Kiến thức

Cách bấm casio tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số-Công thức nguyên hàm

đồ thị hàm số

máy tính casio

/

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bạn đang xem: Cách bấm casio tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số-Công thức nguyên hàm

Cách bấm casio tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và một điểm $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ thuộc đồ thị (C) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M là đường thẳng d có phương trình: $y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$

2) VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 ]
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = – frac{1}{x} – ln x$ tại điểm có hoành độ bằng 2
A. $frac{1}{2} – ln 2$
B. $ – frac{1}{4}$
C. $ – frac{3}{4}$
D. $frac{1}{4}$

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ $ Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$
Sử dụng máy tính Casio để tính hệ số góc tiếp tuyên tại điểm có hoành độ bằng 2 $ Rightarrow k = f’left( 2 right)$

Ta thấy$k = f’left( 2 right) = – 0.25 = – frac{1}{4}$ .
=>B là đáp án chính xác

Bài 2-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 ]
Cho hàm số $y = – {x^3} + 3x – 2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
A. $y = – 2x + 1$
B. $y = 3x – 2$
C. $y = 2x + 1$
D. $y = – 3x – 2$

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ $ Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$ M là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung $ Rightarrow $ M có tọa độ $left( {0; – 2} right)$
Tính $f’left( 0 right) = 0$

Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = 3left( {x – 0} right) – 2 Leftrightarrow y = 3x – 2$
$ Rightarrow $ B là đáp án chính xác

Bài 3-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 ]
Số tiếp tuyến với đồ thị $left( C right)$ : $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đi qua điểm M(1;0) là :
A. 4
B.2
C. 3
D. 1

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ $ Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’left( {{x_0}} right) = 3x_0^2 – 6{x_0}$
Thế $f’left( {{x_0}} right)$ vào phương trình tiếp tuyến được $y = left( {3x_0^2 – 6{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + x_0^3 – 3x_0^2 + 2$
Tiếp tuyến đi qua điểmM(1;0) $ Rightarrow 0 = left( {3x_0^2 – 6{x_0}} right)left( {1 – {x_0}} right) + x_0^3 – 3x_0^2 + 2$
$ Leftrightarrow – 2x_0^3 + 6x_0^2 – 6{x_0} + 2 = 0$
Sử dụng máy tính với lệnh MODE 5 để giải phương trình bậc 3 trên

 Ta thấy có 1 nghiệm ${x_0}$ $ Rightarrow $ Chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất.
=>D là đáp án chính xác

Bài 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ có đồ thị (C). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của với hệ số góc nhỏ nhất
A. $y = – 3x + 3$
B. $y = – 3x – 3$
C. y= -3x
D. y=0

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ $ Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’left( {{x_0}} right) = 3x_0^2 – 6{x_0}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng chức năng MODE 7

Ta thấy $f’left( {min } right) = f’left( 1 right) = – 3 Rightarrow {x_0} = – 3$ $ Rightarrow {y_0} = {1^3} – {3.1^2} + 2 = 0$
Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = – 3left( {x – 1} right) + 0 Leftrightarrow y = – 3x + 3$
$ Rightarrow $ D là đáp án chính xác

Bài 5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Cho hàm số $y = frac{{x + 2}}{{x + 1}}$ (C) Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của (C) đến một tiếp tuyến bất kì của (C) . Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là :
A. $3sqrt 3 $
B. $sqrt 3 $
C. $sqrt 2 $
D. $2sqrt 2 $

GIẢI

 Gọi tiếp điểm là $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ $ Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’left( {{x_0}} right) = – frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng : $y = – frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}}left( {x – {x_0}} right) + frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}$
$ Leftrightarrow frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}}x + y – frac{{{x_0}}}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}} – frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}} = 0$
Hàm số có tiệm cận đứng x= -1 và tiệm cận ngang y = 1 nên giao điểm hai tiệm cận là I (-1;1).
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có:
$h = dleft( {I;left( d right)} right) = frac{{left| {frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}}left( { – 1} right) + 1 – frac{{{x_0}}}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}} – frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}} right|}}{{sqrt {{{left( {frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}}} right)}^2} + {1^2}} }}$
Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 7 để tính các giá trị lớn nhất này.

