Kiến thức

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác-Thapsang.vn

Bạn đang xem phần 1 / 3 của series

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

.

Với các bạn học sinh trung bình thì “Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác” ở đầu năm lớp 11 cũng là không dễ dàng. Nguyên nhân phổ biến là do các bạn không nắm vững kiến thức cơ bản và kĩ năng tư duy giải dạng toán này. Qua việc phân tích cách giải một bài tập đơn giản có trong SGK, bài viết cố gắng làm lộ ra những kiến thức và cách thức tư duy cơ bản thường dùng để giải các bài tập cùng loại.

  • 1. Bài toán

  1. Câu a: Thêm càng nhiều, tổng càng lớn

  2. Câu b: Bớt càng ít, hiệu càng to

  • 2. Bình luận

  • Bạn đang xem: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác-Thapsang.vn

    1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số

    Chúng ta lấy “Bài 8, SGK Đại số và Giải tích 11, trang 18” làm ví dụ. Đề bài như sau:

    Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

    a) y=2sqrt{cos x} + 1

    b) y=3-2sin x

    Một bài toán quá dễ phải không? Tuy nhiên, như mình đã nói ở trên, cái mình quan tâm không phải là nó dễ hay khó, mà là “Đường lối suy nghĩ” và những kiến thức cơ bản cần dùng để giải nó. Chúng rất đáng được quan tâm vì chúng là tối thiểu và còn được dùng nhiều sau này.

    Chúng ta bắt đầu với câu a.

    a) Thêm càng nhiều, tổng càng lớn 🙂

        [y=2sqrt{cos x} + 1]

    Phân tích

    * Bài toán không chỉ rõ tìm GTLN của hàm số trên tập nào nên ta sẽ tìm trên tập xác định của hàm số. Điều kiện xác định là cos x ge 0

    * Nhận xét, biểu thức 2sqrt{cos x} + 1 của hàm số là tổng của một số không đổi với 2sqrt{cos x} nên giá trị của hàm số chỉ phụ thuộc vào cos x và nếu cos x càng lớn thì tổng này sẽ càng lớn. Từ đó suy ra, tổng này sẽ lớn nhất khi cos x lớn nhất. Giờ chúng ta chỉ cần tìm GTLN của cos x là xong.

    * Mà cos x le 1,forall xcos x = 1 khi x=k.2pi, kin mathbb{Z} nên cos x lớn nhất là bằng 1. Đối chiếu với điều kiện thì giá trị cos x = 1 thỏa mãn.

    * Từ đó suy ra hàm số y=2sqrt{cos x} + 1 đạt GTLN bằng 2sqrt{1}+1=3

    Giải

    * Điều kiện xác định: cos x ge 0

    * Ta có:

        [0le cos x le 1 Leftrightarrow sqrt{cos x} le 1 Leftrightarrow 2sqrt{cos x} le 2 Leftrightarrow 2sqrt{cos x} + 1 le 3]

    dấu “=” xảy ra khi cos x = 1 Leftrightarrow x=k.2pi, kin mathbb{Z} (thỏa mãn điều kiện)

    * Do đó, hàm số đã cho có GTLN bằng 3 khi x=k.2pi, kin mathbb{Z}

    Ok, xong câu a. Bạn có thấy lời giải khá đơn giản và tự nhiên không? Bạn có nhận ra chúng ta đã sử dụng những kiến thức cơ bản nào không? Nếu vẫn chưa thấy gì thì phải tiếp tục với câu b thôi 😀

    b) Bớt càng ít, hiệu càng to 🙂

        [y=3-2sin x]

    Phân tích

    * Hàm số xác định với mọi x nên bất cứ giá trị x nào làm hàm số đạt GTLN thì đều là thỏa mãn mà không cần đối chiều điều kiện như câu a. Kiểu như khi hết duyên ấy: “Bắt được” anh nào thì “lấy luôn” anh đấy, khỏi cần “check in” :mrgreen:

    * Quan sát biểu thức của hàm số một chút, biểu thức của hàm số này có khác so với câu a. Nếu câu a là tổng của 2 số hạng thì câu này là hiệu của hai số hạng.

