Kiến thức

Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trung bình: 5
Đánh giá: 3
Bạn đánh giá: Chưa

Dạng toán ”Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ” là một dạng bài tập thường gặp trong quá trình học tập môn toán và chúng thường có những cách giải đặc biệt mà nhiều học sinh sẽ không nắm bắt được. Bài viết này nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết được một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bạn đang xem: Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

I. Một số tính chất liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối.

  • x≥0, ∀x∈ℝ.
  • x-y≤x+y≤x+y.
  • x=x nếu x≥0-x nếu x<0.

II. Cách giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1. Giải phương trình có dấu giá trị tuyệt đối bằng cách bình phương hai vế.

* Cách giải :

Dạng 01 : A=B⇔A2=B2.

Dạng 02 :  A=B⇔B≥0A2=B2.

* Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1. Giải phương trình x+2=2x+1.

Lời giải : 

Ta có x+2=2x+1⇔x+22=2x+12⇔x2+4x+4=4×2+4x+1⇔-3×2+3=0⇔x=1x=-1 .

Vậy phương trình có tập nghiệm S=-1,1.

Ví dụ 2. Giải phương trình 2x-3+x-3=0.

Lời giải : 

Ta có 2x-3+x-3=0⇔2x-3=3-x⇔3-x≥02x-32=3-x2

   ⇔x≤34×2-12x+9=9-6x+x2⇔x≤33×2-6x=0⇔x≤3x=2x=0 ⇔x=0x=2 .

Lời bình : Cách giải trên chỉ giải quyết được một số phương trình mà bậc của x là bậc một. Nếu gặp những phương trình mà x có bậc cao hơn, việc bình phương hai vế sẽ dẫn đến các phương trình bậc cao và việc giải quyết sẽ trở nên khó khăn hơn. Để giải quyết vấn đề này ta cũng có một cách giải khác như sau.

2. Giải phương trình có dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phá dấu giá trị tuyệt đối.

* Cách giải : Sử dụng công thức phá dấu giá trị tuyệt đối A=A nếu A≥0-A nếu A<0. Trong quá trình giải quyết bài toán ta xét các trường hợp cụ thể để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

* Chú ý : A=B⇔A=BA=-B . 

* Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Giải phương trình x-2+3x+2=0.

Phân tích : 

  • Ta có x-2≥0⇔x≥2 nên x-2=x-2 nếu x≥2-x-2 nếu x<2.

Lời giải : 

Trường hợp 1 : x-2≥0x-2+3x+2=0⇔x≥24x=0⇔x≥2x=0⇔x∈∅.

Trường hợp 2 : x-2<0-(x-2)+3x+2=0⇔x<2-x+2+3x+2=0

                  ⇔x<22x+4=0⇔x<2x=-2⇔x=-2.

Vậy phương trình có nghiệm x=-2.

Ví dụ 2. Giải phương trình x+2+x2-3x=1.

Lời giải : 

Trường hợp 1 : x+2≥0x+2+x2-3x=1⇔x≥-2×2-2x+1=0⇔x≥-2x=1⇔x=1  (1)

Trường hợp 2 : x+2<0-x+2+x2-3x=1⇔x<-2-x-2+x2-3x-1=0

                  ⇔x<-2×2-4x-3=0⇔x<-2x<2+5x=2-5 ⇔x∈∅  2

Từ (1) và (2)  phương trình có nghiệm x=1.

Ví dụ 3. Giải phương trình x-1+x-2=2x-3.

Phân tích : Đây là bài toán có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối nên cần lưu ý các trường hợp sau

  • Nếu x<1 thì x<2 nên x-1=-x-1 và x-2=-x-2.
  • Nếu 1≤x<2 thì x-1=x-1 và x-2=-x-2.
  • Nếu x≥2 thì x>1 nên x-1=x-1 và x-2=x-2.

Từ những phân tích trên ta có lời giải như sau :

Lời giải : 

Trường hợp 1 : x<1-x+1-x+2=2x-3⇔x<1-4x=-6⇔x<1x=32⇔x∈∅.

Trương hợp 2 : 1≤x<2x-1-x+2=2x-3⇔1≤x<2-2x=-4⇔1≤x<2x=2⇔x∈∅.

Trường hợp 3 : x≥2x-1+x-2=2x-3⇔x≥20x=0 (luôn đúng)⇔x≥2.

Từ ba trường hợp trên phương trình đã cho có nghiệm x≥2.

Ví dụ 4. Giải phương trình x2-4x+3-x2-3=0.

Phân tích : Bài toán có dạng A-B=0⇔A=B⇔A=BA=-B .

Lời giải : 

Ta có x2-4x+3-x2-3=0⇔x2-4x+3=x2-3
⇔x2-4x+3=x2-3×2-4x+3=-x2-3⇔-4x=-62×2-4x=0⇔x=32x=0 hoặc x=2.

Vậy phương trình có nghiệm x∈0,32,2.

Ví dụ 5.  Giải phương trình x2-5x+6=3×2-1.

Phân tích : Ta có 

  •  x2-5x+6>0⇔x∈-∞;2∪3;+∞.
  • x2-5x+6≤0⇔x∈2;3.

Do đó x2-5x+6=x2-5x+6 nếu x∈-∞;2∪3;+∞-x2-5x+6 nếu x∈2;3.

Từ đây ta có lời giải như sau : 

Lời giải :

Trường hợp 1 : x∈-∞;2∪3;+∞x2-5x+6=3×2-1⇔x∈-∞;2∪3;+∞-2×2-5x+7=0

                   ⇔x∈-∞;2∪3;+∞x=1 hoặc x=-72⇔x=1x=-72 .

Trường hợp 2 : x∈2;3-x2-5x+6=3×2-1⇔x∈2;3-4×2+5x-5=0⇔x∈2;3x∈∅⇔x∈∅.

Vậy phương trình có nghiệm x∈-72,1.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button