Kiến thức

Các bài tập nguyên hàm có lời giải-12htip

Bạn đang xem: Các bài tập nguyên hàm có lời giải-12htip

Các bài tập nguyên hàm có lời giải

Sau khi học các

công thức nguyên hàm

bạn đã tự tin giải được nhiều bài tập đúng không? Vậy bạn hãy rèn luyện kĩ năng giải bài tập nguyên hàm từ những bài cơ bản dưới đây

Câu 1. Hãy tính nguyên hàm của hàm số có dạng biểu thức $f(x) = frac{{{x^3} – 2x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}$.

A. $Fleft( x right) = frac{1}{3}left( {{x^2} – 8} right)sqrt {{x^2} + 1} + C$.

B. $Fleft( x right) = frac{1}{3}{x^2}sqrt {1 + {x^2}} + 8sqrt {1 + {x^2}} + C$.

C. $Fleft( x right) = frac{1}{3}left( {8 – {x^2}} right)sqrt {{x^2} + 1} + C$.

D. $Fleft( x right) = frac{2}{3}left( {{x^2} – 8} right)sqrt {1 + {x^2}} + C$.

Lời giải

Chọn A

Dựa vào nguyên hàm của hàm chứa căn thức đã học ở bài trước, ta có:

Ta có $int {frac{{{x^3} – 2{text{x}}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}} d{text{x}} = int {frac{{left( {{x^2} – 2} right)x{text{dx}}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}} $

Đặt $t = sqrt {{x^2} + 1} Rightarrow {x^2} = {t^2} – 1 Rightarrow xdx = tdt$.

Khi đó $int {frac{{{x^3} – 2{text{x}}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}} d{text{x}} = int {frac{{left( {{t^2} – 3} right)left( {tdt} right)}}{t} = int {left( {{t^2} – 3} right)dt = frac{{{t^3}}}{3} – 3t + C} } $

$ = frac{{{{left( {sqrt {{x^2} + 1} } right)}^3}}}{3} – 3sqrt {{x^2} + 1} + C = frac{1}{3}left( {{x^2} – 8} right)sqrt {{x^2} + 1} + C$

Câu 2. Một nguyên hàm của hàm số F(x) cho trước có nguyên hàm là f(x) = 2x – 1. Người ta thấy đồ thị của hàm số F(x) cắt đồ thị f(x) và có một điểm nằm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f(x) và F(x) là

A. (- 6; 3).

B. (2; 8).

C. (0; – 1) và (3; 5).

D. (2; 7).

Lời giải

Chọn C

Dựa vào công thức nguyên hàm cơ bản ta giải như sau

Ta có $F(x) = int {left( {2x – 1} right)} dx = {x^2} – x + C$

Xét phương trình ${x^2} – x + C = 2x – 1 Leftrightarrow {x^2} – 3x + (C + 1) = 0{text{ }}left( * right)$

Câu 3. Một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $frac{1}{{{e^x} + 1}}$ thỏa mãn F(0) = – ln2. Tìm tập nghiệm S của phương trình $F(x) + ln left( {{e^x} + 1} right) = 3.$

A. S = {- 3}

B. $S = left{ { pm 3} right}$

C. S = {3}

D. $S = emptyset $

Lời giải

Chọn C

Áp dụng bảng công thức nguyên hàm của hàm số e mũ ta có:

Ta có $F(x) = int {frac{1}{{{e^x} + 1}}} dx = int {frac{{{e^x}}}{{{e^x}left( {{e^x} + 1} right)}}} dx = int {left( {frac{1}{{{e^x}}} – frac{1}{{{e^x} + 1}}} right)} dleft( {{e^x}} right) = ln left( {frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} right) + C$

Vì F(0) = – ln2 <=>C = 0. Do đó $F(x) = ln left( {frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} right)$

Vì Xét phương trình $F(x) + ln left( {{e^x} + 1} right) = 3 Leftrightarrow ln left( {{e^x}} right) = 3 Leftrightarrow x = 3$

Vậy S = {3}

Câu 4. Cho hàm số $fleft( x right) = tan xleft( {2cot x – sqrt 2 cos x + 2{{cos }^2}x} right)$ có nguyên hàm là F(x) và $Fleft( {frac{pi }{4}} right) = frac{pi }{2}$. Giả sử $Fleft( x right) = ax + sqrt b cos x – frac{{cos cx}}{2} – d$. Chọn phát biểu đúng:

A. 3a + 5d – 6c = 7b.

B. a + b + c = 6.

C. 2a + 4c = b.

D. 5a – 6d + 7c = b.

Lời giải

Chọn B.

Đây là dạng toàn nguyên hàm lượng giác, ta chỉ cần áp dụng công thức là ra

Ta có $F(x) = int {tan xleft( {2cot x – sqrt 2 cos x + 2{{cos }^2}x} right)} = int {left( {2 – sqrt 2 sin x + sin 2x} right)dx} $

$ = 2x + sqrt 2 cos x – frac{{cos 2x}}{2} + C$ Mà $Fleft( {frac{pi }{4}} right) = frac{pi }{2} Rightarrow C = – 1$ .

Do đó $F(x) = 2x + sqrt 2 cos x – frac{{cos 2x}}{2} – 1$

Trên đây là những bài tập nguyên hàm cần nhớ. Hy vọng với những bài tập kèm lời giải trên đã phần nào giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải bài tập sao cho hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!

Author:

Admin

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button