Kiến thức

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật-Số học 6-Toán cấp 2

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật – Số học 6

Tính tổng dãy số lũy thừa là một dạng toán khó trong chương trình Số học 6, Toán lớp 6. Để giải được đòi hỏi phải có phương pháp.

Đó là các phương pháp quy nạp, khử liên tiếp. Các em xem tiếp lý thuyết và bài tập áp dụng có lời giải dưới đây.

Mục lục

  • 1 I. Sử dụng phương pháp quy nạp tính tổng dãy số

  • 2 II. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

  • 3 III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

  • 4 IV. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

  • 5 V. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

  • 6 VI. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật

Bạn đang xem: Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật-Số học 6-Toán cấp 2

I. Sử dụng phương pháp quy nạp tính tổng dãy số

– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

  • 11 dạng toán về phân số – Số học 6

  • Tập hợp và bài tập áp dụng – Số học 6

  • Cách tìm số ước của một số

  • Bài tập ôn chương 1: Bội, bội chung nhỏ nhất – Số học 6

  • Bài tập ôn chương 1: Ước, ước chung lớn nhất – Số học 6

Sn = a1 + a2 + . . . +an (*)

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 +3 +5 +. . . +(2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) (2.2 – 1) = 1 +3 = 4 = 22

Thử với n= 3,  ta có: S3 = (2.1 – 1) (2.2 – 1) (2.3 – 1)= 1 +3 +5 = 9 = 32

…   …   …

– Ta dự đoán: Sn = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n

• Phương pháp quy nạp: Sn = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n(*)

Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

Sk =1 +3 +5 . . . (2k -1) = k2 (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k +1, tức là:

Sk +1 = 1 +3 +5 . . . (2k-1) (2k +1) = (k +1)2

Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 +3 +5 . . . +(2k -1) = k2

1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k2  (2k +1) (cộng 2k+ 1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒  1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k2 + 2k +1 = (k +1)2

• Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

1) Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

2) Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

3) Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

4) Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

II. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

– Giả sử cần tính tổng: Sn = a1  a2  . . . an (*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

a1 = b1 – b2

a2 = b2 – b3

…   …   …

an = bn – bn +1

⇒ Khi đó ta có: Sn = (b1 – b2)  (b2 – b3) … (bn – bn +1) = b1 – bn +1

* Ví dụ 1: Tính tổng:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

° Hướng dẫn: – Ta có:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6   Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6 …; Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

• Dạng tổng quát: 

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

* Ví dụ 2: Tính tổng:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

° Hướng dẫn: – Ta có:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6 Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6 ;…; Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

* Ví dụ 3: Tính tổng:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

° Hướng dẫn: – Ta có:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100 (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22  +. . . +2100)

⇔ S = 2101 – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

* Ví dụ 2: Tính:

S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

° Hướng dẫn:– Ta có:

2S = 2(1 – 2 +22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S = 2101 + 1.

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

* Ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100 (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

* Ví dụ 4: Tính:

S = 1 – 23 + 26 – 29 . . . +296 – 299 (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

23.S =  23.(1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102) (1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Xem thêm: Vở bài tập Hóa lớp 8-Giải vở bài tập Hóa 8 hay, ngắn nhất

IV. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

V. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu: Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

• Tính chất:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

* Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

– Mặt khác, lại có:

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6 (theo PP quy nạp ở mục I).

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6 (theo PP quy nạp ở mục I)

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

VI. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

a) S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100

b) S = 5 +11 +17 … 95 +101

c) Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

d) Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b) Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật - Số học 6

Bài viết liên quan

  • Luyện tập về chia hai lũy thừa cùng cơ số – Bồi dưỡng Toán 6

  • Các dạng toán về chia hai lũy thừa cùng cơ số – Bồi dưỡng Toán 6

  • Bài tập về lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số – Bồi dưỡng Toán 6

  • Các dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số – Bồi dưỡng Toán 6

  • Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên



Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button