Kiến thức

Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và bài tập có lời giải-Toán lớp 12

  • Trang chủ

  • Tin tức mới

  • Kiến thức THPT

  • Trung Học PT lớp 12

  • Môn Toán 12

  • Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và bài tập có lời giải – Toán lớp 12

Bạn đang xem: Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và bài tập có lời giải-Toán lớp 12

Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và bài tập có lời giải – Toán lớp 12

17:07:1707/03/2019

Đổi biến số là một trong những phương pháp tính nguyên hàm được sử dụng thường xuyên, đây là phương pháp hiệu quả để đưa bài toán nguyên hàm dạng phức tạp thành những bài toán nguyên hàm cơ bản.

Vậy cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số cụ thể như thế nào? được vận dụng để tính nguyên hàm của hàm vô tỉ, hàm hữu tỉ, hay hàm lượng giác,... , chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây, đồng thời vận dụng phương pháp này để giải một số bài tập tìm nguyên hàm.

I. Công thức nguyên hàm

* Công thức nguyên hàm cơ bản (hàm vô tỉ, hữu tỉ, hàm mũ, hàm e, hàm lượng giác)

 1. 

 2. 

 3. 

 4.

 5. 

 6. 

 7. 

 8. 

 9. 

 10.

 11. 

 12. 

 13. 

* Công thức nguyên hàm mở rộng (hàm vô tỉ, hữu tỉ, hàm mũ, hàm e, hàm lượng giác)

 14. 

 15. 

 16.

 17. 

 18.

 19. 

 20. 

 21. 

 22. 

 23. 

 24. 

* Công thức nguyên hàm nâng cao (hàm hữu tỉ, hàm căn, hàm mũ e, hàm lượng giác)

 25. 

 26. 

 27. 

 28.

 29. 

 30.

 31. 

 32 

 33. 

 34. 

 35. 

II. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đổi biến số

– Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu  là hàm số có đạo hàm thì 

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = φ(t) trong đó φ(t) cùng với đạo hàm của nó φ'(t)  là những hàm số liên tục, ta sẽ được:

– Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến (phép biến đổi 1 thì x là hàm theo t, phép biến đổi 2 thì t là hàm theo x) cụ thể như sau:

* Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

* Phương pháp:

– Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

+ Bước 2: Lấy vi phân 2 vế, dx = φ'(t)dt.

+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f[φ(t)].φ'(t)dt = g(t)dt.

+ Bước 4: Khi đó I = ∫g(t)dt = G(t) + C

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

+ Dấu hiệu  đặt  với  hoặc  với .

+ Dấu hiệu  đặt  với  hoặc  với 

+ Dấu hiệu  đặt  với  hoặc  với 

+ Dấu hiệu  hay  đặt 

+ Dấu hiệu  đặt 

 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của: 

* Lời giải:

 – Đặt x = sint;  ⇒ dx = costdt

 ta cũng có: 

 vậy: 

 ⇒ I = 

* Lưu ý:  ⇒ cost > 0 và 

 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định 

* Lời giải:

 – Ta có, x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 + (√2)2 nên

 Đặt: x + 1 = √2tan(t).  

– Ta có: 

 

– Khi đó:  (*)

– Mà   

   tha vào (*) ta được kết quả.

 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau:

* Lời giải: 

– ĐK: x2 – 1 >0 ⇔ x > 1 hoặc x < -1, nên ta chia làm 2 trường hợp.

+ TH1: x > 1

 – Đặt  

 – Nên có: 

  

 

 

+ TH2: x < -1 làm tương tự

 Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm sau: 

* Lời giải:

 – Đặt  

– Ta có: 

  

– Lưu ý: Phương pháp này cũng được sử dụng để giải bài toán tổng quát: I = 

* Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

* Phương pháp:

– Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn t = ψ(x), trong đó ψ(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

+ Bước 2: Tính vi phân 2 vế: dt = ψ'(x)dx.

+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f[φ(t)].φ'(t)dt = g(t)dt.

+ Bước 4: Khi đó I = ∫g(t)dt =  G(t) + C

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

+ Dấu hiệu  đặt 

+ Dấu hiệu  đặt   với 

+ Dấu hiệu  với x + a > 0 và x + b > 0 đặt ; với x + a < 0 và x + b < 0 đặt .

 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm 

* Lời giải:

– Đặt 

– Khi đó,  

⇒ 

 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: 

* Lời giải:

– Đặt  

– Khi đó: 

 

 ⇒ 

 

 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: 

* Lời giải: 

– Đặt 

  

 

⇒ 

 

 Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm: 

* Lời giải:

– Đặt  

– Khi đó: 

⇒ 

 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của 

* Lời giải:

– Đặt 

– Khi đó: 

⇒ 

 Ví dụ 6: Tính tính phân bất định 

* Lời giải:

– Đặt 

 

– Khi đó: I

 Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của 

* Lời giải:

– Ta xét 2 trường hợp:

+ TH1: 

– Đặt  

– Khi đó: 

+ TH2: 

– Đặt  

– Khi đó:

III. Bài tập tìm nguyên hàm có lời giải

Bài 3 trang 103 sgk giải tích 12: Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính

a) 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải Bài 3 trang 103 sgk giải tích 12:

a) Đặt 

– Ta có: 

b) Đặt 

– Ta có: 

 

c) Đặt 

– Ta có: 

 

d) Đặt 

– Ta có: 

Hy vọng với bài viết về cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp đặt biến số và bài tập vận dụng có lời giải ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp y các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Tags:

  • giải tích 12

  • nguyên hàm

  • tích phân

  • phương pháp đổi biến số

  • phương pháp tích phân từng phần

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button