    * Nhưng do 3-2sin x là hiệu của một số không đổi với 2sin x nên giá trị của hàm số chỉ phụ thuộc vào giá trị của sin x và nếu sin x càng nhỏ thì hiệu này sẽ càng lớn. Từ đó suy ra, hiệu này sẽ lớn nhất khi sin x là nhỏ nhất. Kiểu như, bố mẹ chỉ cho 3$ để đi học cả tuần nên nếu tiêu càng ít thì tiền dư càng nhiều. Chả tiêu gì thì tiền dư là lớn nhất 😀 Giờ ta chỉ cần tìm GTNN của sin x là xong!

    * Mà sin x ge -1,forall xsin x = -1 khi x=-frac{pi}{2}+k.2pi, kin mathbb{Z} nên sin x nhỏ nhất là bằng -1.

    * Từ đó suy ra hàm số y=3-2sin x đạt GTLN bằng 3-2(-1)=5

    Giải

    * Tập xác định: D=mathbb{R}

    * Với mọi x, ta luôn có

        [sin x ge -1 Leftrightarrow -2sin x le 2 Leftrightarrow 3 - 2sin x le 5]

    dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin x =-1 Leftrightarrow x=-frac{pi}{2} + k.2pi, kin mathbb{Z}

    * Do đó hàm số đã cho có GTLN bằng 5 khi x=-frac{pi}{2} + k.2pi, kin mathbb{Z}

    2. Bình luận

    * Thực chất đây không phải là bài toán mới, mà chỉ là một trường hợp của dạng tổng quát – các bạn đã từng gặp ở lớp dưới. Đó là,

    Cho C là số không đổi thì tổng C + f(x) lớn nhất khi f(x) lớn nhất và hiệu C - f(x) lớn nhất khi f(x) nhỏ nhất.

    Nếu trước đây bạn thường giải bài toán này với f(x) là một hàm bậc hai, chứa căn,… thì giờ nó là một hàm lượng giác.

    * Ở câu a, ngoài cách giải trên bạn còn có thể giải theo cách sau y-1=2sqrt{cos x}le 2 từ đó suy ra y le 3,… Tương tự, bạn cũng có thể giải câu b theo cách này.

    * Suy nghĩ thêm về yêu cầu của bài toán, bài toán chỉ yêu cầu tìm GTLN của các hàm số. Vậy nếu bài toán yêu cầu tìm GTNN của các hàm số thì bạn có thể giải tương tự không? Nếu giải xong rồi thì nhớ làm thêm một số bài tương tự có trong sách bài tập nhé!

    * Biểu thức của các hàm số trên đều chỉ chứa hoặc sin x hoặc cos x, vậy nếu biểu thức của hàm số mà chứa đồng thời cả sin x lẫn cos x thì chúng ta sẽ làm như thế nào? Chẳng hạn như, tìm GTLN của hàm số y=1+sin xcos x hay y=sqrt{3}sin x - cos x,…


    Th8 21, 2013Thapsang.vn
    Bài hay?

    Viết bình luận

    Share

    Xem tiếp bài có từ khóa

    • Cách phân tích

    • GTLN

    • GTNN

    • Hàm số lượng giác

    • Lớp 11

    Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách

    đăng kí nhận bài viết mới qua email

    hoặc like fanpage

    Thapsang.vn

    để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

    Xem tiếp

    Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số →

    Có thể bạn muốn xem

    Nhánh vô cực nhưng bị cụt
    Tìm nguyên hàm bằng cách phân tích nghịch đảo của một tích thành tổng các nghịch đảo
    Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
    Bài tập hàm số lớp 10

    Chuyên mục: Kiến thức

    Related Articles

    Trả lời

    Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

    Check Also
    Close
    Back to top button