Kiến thức

Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng.

Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng.

Trung bình: 5
Đánh giá: 2
Bạn đánh giá: Chưa

Bài viết giúp bạn cũng cố, nắm chắc lý thuyết đồng biến nghịch biến của hàm số. Giải một dạng toán phổ biến “Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng”.

I-Nhắc lại lý thuyết

Bạn đang xem: Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng.

1) Định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cho hàm số y=fx xác định trên khoảng K, với mọi x1,x2∈K. Khi đó : 

  • fx đồng biến trên K khi và chỉ khi x1<x2⇒fx1<fx2.
  • fx nghịch biến trên K khi và chỉ khi x1<x2⇒fx1>fx2.

2) Mối quan hệ giữa tính đơn điệu(đồng biến,nghịch biến) của hàm số và dấu của đạo hàm.

  • Nếu f'(x)≥0,∀x∈K thì fx đồng biến trên K.
  • Nếu f'(x)≤0,∀x∈K thì fx nghịch biến trên K.

II-Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K là ℝ=-∞;+∞.

  * Phương pháp giải :  

  • Bước 1. Tính y’.  Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên ℝ thì y’≥0 y’≤0,∀x∈ℝ.
  • Bước 2. Thường gặp y’ là một tam thức bậc hai nên ta dựa vào các nhận xét sau để tìm m :

                       + Bất phương trình ax2+bx+c≥0,∀x∈ℝ⇔a>0△≤0.

                       + Bất phương trình ax2+bx+c≤0,∀x∈ℝ⇔a<0△≤0.

   * Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số y=13×3-2×2+m-2020x+3 đồng biến trên ℝ.

A. m≤2024 B.m≥-2024 C.m≤-2024 D.m≥2024

Lời giải : 

  • Ta có y’=x2-4x+m-2020
  • Hàm số đồng biến trên ℝ khi :

           y’≥0,∀x∈ℝ⇔x2-4x+m-2020≥0,∀x∈ℝ

     ⇔a=1>0 (luôn đúng)△’=22-1m-2020≤0⇔22-1m-2020≤0⇔m≥2024.

  • Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=-x3+m-3×2-m+3x+2020 nghịch biến trên -∞;+∞.

A.m≥9 hoặc m≤0. B.0≤m≤9. C.m∈ℝ. D.m∈∅.

Lời giải : 

  • Ta có y’=-3×2+2m-3×2-m-3.
  • Hàm số đồng biến trên -∞;+∞ khi 

           y’≤0,∀x∈ℝ⇔-3×2+2m-3x-m-3≤0,∀x∈ℝ

    ⇔a=-1<0 (luôn đúng)△’=m-32–3-m-3≤0⇔m2-6m+9-3m-9≤0

    ⇔m2-9m≤0⇔0≤m≤9. Chọn B.

Ví dụ 3 : Với những giá trị nào của m thì hàm số y=m3x3-122m+1×2+m+2x+22020 luôn đồng biến trên tập số thực.

A.0<m≤14. B.m≤14. C.m≥14. D.m>0.

Lời giải : 

           Ta có y’=mx2-2m+1x+m+2. Vì hệ số a của y’ còn phụ thuộc m nên ta xét hai trường hợp sau : 

  • Trường hợp 1 : Với m=0 ta có y’=-x+2 nên hàm số nghịch biến trên 2;+∞ (vì y'<0⇔x>2) và đồng biến trên -∞;2. Do đó m=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
  • Trường hợp 2 : Với m≠0, để hàm số đồng biến trên tập số thực ℝ khi y’=mx2-2m+1x+m+2≥0,∀x∈ℝ⇔m>0△=2m+12-4mm+2≤0⇔m>04m2+4m+1-4m2-8m≤0⇔m>0-4m≤-1⇔m>0m≥14⇔m≥14.
  • Chọn C.

    III-Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K là tập con của ℝ.

    1)  Phương pháp “Cô lập tham số m” :

    * Phương pháp giải :      

    Cho hàm số y=fx có đạo hàm trên K.

