Kiến thức

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

Bạn đang xem: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

Đăng ngày: 08/01/2020 Biên tập:

DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa).
a) ${sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = 1 – 2{sin ^2}x.{cos ^2}x.$
b) $frac{{1 + cot x}}{{1 – cot x}} = frac{{tan x + 1}}{{tan x – 1}}.$
c) $frac{{cos x + sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = {tan ^3}x + {tan ^2}x + tan x + 1.$

a) ${sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = {sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ + 2{sin ^2}x{cos ^2}x$ $ – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$
$ = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2}$ $ – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$
$ = 1 – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$
b) $frac{{1 + cot x}}{{1 – cot x}}$ $ = frac{{1 + frac{1}{{tan x}}}}{{1 – frac{1}{{tan x}}}}$ $ = frac{{frac{{tan x + 1}}{{tan x}}}}{{frac{{tan x – 1}}{{tan x}}}}$ $ = frac{{tan x + 1}}{{tan x – 1}}.$
c) $frac{{cos x + sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = frac{1}{{{{cos }^2}x}} + frac{{sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = {tan ^2}x + 1 + tan xleft( {{{tan }^2}x + 1} right).$
$ = {tan ^3}x + {tan ^2}x + tan x + 1.$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
$frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{cos left( {frac{{A + C}}{2}} right)}}$ $ + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{sin left( {frac{{A + C}}{2}} right)}}$ $ – frac{{cos (A + C)}}{{sin B}}.tan B = 2.$

Vì $A + B + C = {180^0}$ nên:
$VT = frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{cos left( {frac{{{{180}^0} – B}}{2}} right)}}$ $ + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{sin left( {frac{{{{180}^0} – B}}{2}} right)}}$ $ – frac{{cos left( {{{180}^0} – B} right)}}{{sin B}}.tan B.$
$ = frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{sin frac{B}{2}}} + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{cos frac{B}{2}}}$ $ – frac{{ – cos B}}{{sin B}}.tan B$ $ = {sin ^2}frac{B}{2} + {cos ^2}frac{B}{2} + 1$ $ = 2 = VP.$
Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $A = sin left( {{{90}^0} – x} right)$ $ + cos left( {{{180}^0} – x} right)$ $ + {sin ^2}xleft( {1 + {{tan }^2}x} right)$ $ – {tan ^2}x.$
b) $B = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{1}{{1 + cos x}} + frac{1}{{1 – cos x}}} – sqrt 2 .$

a) $A = cos x – cos x$ $ + {sin ^2}x.frac{1}{{{{cos }^2}x}}$ $ – {tan ^2}x = 0.$
b) $B = frac{1}{{sin x}} cdot sqrt {frac{{1 – cos x + 1 + cos x}}{{(1 – cos x)(1 + cos x)}}} – sqrt 2 .$
$ = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{2}{{1 – {{cos }^2}x}}} – sqrt 2 $ $ = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{2}{{{{sin }^2}x}}} – sqrt 2 .$
$ = sqrt 2 left( {frac{1}{{{{sin }^2}x}} – 1} right)$ $ = sqrt 2 {cot ^2}x.$

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x.$
$P = sqrt {{{sin }^4}x + 6{{cos }^2}x + 3{{cos }^4}x} $ $ + sqrt {{{cos }^4}x + 6{{sin }^2}x + 3{{sin }^4}x} .$

$P = sqrt {{{left( {1 – {{cos }^2}x} right)}^2} + 6{{cos }^2}x + 3{{cos }^4}x} $ $ + sqrt {{{left( {1 – {{sin }^2}x} right)}^2} + 6{{sin }^2}x + 3{{sin }^4}x} .$
$ = sqrt {4{{cos }^4}x + 4{{cos }^2}x + 1} $ $ + sqrt {4{{sin }^4}x + 4{{sin }^2}x + 1} .$
$ = 2{cos ^2}x + 1 + 2{sin ^2}x + 1.$
$ = 3.$
Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1
: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) ${tan ^2}x – {sin ^2}x = {tan ^2}x.{sin ^2}x.$
b) ${sin ^6}x + {cos ^6}x = 1 – 3{sin ^2}x.{cos ^2}x.$
c) $frac{{{{tan }^3}x}}{{{{sin }^2}x}} – frac{1}{{sin xcos x}} + frac{{{{cot }^3}x}}{{{{cos }^2}x}}$ $ = {tan ^3}x + {cot ^3}x.$
d) ${sin ^2}x – {tan ^2}x$ $ = {tan ^6}xleft( {{{cos }^2}x – {{cot }^2}x} right).$
e) $frac{{{{tan }^2}a – {{tan }^2}b}}{{{{tan }^2}a.{{tan }^2}b}}$ $ = frac{{{{sin }^2}a – {{sin }^2}b}}{{{{sin }^2}a.{{sin }^2}b}}.$

