: Biện luận nghiệm phương trình lượng giác chứa tham số-Hoc247.vn

Biện luận nghiệm phương trình lượng giác chứa tham số

26/08/2016 15:56

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)

 » 

Tổng hợp phương trình lượng giác trong các đề thi từ năm 2002 đến nay

 » 

Hình học không gian – P1: Các công thức đã học ở lớp 9-10 cần nhớ

 » 

Hình học không gian – P.2 Tổng hợp lý thuyết lớp 11

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 7: Phương trình lượng giác chứa căn thức

 » 

Hình học không gian – P3: Các công thức tính thể tích

Biện luận nghiệm của phương trình lượng giác chứa tham số là một dạng toán khó. Bài viết giới thiệu hai cách làm phổ biến với dạng toán này: thứ nhất đưa về phương trình lượng giác cơ bản, cách thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm

Biện luận nghiệm của phương trình lượng giác chứa tham số là một dạng toán khó. Bài viết giới thiệu hai cách làm phổ biến với dạng toán này: thứ nhất đưa về phương trình lượng giác cơ bản, cách thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. 

Mời các em tham khảo bài viết sau để trang bị cho mình một số kĩ năng để làm dạng toán này:

1. Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng  phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp

+ Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác

+ Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Định m để phương trình ({m^2} - 3m + 2)c{rm{o}}{{rm{s}}^2}x = m(m - 1)(1) có nghiệm

Giải:

(1) Leftrightarrow left( {m - 1} right)left( {m - 2} right){cos ^2}x = mleft( {m - 1} right)(1')Khi

Khi m=1: (1) Luôn đúng forall x in R

Khi m=2: (1) Vô nghiệm

Khi m ne 1;m ne 2 

(1')Leftrightarrow left( {m - 2} right){cos ^2}x = m Leftrightarrow {cos ^2}x = frac{m}{{m - 2}}{rm{ (2)}}

Khi đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi 0 le frac{m}{{m - 2}} le 1 Leftrightarrow m le 0

Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi: m le 0,{rm{ }}m = 1

Bài 2: Định m để phương trình m{cos ^2}x - 4sin xcos x + m - 2 = 0 (2) có nghiệm trên khoảng left( {0;frac{pi }{4}} right)

Giải:

Với x in left( {0;frac{pi }{4}} right) thì cos x ne 0 nên chia hai vế của (2) cho {cos ^2}x ta được:

m - 4tan x + left( {m - 2} right)left( {1 + {{tan }^2}x} right) = 0

Leftrightarrow left( {m - 2} right){tan ^2}x - 4tan x + 2m - 2 = 0{rm{ }}left( {2'} right)

Đặt t = tan x{rm{ }}{rm{, }}t in left( {0;1} right)

Khi đó: left( {2'} right) Leftrightarrow left( {m - 2} right){t^2} - 4t + 2m - 2 = 0

Leftrightarrow mleft( {{t^2} + 2} right) = 2{t^2} + 4t + 2 Leftrightarrow frac{{2left( {{t^2} + 2t + 1} right)}}{{{t^2} + 2}} = m

Giả sử: gleft( t right) = frac{{2left( {{t^2} + 2t + 1} right)}}{{{t^2} + 2}}

Rightarrow g'left( t right) = frac{{ - 4left( {{t^2} - t - 2} right)}}{{{{left( {{t^2} + 2} right)}^2}}} = frac{{4left( {2 - t} right)left( {t + 1} right)}}{{{{left( {{t^2} + 2} right)}^2}}} > 0,forall t in left( {0;1} right)

Rightarrow gleft( t right) tăng trên khoảng (0;1) 

Rightarrow gleft( t right) = m có nghiệm t in left( {0;1} right) Leftrightarrow m in left( {g(0);g(1)} right) equiv left( {1;2} right)

Vậy: m in left( {1;2} right) thì phương trình đã cho có nghiệm.

2. Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số

Giả sử phương trình lượng giác phụ thuộc m có dạng: g(x,m) = 0(1). Định m để phương trình (1) có nghiệm x in D

Phương pháp

  1. Đặt ẩn phụ t = varphi (x) , điều kiện của t
  2. Chuyển điều kiện của x in D sang t in T
  3. Đưa (1) về dạng f(t) = h(m){rm{ (2)}}
  4. Tính f'(t) , lập bảng biến thiên 
  5. (1) có nghiệm x in D  khi và chỉ khi (2) có nghiệm t in T  khi và chỉ khi y = h(m)có điểm chung với y = f(t)
  6. Dựa vào bảng biến thiên suy ra giá trị của m.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Tìm những giá trị của m để phương trình: 2{sin ^2}x - 6sin xcos x - 3{cos ^2}x + m = 0(1)  có nghiệm 

Giải: 