    • Bước 1. Tính y’. Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên K thì  y’≥0,∀x∈K (y’≤0,∀x∈K).
    • Bước 2.  Đưa bất phương trình y’≥0,∀x∈K(y’≥0,∀x∈K) về dạng m≥g(x),∀x∈K hoặc m≤g(x),∀x∈K (ta gọi đây là bước cô lập m)
    • Bước 3. Tìm m dựa vào hai nhận xét sau :
    1. m≥g(x),∀x∈K⇔m≥maxKg(x).
    2. m≤g(x),∀x∈K⇔m≤minKg(x).

    * Ví dụ minh họa.

    Ví dụ 1 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số fx=x3-3mx2+32m-1x đồng biến trên 2;3.

    A. m≥32. B.m≤32. C.1<m≤32. D.m>32.

    Lời giải : 

    • fx=x3-3mx2+32m-1x⇒f’x=3×2-6mx+32m-1.
    • Hàm số đồng biến trên khoảng 2;3 khi

               f’x=3×2-6mx+32m-1≥0,∀x∈2;3⇔3×2-6mx+6m-3≥0,∀x∈2;3

             ⇔2m-2mx≥-x2+1,∀x∈2;3⇔m2-2x≥1-x2   (1).

    • Nhận xét rằng ∀x∈2;3 ⇒2-2x<0, do đó : 

         1⇔m≤1-x22-2x,∀x∈2;3⇔m≤1-x1+x21-x,∀x∈2;3

             ⇔m≤1+x2=gx,∀x∈2;3⇔m≤min2;3gx=1+22=32.

    • Chọn B.

    Ví dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số fx=2×3+3×2-6mx-1 nghịch biến trên 0;2.

    A.m<6. B.m≤6 C.m≥6. D.m>6.

    Lời giải : 

    • f’x=6×2+6x-6m.
    • Để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 ta có f’x≤0,∀x∈0;2⇔6×2+6x-6m≤0,∀x∈0;2⇔x2+x-m≤0,∀x∈0;2⇔m≥x2+x=gx,∀x∈0;2⇔m≥max0;2gx.
    • Xét gx=x2+x⇒g’x=2x+1>0,∀x∈0;2 hay hàm số đồng biến trên 0;2, do đó : m≥max0;2gx=g2=6.
    • Chọn C.

    Ví dụ 3 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số fx=mx3-x2+3x+m-3 đồng biến trên khoảng 0;3.

    A.m≥19. B.m≤19 C.m≥-16 D.m≤-16.

    Lời giải : 

    • Ta có  f’x=3mx2-2x+3.
    • Hàm số đồng biến trên 0;3 khi  f’x=3mx2-2x+3≥0,∀x∈0;3       (1)
    • 1⇔m≥2x-33×2,∀x∈0;3⇔m≥max0;3gx,∀x∈0;3 với gx=2x-33×2.
    •  Ta có g’x=2.3×2-6x(2x-3)9×4=-6×2+18x9x4 ⇒g’x=0⇔-6×2+18x=0⇔x=0 hoặc x=3.
    • Bảng biến thiên của gx : 

                                                                   

    • Từ bảng biến thiên ta có m≥max0;3gx=g3=19. Chọn A.

    Ví dụ 4 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x4-8mx2+9m đồng biến trên khoảng 2;+∞.

    A.m≥1 B.m≤1. C.m<1. D.m>1,

    Lời giải : 

    • Ta có y’=4×3-16mx.
    • Hàm số đồng biến trên 2;+∞ khi y’=4×3-16mx≥0,∀x∈2;+∞⇔16mx≤4×3,∀x∈2;+∞⇔m≤x24,∀x∈2;+∞⇔m≤minx≥2gx=g2=1, với gx=x24.
    • Chọn B.

    2) Phương pháp sử dụng bảng biến thiên giải dạng toán tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng: 

        Đây là phương pháp tương đối dài dòng và phức tạp nhưng lại giải quyết được hầu hết các trường hợp, đặc biệt là những bài toán mà chúng ta không thể cô lập được tham số m.

    * Phương pháp giải : 

    • Bước 1. Tính  y’. Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên K thì  y’≥0,∀x∈K (y’≤0,∀x∈K).
    • Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số dựa vào dấu y’.
    • Bước 3. Từ bảng biến thiên và đề bài kết luận giá trị của m.

