Kiến thức

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-Toán cấp 2

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng

Đây là bài thứ 19 of 23 trong series

Phương pháp chứng minh hình học THCS

Phương pháp chứng minh hình học THCS

  • Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

  • 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song

  • 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc

  • 10 cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

  • 13 cách chứng minh hai góc bằng nhau

  • 8 cách chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xÔy

  • 7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB

  • Phương pháp chứng minh các tam giác đặc biệt

  • Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

  • Phương pháp chứng minh các tứ giác đặc biệt

  • 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

  • Phương pháp chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng

  • 2 cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

  • 4 cách chứng minh hai cung tròn bằng nhau

  • 15 cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

  • 7 cách chứng minh một đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng khác

  • 4 cách chứng minh một góc bằng nửa góc khác

  • 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

  • Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng
  • Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau

  • Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác

  • Chứng minh một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác

  • Chứng minh các quan hệ không bằng nhau (cạnh – góc – cung)

Để chứng minh 2 tam giác đồng dạng thì các em cần phải nắm được lý thuyết

hai tam giác đồng dạng

và các cách chứng minh mà Toancap2.net đưa ra dưới đây.

Nhắc lại một ít lý thuyết về tam giác đồng dạng.
Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-1

Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường :

  • Phiếu hướng dẫn tự học Toán lớp 8 từ 30/3 tới 4/4

  • Chuyên đề tam giác đồng dạng – Toán lớp 8

  • Đề cương ôn tập HK1 môn Toán 8 THCS Mai Dịch 2019-2020

  • Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x – Toán lớp 8

  • Đề cương ôn tập hè Toán lớp 8

– Trường hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

frac{AB}{DE} =frac{AC}{DF} =frac{BC}{EF}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

– Trường hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

frac{AB}{DE} =frac{AC}{DF}

widehat{A}=widehat{D}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

– Trường hợp đồng dạng 3 : hai góc tương ứng bằng nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

widehat{A}=widehat{D}

widehat{B}=widehat{E}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II. Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3: ( góc)
Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Mục lục

  • 1 Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :

  • 2 Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song song:

  • 3 Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bạn đang xem: Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-Toán cấp 2

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :


Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho widehat{BCx}=widehat{BAD} . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) frac{AD}{AC} =frac{AB}{AI}

c) AD2 = AB.ACBD.DC

Giải

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-1a)∆ADB và ∆CDI , ta có :

widehat{BCx}=widehat{BAD} (gt)

widehat{D_1}=widehat{D_2} (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , ta có :

widehat{B}=widehat{I} (∆ADB ~ ∆CDI)

widehat{A_1}=widehat{A_2} (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>frac{AD}{AC} =frac{AB}{AI}

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : frac{AD}{CD} =frac{BD}{DI} (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.ACBD.CD = AD.AIAD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2


Bài toán 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh các hệ thức :

a. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC

b. AB2 +AC2 = BC2

c. AH2 = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC

Giải.

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-2Xét hai ∆ABC và ∆ HAC, ta có :1. AC2 = CH.BC :

widehat{BAC} =widehat{ AHC} =90^0

widehat{C} là góc chung.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> frac{AC}{HC}=frac{BC}{AC}

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), ta có :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :

widehat{BHC} =widehat{ AHC} =90^0

widehat{ABH} =widehat{ HAC} cùng phụ widehat{BAH}

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

=> frac{HA}{HC}=frac{HB}{HA}

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta có : frac{HA}{AB}=frac{AC}{BC} (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.


Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song song:

Bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

Giải

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-3a) xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :

BD bot AC (BD là đường cao)

EG bot AC (EG là đường cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => frac{AB}{AE} =frac{AD}{AG}

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmt)

frac{AB}{AF} =frac{AC}{AG}

=> FG // BC (định lí đảo talet)


Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán:

Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và widehat{HDE}=widehat{HAE}

c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

Giải

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-5a)xét ∆HBE và ∆HCD, ta có :

widehat{BEH}=widehat{CDH}=90^0 (gt)

widehat{H_1}=widehat{H_2} (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, ta có :

frac{HE}{HD} =frac{HB}{HC} (∆HBE ~ ∆HCD)

=>frac{HE}{HB} =frac{HD}{HC}

widehat{EHD}=widehat{CHB} (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> widehat{D_1}=widehat{C_1} (1)

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH bot BC tại M.

=>widehat{A_1}+widehat{ABC}=90^0

mặt khác : widehat{C_1}+widehat{ABC}=90^0

=>widehat{A_1}=widehat{C_1} (2)

từ (1) và (2) : widehat{A_1}=widehat{D_1}

hay : widehat{HDE}=widehat{HAE}

c) cmtt câu b, ta được : widehat{A_2}=widehat{E_2} (3)

xét ∆BCD, ta có :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân tại D

=>widehat{B_1}=widehat{ACB}

mà : widehat{B_1}=widehat{E_1} (∆HED ~ ∆HBC)

=> widehat{E_1}=widehat{ACB}

mà : widehat{A_2}+widehat{ACB}=90^0

widehat{A_2}=widehat{E_2} (cmt)

=>widehat{E_1}+widehat{E_2}=90^0

hay : widehat{DEM}=90^0

=> ED bot EM.

Series Navigation

<< 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau >>

Xem thêm: Điều kiện thi vào lớp 10 bốn trường THPT chuyên của Hà Nội-Báo Nhân Dân

Bài viết liên quan

  • Chuyên đề tam giác đồng dạng – Toán lớp 8

  • Hình học 8 – Chuyên đề 2 – Đường trung bình của tam giác, hình thang

  • Các bài toán liên quan tới diện tích, tam giác, tứ giác

  • Một số bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác – Hình học 8

  • 6 bài toán trực tâm của tam giác



Toán THCS © 2012

Liên hệ

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button