Kiến thức

Cách tìm cực trị của hàm số qua 2 quy tắc-Trung tâm gia sư Tiến Bộ

Cách tìm cực trị của hàm số qua 2 quy tắc

Hướng dẫn học sinh lớp 12 cách tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số qua 2 quy tắc mà Gia sư Tiến Bộ chia sẻ dưới đây.

Trước tiên chúng ta cần ôn lại lý thuyết thế nào là giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số.

Xem thêm: You Don’t Have to Be Infected to Suffer: COVID-19 and Racial Disparities in Severe Maternal Morbidity and Mortality

Khái niệm cực trị

Cho hàm số displaystyle (y=fleft( x right) xác định và liên tục trên khoảng displaystyle left( {a;b} right) và điểm displaystyle ({{x}_{0}}in left( {a;b} right).

a) Hàm số displaystyle (fleft( x right) đạt cực đại tại displaystyle {{x}_{0}}

displaystyle Leftrightarrow exists h>0,fleft( x right)<fleft( {{{x}_{0}}} right),forall xin left( {{{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h} right)backslash left{ {{{x}_{0}}} right}

Khi đó f(x_0) là giá trị cực đại của hàm số.

b) Hàm số displaystyle (fleft( x right) đạt cực tiểu tại displaystyle {{x}_{0}}

displaystyle Leftrightarrow exists h>0,fleft( x right)>fleft( {{{x}_{0}}} right),forall xin left( {{{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h} right)backslash left{ {{{x}_{0}}} right}

Khi đó f(x_0) là giá trị cực tiểu của hàm số.

* Chú ý:

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

– Giá trị cực trị của hàm số.

Các định lý về cực trị:

Định lý 1:

Giả sử hàm số y = fleft( x right) liên tục trên khoảng K = left( {{x_0} - h;{x_0} + h} right) và có đạo hàm trên K hoặc Kbackslash left{ {{x_0}} right}left( {h > 0} right).

a) Nếuleft{ begin{array}{l}f'left( x right) > 0,forall x in left( {{x_0} - h} right)\f'left( x right) < 0,forall x in left( {{x_0} + h} right)end{array} right. thì {x_0} là một điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu left{ begin{array}{l}f'left( x right) < 0,forall x in left( {{x_0} - h} right)\f'left( x right) > 0,forall x in left( {{x_0} + h} right)end{array} right.  thì {x_0} là một điểm cực tiểu của hàm số.

* Chú ý: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Cách tìm cực trị của hàm số

Định lý 2:

Giả sử hàm số displaystyle y = fleft( x right) liên tục trên khoảng displaystyle K = left( {{x_0} - h;{x_0} + h} right) và có đạo hàm trên displaystyle K hoặc displaystyle Kbackslash left{ {{x_0}} right}left( {h > 0} right).

a) Nếudisplaystyle left{ begin{array}{l}f'left( x right) > 0,forall x in left( {{x_0} - h} right)\f'left( x right) < 0,forall x in left( {{x_0} + h} right)end{array} right. thì displaystyle {x_0} là một điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu displaystyle left{ begin{array}{l}f'left( x right) < 0,forall x in left( {{x_0} - h} right)\f'left( x right) > 0,forall x in left( {{x_0} + h} right)end{array} right.  thì displaystyle {x_0} là một điểm cực tiểu của hàm số.

* Chú ý: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Cách tìm cực trị của hàm số

Định lý 2:

Giả sử displaystyle y = fleft( x right) có đạo hàm cấp 2 trong displaystyle left( {{x_0} - h;{x_0} + h} right)left( {h > 0} right).

a) Nếudisplaystyle left{ begin{array}{l}f'left( {{x_0}} right) = 0\f''left( {{x_0}} right) > 0end{array} right.thì displaystyle {x_0} là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếudisplaystyle left{ begin{array}{l}f'left( {{x_0}} right) = 0\f''left( {{x_0}} right) < 0end{array} right.thì displaystyle {x_0} là một điểm cực đại của hàm số.

Xem thêm: Các bước chuẩn bị và bảo quản sơn chống ăn mòn

Cách tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Quy tắc tìm cực trị số 1:

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính displaystyle f'left( x right), tìm các điểm tại đó displaystyle f'left( x right) = 0 hoặc không xác định.

– Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Quy tắc tìm cực trị số 2:

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính displaystyle f'left( x right), giải phương trình displaystyle f'left( x right) = 0 và kí hiệu displaystyle {x_1},...,{x_n} là các nghiệm của nó.

– Bước 3: Tính displaystyle ({f}''left( x right)displaystyle ({f}''left( {{{x}_{i}}} right).

– Bước 4: Dựa và dấu của displaystyle f''left( {{x_i}} right) suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm displaystyle {x_i}displaystyle ({f}''left( {{{x}_{i}}} right)>0 thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm displaystyle {x_i}displaystyle f''left( {{x_i}} right) < 0 thì đó là điểm cực đại của hàm số.

* Chú ý: Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác thì dùng quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn, tránh được việc xét dấu đạo hàm.

Xem thêm: Cách tính diện tích phụ kiện ống gió chính xác nhất

Bài tập tìm cực trị của hàm số

Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y=2 x^{3}-6 x+2.

Giải

Tập xác định D=R.

Ta có: y^{prime}=6 x^{2}-6. Cho y^{prime}=0 Leftrightarrow 6 x^{2}-6=0 Leftrightarrow x=pm 1.

Bảng biến thiên:

Cách tìm cực trị của hàm số qua 2 quy tắc-1

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, y=6 và hàm số đạt cực tiểu tại x=1, y=-2.

Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y=x^{4}-2 x^{2}+2.

Giải

Tập xác định D=R.

Ta có: displaystyle y^{prime}=4 x^{3}-4 x. Cho y^{prime}=0 Leftrightarrow 4 x^{3}-4 x=0 Leftrightarrowleft[begin{array}{l}x=0 \ x=pm 1end{array}right.

Bảng biến thiên:

Cách tìm cực trị của hàm số qua 2 quy tắc-2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=pm 1, y=1 và hàm số đạt cực đại tại x=0, y=2.

Bài 3. Tìm cực trị của hàm số displaystyle y=frac{2 x-3}{x-2}

Giải

Tập xác định displaystyle D=Rbackslash {2}.

Ta có: displaystyle y^{prime}=frac{-1}{(x-2)^{2}} Rightarrow y^{prime}>0 quad forall x in D

Bảng biến thiên:

Cách tìm cực trị của hàm số qua 2 quy tắc-3

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Updated: 27/08/2020 — 12:08
  • Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số và vẽ đồ thị – Toán 12

  • Các dạng bài tập vận dụng cao thể tích của khối đa diện

  • Công thức hình học lớp 12 cần nhớ

  • 6 dạng toán phương trình mặt cầu

  • 340 câu trắc nghiệm Toán 12 ôn thi HK1 có đáp án

  • Đề cương ôn tập HK1 môn Toán lớp 12 năm 2020-2021

  • Bảng tóm tắt công thức Toán 12 đầy đủ

  • Công thức Giải tích 12 phải ghi nhớ

  • Thủ thuật Casio giải nhanh trắc nghiệm Toán 12 – Vương Thanh Bình

  • Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Chú ý:

Nếu không download được tài liệu các bạn vui lòng tải trên máy tính hoặc comment bên dưới hoặc  liên hệ qua email

[email protected]

. Xin cảm ơn!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button