    * Chú ý :

    • Nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu của một tam thức bậc hai thì ta phải xét hai trường hợp △≤0 và △>0.
    • Khi sử dụng phương pháp này ta thường dẫn đến việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một số α liên quan. Khi đó ta có thể đưa bài toán đến việc vận dụng định lý Vi-et bằng cách sử dụng các kết quả sau : 
    1. x1<α<x2⇔x1-αx2-α<0⇔x1x2-αx1+x2+α2<0.
    2.  x1<x2<α⇔x1-αx2-α>0x1+x22-α<0.
    3. α<x1<x2⇔x1-αx2-α>0x1+x22-α>0

    * Ví dụ minh họa.

    Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số y=x3-2m+1×2+m2+2mx+1 nghịch biến trên -1;0.

    A.m≥-2. B.-5≤m≤0. C.-2≤m≤-1. D.-2≤m≤0.

    Lời giải : 

    Ta có  y’=3×2-22m+1x+m2+2m

    Để hàm số nghịch biến trên ta có  y’=3×2-22m+1x+m2+2m≤0,∀x∈-1;0.

    *Trường hợp 1 :

    • Nếu  △’≤0⇔2m+12-3m2+2m≤0⇔m-12≤0⇔m=1 thì y’≥0,∀x∈ℝ (tam thức bậc hai có △≤0 thì cùng dấu với hệ số a). 
    • Vậy m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    *Trường hợp 2 :

    • Nếu △’>0⇔m≠1 thì  y’=3×2-22m+1x+m2+2m=0 có hai nghiệm phân biệt x1<x2.Ta có bảng biến thiên như sau

     

    • Dựa vào bảng biến thiên để hàm số nghich biến trên ta phải có -1;0⊂x1;x2⇔x1≤-1<0≤x2⇔x1x2≤0x1+1×2+1≤0⇔m2+2m≤0x1x2+x1x2+1≤0⇔-2≤m≤0m2+2m3+22m+13+1≤0⇔-2≤m≤0m2+6m+5≤0⇔-2≤m≤0-5≤m≤-1⇔-2≤m≤-1.
    • Chọn C

    Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số y=13×3+(m-1)x2+(m2-3m+2)x+4 đồng biến trên 2;+∞.

    A.m≤2. B.1<m<2. C.m≥2. D.m≥1.

    Lời giải : 

    Ta có y’=x2+2(m-1)x+(m2-3m+2)

    Hàm số đồng biến trên 2;+∞ khi y’=x2+2(m-1)x+(m2-3m+2)≥0,∀x∈2;+∞.

    *Trường hợp 1 :

    • Nếu  △’≤0⇔m-12-m2-3m+2≤0⇔m-1≤0⇔m≤1 thì y’≥0,∀x∈ℝ. Do đó hàm số đồng biến trên ℝ nên cũng đồng biến trên 2;+∞. 
    • Vậy m≤1 thỏa yêu cầu bài toán (1)  

    *Trường hợp 2 :

    • Nếu △’>0⇔m>1 thì y’ có hai nghiệm phân biệt  x1<x2. Ta có bảng biến thiên như sau

     

    • Dựa vào bảng biến thiên để hàm số đồng biến trên 2;+∞ thì 2;+∞⊂x2;+∞, có nghĩa là y’=x2-2(m-1)x+(m2-3m+2)=0 có hai nghiệm thỏa x1<x2≤2⇔x1-2×2-2≥0x1+x22-2<0⇔x1x2-2×1+x2+4≥0x1+x2-4<0⇔m2-3m+2-2(2m-2)+4≥02m-2-4<0⇔m2-7m+10≥02m<6⇔m≤2 hoặc m≥5m<3⇔m≤2.
    • Kết hợp với điều kiện m>1 ta có 1<m≤2   (2)

    Từ (1) và (2) ta có m≤2. Chọn A.

    Lời bình : Đây là các ví dụ mà chúng ta không thể cô lập được m, vì vậy buộc ta phải dựa vào “bảng biến thiên” để giải quyết. Như vậy khi giải quyết bài toán dạng này cần linh hoạt sử dụng các phương pháp trên vì mỗi phương pháp đều có điểm mạnh và điểm yếu của nó.

    Chuyên mục: Kiến thức

    Related Articles

    Trả lời

    Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

    Back to top button