Kiến thức

Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Trung bình: 4,67
Đánh giá: 3
Bạn đánh giá: Chưa

Trong thực tế chúng ta thường gặp các vật thể có dạng khối cầu như quả bóng, trái đất…nên việc tính diện tích hay thể tích khối cầu là hết sức cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho chúng ta công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Bạn đang xem: Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

I. Diện tích mặt cầu:

                                                       

Diện tích mặt cầu có bán kính  r là S=4πr2.

II. Thể tích khối cầu : 

Thể tích khối cầu có bán kính  r là V=43πr3.

Chú ý : Để tính diện tích mặt cầu hay thể tích khối cầu ta chỉ cần tìm bán kính của mặt cầu đó.

III. Phương trình mặt cầu :

Trong không gian với hệ trục Oxyz, phương trình mặt cấu có hai dạng như sau : 

  • Dạng 01 : x-a2+y-b2+z-c2=r2 là mặt cầu có tâm Ia;b;c  và bán kính r.
  • Dạng 02 : x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a2+b2+c2-d>0 là mặt cầu có tâm Ia;b;c và bán kính  r=a2+b2+c2-d.

IV. Một số ví dụ liên quan đến diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Ví dụ 1. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu có đường kính bằng 4 cm.

Lời giải : 

Mặt cầu có đường kính bằng 4cm nên có bán kính r=2cm. Khi đó : 

  • Diện tích mặt cầu : S=4πr2=4π.22=16π cm2.
  • Thể tích khối cầu : V=43πr3=43π.23=32π3 cm3.

Ví dụ 2. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình x-12+y-22+z+12=16. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu có phương trình như trên.

Lời giải : 

Mặt cầu có bán kính  r=16=4. Khi đó : 

  • Diện tích mặt cầu : S=4πr2=4π.42=64π cm2.
  • Thể tích khối cầu : V=43πr3=43π.43=2563π.

Ví dụ 3. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình x2+y2+z2-2x-4y+6z+5=0. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

Lời giải : 

Ta có a=1,b=2,c=-3,d=5 nên mặ cầu có r=a2+b2+c2-d=12+22+32-5=3. Khi đó : 

  • Diện tích mặt cầu : S=4πr2=4π.32=36π cm2.
  • Thể tích khối cầu : V=43πr3=43π.33=36π.

Ví dụ 4. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu có tâm I1;2;3 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x+2y-2z-5=0.

Lời giải : 

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P nên bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng P hay r=dI,P=1+2.2-2.3-512+22+22=2. Khi đó : 

                                   

  • Diện tích mặt cầu : S=4πr2=4π.22=16π.
  • Thể tích khối cầu : V=43πr3=43π.23=32π3.

Ví dụ 5. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, một mặt phẳng α : 2x-y+2z-4=0 cắt mặt cầu S có tâm I3;-1;3 theo một đường tròn có bán kính R=4. Tính thể tích khối cầu S.

Lời giải : 

Gọi H là tâm đường tròn giao tuyến (tức là hình chiếu của  I xuống α). Khi đó tam giác IHA vuông tại H nên IA2=IH2+HA2 hay r2=d2+R2.

                                      

Mặt khác : d=IH=dI,α=2.3+1+2.3-422+12+22=3⇒r=d2+R2=32+42=5.

Vậy thể tích khối cầu là V=43πr3=43π.53=500π3.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button