Kiến thức

Hệ thức lượng trong tam giác

Bạn đang xem: Hệ thức lượng trong tam giác

Geometry

July 24, 2014

Bài toán : Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, bán kính ngoại tiếp R. Chứng minh rằng các đường tròn left ( A,sqrt{HB.HC} right ),left ( B,sqrt{HC.HA} right ),left ( C,sqrt{HA.HB} right ) có một điểm chung khi và chỉ khi :

sqrt[4]{HA.HB}+sqrt[4]{HB.HC}+sqrt[4]{HC.HA}=3sqrt{R}.

Lời giải :

Ta có thể tính được :

HA=2R.cosA,HB=2R.cosB,HC=2R.cosC

Từ đó :

HA+HB+HC=2R(cosA+cosB+cosC)leq 3R

Ta có :

sqrt[4]{HA.HB}+sqrt[4]{HB.HC}+sqrt[4]{HC.HA}=3sqrt{R}Leftrightarrow 9R=left ( sqrt[4]{HA.HB}+sqrt[4]{HB.HC}+sqrt[4]{HC.HA} right )^2leq 3(sqrt{HA.HB}+sqrt{HB.HC}+sqrt{HC.HA})leq 3sqrt{3(HA.HB+HB.HC+HC.HA)}leq 3(HA+HB+HC)leq 9R

Đẳng thức phải xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Tức là :

sqrt[4]{HA.HB}+sqrt[4]{HB.HC}+sqrt[4]{HC.HA}=3sqrt{R}Leftrightarrow Delta ABC đều.  (1)

Nếu left ( A,sqrt{HB.HC} right ),left ( B,sqrt{HC.HA} right ),left ( C,sqrt{HA.HB} right ) có một điểm chung P thì ta có :

PA^2=HB.HC,PB^2=HC.HA,PC^2=HA.HB

Từ đó :

aPA^2+bPB^2+cPC^2=sum a.HB.HC

Dễ dàng thấy rằng :

dfrac{abc}{4R}=S_{ABC}=S_{AHB}+S_{BHC}+S_{CHA}=sum dfrac{1}{2}HA.HB.sinangle AHB=sum dfrac{1}{2}.HA.HB.sinC=sum dfrac{1}{2}.HA.HB.dfrac{c}{2R}Leftrightarrow sum a.HB.HC=abc

Như vậy :

aPA^2+bPB^2+cPC^2=abc

Dễ nhận ra kết quả quen thuộc sau : I là tâm tỉ cự của hệ điểm left { A,B,C right } với các hệ số tương ứng là left { a,b,c right }. Từ đó theo hệ thức Jacobi ta được :

aPA^2+bPB^2+cPC^2=aIA^2+bIB^2+cIC^2+(a+b+c)PI^2

Cũng dễ dàng nhìn ra kết quả quen thuộc aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc. Từ đó có :

(a+b+c)PI^2=0Leftrightarrow Pequiv I

Từ đó :

IA^2=HB.HC,IB^2=HC.HA,IC^2=HA.HBRightarrow IA.IB.IC=HA.HB.HCRightarrow dfrac{r^3}{8R^3}=prod sindfrac{A}{2}.prod cosARightarrow tanA.tanB.tanC.tandfrac{A}{2}.tandfrac{B}{2}.tandfrac{C}{2}=1

Nhưng lại có :

tanA.tanB.tanC.tandfrac{A}{2}.tandfrac{B}{2}.tandfrac{C}{2}geq 3sqrt{3}.dfrac{sqrt{3}}{9}=1

Và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Như vậy :

left ( A,sqrt{HB.HC} right ),left ( B,sqrt{HC.HA} right ),left ( C,sqrt{HA.HB} right ) có một điểm chung Leftrightarrow Delta ABC đều.  (2)

Từ (1)(2) ta được điều cần chứng minh.

Hệ thức lượng trong tam giác

Leave a comment

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button