Ta thấy $hleft( {max } right) = sqrt 2 $
$ Rightarrow $ C là đáp án chính xác

Bài 6-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội ]
Hàm số $y = frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$ (H), M là điểm bất kì và $M in left( H right)$ . Tiếp tuyến với (H) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích bằng :
A. 4
B.5
C. 3
D. 2

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ $ Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’left( {{x_0}} right)left( {x – {x_0}} right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’left( {{x_0}} right) = – frac{1}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = – frac{1}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}}left( {x – {x_0}} right) + frac{{2{x_0} – 1}}{{{x_0} – 1}}$ (d)
Hàm số có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=2 và giao điểm 2 tiệm cận là I (1;2)
Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng $ Rightarrow Eleft( {1;frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}}} right)$
Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang $ Rightarrow Fleft( {2{x_0} – 1;2} right)$
Độ dài $IE = left| {overrightarrow {IE} } right| = sqrt {{{left( {1 – 1} right)}^2} + left( {frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}} – 2} right)} = frac{2}{{left| {{x_0} – 1} right|}}$
Độ dài $IF = sqrt {{{left( {2{x_0} – 1 – 1} right)}^2} + {{left( {2 – 2} right)}^2}} = 2left| {{x_0} – 1} right|$ Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có :
Diện tích $Delta IEF$ $ = frac{1}{2}IE.IF = frac{1}{2}.frac{2}{{left| {{x_0} – 1} right|}}.2left| {{x_0} – 1} right| = 2$ $ Rightarrow $ D là đáp án chính xác

BÀI TẬP T Ự LUYỆN
Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 ]
Cho hàm số $y = frac{{x + 1}}{{2x – 1}}$ . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng có hệ số góc bằng :
A. $frac{1}{3}$
B. $frac{1}{6}$
C. $ – frac{1}{3}$
D. $ – frac{1}{6}$

Bài 2-[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 ]
Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số $y = frac{{x – 1}}{{x + 1}}$ sao cho tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $d:y = frac{1}{2}x + frac{7}{2}$
A. $left( {0;1} right),left( {2;3} right)$
B. $left( {1;0} right),left( { – 3;2} right)$
C. $left( { – 3;2} right)$
D. (1;0)

Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 ]
Cho hàm số $y = frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ có đồ thị (C) . Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành có phương trình là :
A. y=3x
B. y= 3x-3
C. y= x-3
D. $y = frac{1}{3}x – frac{1}{3}$

Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 ]
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 9x – 16$
A. y = 9x – 16
B. y = 9x + 12
C. y = 9x – 10
D. y = 9x – 12

Bài 5-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5 ]
Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị $left( C right):y = frac{1}{3}{x^2} – x + frac{2}{3}$ sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng $y = – frac{1}{3}x + frac{2}{3}$
A. $Mleft( { – 2;0} right)$
B. $Mleft( { – 3; – frac{{16}}{3}} right)$
C. $left( { – 1;frac{4}{3}} right)$
D. $Mleft( {frac{1}{2};frac{9}{8}} right)$

Bài 6-[Thi tốt nghiệm THPT năm 2012]
Cho hàm số $y = frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2}left( C right)$ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ biết $f”left( {{x_0}} right) = – 1$
A. $left[ begin{array}{l} y = – 3x – frac{5}{4}\ y = 3x + frac{5}{4} end{array} right.$
B. $left[ begin{array}{l} y = 3x – frac{5}{4}\ y = – 3x + frac{5}{4} end{array} right.$
C. $left[ begin{array}{l} y = – 3x – frac{5}{4}\ y = 3x – frac{5}{4} end{array} right.$
D. $left[ begin{array}{l} y = – 3x + frac{5}{4}\ y = 3x + frac{5}{4} end{array} right.$

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button