(1)Leftrightarrow 2frac{{1 - c{rm{os}}2x}}{2} - 3sin 2x - 3frac{{1 + c{rm{os}}2x}}{2} + m = 0

begin{array}{l} Leftrightarrow 2 - 2cos 2x - 6sin 2x - 3 - 3cos 2x + 2m = 0\ Leftrightarrow 6sin 2x + 5cos 2x = 2m - 1{rm{ (1')}} end{array}

Khi đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi (1′) có nghiệm

begin{array}{l} Leftrightarrow {a^2} + {b^2} ge {c^2} Leftrightarrow 36 + 25 ge {left( {2m - 1} right)^2}\ Leftrightarrow - sqrt {61} le 2m - 1 le sqrt {61} Leftrightarrow frac{{1 - sqrt {61} }}{2} le m le frac{{1 + sqrt {61} }}{2} end{array}

Vậy: frac{{1 - sqrt {61} }}{2} le m le frac{{1 + sqrt {61} }}{2} thì phương trình (1) có nghiệm.

Bài 2: Định m để phương trình: 4({sin ^4}x + {cos ^4}x) - 4({sin ^6}x + {cos ^6}x) - {sin ^2}4x = m(2) có nghiệm

Giải:

$(2) Leftrightarrow 4left( {1 - 2{{sin }^2}x{{cos }^2}x} right) - 4left( {1 - 3{{sin }^2}x{{cos }^2}x} right) - {sin ^2}4x = m

Leftrightarrow 4left( {1 - frac{1}{2}{{sin }^2}2x} right) - 4left( {1 - frac{3}{4}{{sin }^2}2x} right) - {sin ^2}4x = m

begin{array}{l} Leftrightarrow {sin ^2}2x - {sin ^2}4x = m\ Leftrightarrow frac{1}{2}left( {1 - cos 4x} right) - left( {1 - {{cos }^2}4x} right) = m\ Leftrightarrow {cos ^2}4x - frac{1}{2}cos 4x - frac{1}{2} = m{rm{ }}(2') end{array}

Đặt t = cos 4x{rm{ }}{rm{,}} - 1 le t le 1

Khi đó: (2') Leftrightarrow {t^2} - frac{1}{2}t - frac{1}{2} = m

(2) có nghiệm khi và chỉ khi (2′) có nghiệm t in left[ { - 1;1} right]

Xét hàm số f(t) = {t^2} - frac{1}{2}t - frac{1}{2}{rm{ }}{rm{, }}t in left[ { - 1;1} right]

Ta có: f'(t) = 2t - frac{1}{2} Rightarrow f'(t) = 0 Leftrightarrow t = frac{1}{4}

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình (2) có nghiệm khi  - frac{9}{{16}} le m le 1

Bài 3: Chứng minh rằng 3sin x + 4cos x + (2m - {m^2} - 7)x + 2009 = 0 (3) luôn có đúng một nghiệm forall m in R

Giải:

(3)Leftrightarrow 3sin x + 4cos x + left[ {{{(m - 1)}^2} + 6} right]x + 2009 = 0

Đặt: f(x) = 3sin x + 4cos x + left[ {{{(m - 1)}^2} + 6} right]x + 2009

Rightarrow f'(x) = 3cos x - 4sin x - {left( {m - 1} right)^2} - 6

Xét:

$left| {3cos x - 4sin x} right| = sqrt {25left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)} = 5

Rightarrow 3cos x - 4sin x le 5 Rightarrow 3cos x - 4sin x - 5 le 0

Do đó: 3cos x - 4sin x - {left( {m - 1} right)^2} - 6 < 0,forall x

Bảng biến thiên:

Suy ra phương trình f(x) = 0 luôn có một nghiệm forall m in R.

Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích được nhiều cho các em trong quá trình chuẩn bị cho những kì thi quan trọng.

Theo dõi 

hoc247.net 

để đón xem những tài liệu 

luyện thi ĐH 

mới nhất.

Link tải file: 

https://drive.google.com/file/d/0B58d8CulUwaNZUJMNW85cmdKMDg/view?usp=sharing

(Mod Toán)

TIN LIÊN QUAN

  • Học và thi môn giáo dục công dân không khó (06/03)

  • Bảng nhận biết các chât hữu cơ (15/11)

  • Tổng hợp công thức Vật lý lớp 12 (14/11)

  • Bí quyết viết mở bài môn Ngữ Văn (14/11)

  • Những lời chúc bằng tiếng Anh cực ý nghĩa gửi tặng thầy cô nhân ngày 20/11 (14/11)

  • ‘House’ và ‘Home’ trong tiếng Anh (11/11)

  • Lý thuyết và bài tập Đọc – Hiểu môn Ngữ văn lớp 12 (11/11)

  • 9 bước để ghi nhớ mọi nội dung học hiệu quả (10/11)

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button