Kiến thức

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian-Gia sư Hà Nội

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian

Chia sẻ cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian trong hệ tọa độ Oxyz,

kiến thức Toán 11

.

Phương pháp tính khoảng cách từ: Điểm ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ tới mặt phẳng $(alpha ):ax + by + cz + d = 0.$

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian

  • Những đồ dùng cần chuẩn bị cho bé khi vào lớp 1

  • Bảng cửu chương nhân, chia từ 2 tới 9

  • 10 bài văn về mẹ hay và ý nghĩa

  • Đề ôn tập tiếng Việt lớp 2 nghỉ dịch Corona từ 28 đến 5/5

  • Một số bài văn tả loại quả mà em thích lớp 2

Công thức: $dleft( {{M_0};(alpha )} right) = frac{{left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$

Hệ quả:

* ${M_0} in (alpha )$ $ Leftrightarrow dleft( {{M_0};(alpha )} right) = 0.$

* $ dleft( {{{M}_{0}};(alpha )} right)$ với $left{begin{array}{l}M_{0} H perp(alpha) \ H in(alpha)end{array}right.$

* Với mọi $M in (alpha ):$ $dleft( {{M_0};(alpha )} right) le {M_0}M.$

Bạn đang xem: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian-Gia sư Hà Nội

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ $A(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(Oxy).$

A. $d=1.$

B. $d=2.$

C. $d=3.$

D. $d = sqrt 5 .$

Lời giải:

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình: $z = 0.$

$ Rightarrow d(A;(Oxy)) = frac{{|3|}}{{sqrt 1 }} = 3.$

Chọn đáp án C.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $A’$ là điểm đối xứng của điểm $A(1;2;3)$ qua mặt phẳng $(Oxy).$ Tính độ dài đoạn thẳng $AA’.$
A. $4.$
B. $2.$
C. $3.$
D. $6.$

Lời giải:

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình: $z = 0$ $ Rightarrow d(A;(Oxy)) = frac{{|3|}}{{sqrt 1 }} = 3.$

Suy ra: $AA’ = 2d(A;(Oxy)) = 6.$

Chọn đáp án D.

Kết quả lưu ý: Với $left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ ta có:

$d(M;(Oxy)) = left| {{z_0}} right|.$

$d(M;(Oyz)) = left| {{x_0}} right|.$

$d(M;(Oxz)) = left| {{y_0}} right|.$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(1;2;-3)$ trên mặt phẳng $(Oxy).$ Tính diện tích $S$ tam giác $OHA.$

A. $S = frac{{sqrt {13} }}{2}.$

B. $S = sqrt {10} .$

C. $S = frac{{3sqrt 5 }}{2}.$

D. $S = frac{{5sqrt {15} }}{2}.$

Lời giải:

Ta có: $OA = sqrt {14} $, $AH = d(A;(Oxy)) = 3.$

Tam giác $OHA$ vuông tại $H$ suy ra: $OH = sqrt {O{A^2} – A{H^2}} = sqrt 5 .$

Vậy $S = frac{1}{2}AH.OH = frac{{3sqrt 5 }}{2}.$

Chọn đáp án C.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(1;2;-3)$ trên mặt phẳng $(Oxz).$ Tính diện tích $S$ tam giác $OHA.$

A. $S = frac{{sqrt {13} }}{2}.$

B. $S = sqrt {10} .$

C. $S = frac{{3sqrt 5 }}{2}.$

D. $S = frac{{5sqrt {15} }}{2}.$

Lời giải:

Ta có: $OA = sqrt {14} $, $AH = d(A;(Oyz)) = 2.$

Tam giác $OHA$ vuông tại $H$ suy ra: $OH = sqrt {O{A^2} – A{H^2}} = sqrt {10} .$

Vậy $S = frac{1}{2}AH.OH = sqrt {10} .$

Chọn đáp án B.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ $A(1;3;-2)$ đến mặt phẳng $(P):x + 2y – 2z + 1 = 0.$

A. $d=4.$

B. $d=2.$

C. $d=3.$

D. $d = sqrt 5 .$

Lời giải:

Ta có: $d(A;(P)) = frac{{|1 + 6 + 4 + 1|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 4.$

Chọn đáp án A.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính bán kính $R$ của mặt cầu tâm $A(1;3;2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0.$
A. $d=4.$
B. $d=2.$
C. $d=3.$
D. $d = sqrt 5 .$

Lời giải:

Do mặt cầu tâm $A$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P):$

$ Leftrightarrow R = d(A;(P))$ $ = frac{{|1 + 6 + 4 + 1|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 4.$

Chọn đáp án A.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y+z+1=0.$ Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $(P)$, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $AM.$

A. $2.$

B. $1.$

C. $sqrt 2 .$

D. $sqrt 3 .$

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P).$

Ta có: $AM ge AH$ $ Rightarrow A{M_{min }} = AH = d(A;(P)) = 1.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K(1;1;0)$ và mặt phẳng $(alpha ):x + y + z – 1 = 0.$ Gọi $(C)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $K$, bán kính $R=2$ với mặt phẳng $(alpha )$, tính diện tích $S$ của $(C).$

A. $S = frac{{22pi }}{3}.$

B. $S = frac{{44pi }}{3}.$

C. $S = frac{{sqrt {33} pi }}{3}.$

D. $S = frac{{11pi }}{3}.$

Lời giải:

Ta có: $d(K;(alpha )) = frac{{sqrt 3 }}{3}.$ Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(C)$, ta có: $r = sqrt {{R^2} – {{[d(K;(alpha ))]}^2}} = frac{{sqrt {33} }}{3}.$

Vậy $S = pi {r^2} = frac{{11pi }}{3}.$

Chọn đáp án D.

Twitter

Facebook

LinkedIn

Pin It

Có thể bạn quan tâm

  • Tóm tắt công thức Toán tiểu học dễ học thuộc

  • Tổng hợp các công thức trong Hình học 10

  • Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian

  • 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng

  • 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong cùng một mặt phẳng

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button