a) $VT = frac{{{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} – {sin ^2}x$ $ = {sin ^2}xleft( {1 + {{tan }^2}x} right) – {sin ^2}x$ $ = VP.$
b) ${sin ^6}x + {cos ^6}x$ $ = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^3}$ $ – 3{sin ^2}x.{cos ^2}xleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)$ $ = 1 – 3{sin ^2}x.{cos ^2}x.$
c) $VT = {tan ^3}xleft( {{{cot }^2}x + 1} right)$ $ – tan xleft( {{{cot }^2}x + 1} right)$ $ + {cot ^3}xleft( {{{tan }^2}x + 1} right)$ $ = tan x + {tan ^3}x – cot x$ $ – tan x + cot x + {cot ^3}x = VP.$
d) $VP = {tan ^6}x{cos ^2}x – {tan ^6}x{cot ^2}x$ $ = {tan ^4}x{sin ^2}x – {tan ^4}x$ $ = {tan ^4}x.{cos ^2}x$ $ = {tan ^2}x.{sin ^2}x$ $ = {tan ^2}x – {sin ^2}x = VT$ (do câu a).
e) $VT = frac{1}{{{{tan }^2}b}} – frac{1}{{{{tan }^2}a}}$ $ = {cot ^2}b – {cot ^2}a$ $ = frac{1}{{{{sin }^2}b}} – frac{1}{{{{sin }^2}a}} = VP.$

Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $A = frac{1}{{{{cos }^2}x}}$ $ – {tan ^2}left( {{{180}^0} – x} right)$ $ – {cos ^2}left( {{{180}^0} – x} right).$
b) $B = frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{{{cot }^2}x – {{tan }^2}x}} – {cos ^2}x.$
c) $C = frac{{{{sin }^3}a + {{cos }^3}a}}{{{{cos }^2}a + sin a(sin a – cos a)}}.$
d) $D = sqrt {frac{{1 + sin a}}{{1 – sin a}}} + sqrt {frac{{1 – sin a}}{{1 + sin a}}} .$

a) $A = {tan ^2}x + 1$ $ – {tan ^2}x – {cos ^2}x$ $ = {sin ^2}x.$
b) $B = frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{frac{1}{{{{sin }^2}x}} – 1 – frac{1}{{{{cos }^2}x}} + 1}}$ $ – {cos ^2}x$ $ = {cos ^2}x{sin ^2}x – {cos ^2}x$ $ = – {cos ^4}x.$
c) $C = $ $frac{{(sin a + cos a)left( {{{sin }^2}a – sin acos a + {{cos }^2}a} right)}}{{{{sin }^2}a – sin acos a + {{cos }^2}a}}$ $ = sin a + cos a.$
d) ${D^2} = $ $frac{{1 + sin a}}{{1 – sin a}} + frac{{1 – sin a}}{{1 + sin a}} + 2$ $ = frac{{{{(1 + sin a)}^2} + {{(1 – sin a)}^2}}}{{1 – {{sin }^2}a}} + 2$ $ = frac{{2 + 2{{sin }^2}a}}{{{{cos }^2}a}} + 2$ $ = frac{4}{{{{cos }^2}a}}.$
Suy ra $D = frac{2}{{|cos a|}}.$

Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $alpha $ (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $2left( {{{sin }^6}alpha + {{cos }^6}alpha } right)$ $ – 3left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right).$
b) ${cot ^2}{30^0}left( {{{sin }^8}alpha – {{cos }^8}alpha } right)$ $ + 4cos {60^0}left( {{{cos }^6}alpha – {{sin }^6}alpha } right)$ $ – {sin ^6}left( {{{90}^0} – alpha } right){left( {{{tan }^2}alpha – 1} right)^3}.$
c) $left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x – 1} right)$$left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x + 2} right).$
d) $frac{{{{sin }^4}x + 3{{cos }^4}x – 1}}{{{{sin }^6}x + {{cos }^6}x + 3{{cos }^4}x – 1}}.$

a) $2left( {{{sin }^6}alpha + {{cos }^6}alpha } right)$ $ – 3left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right).$
$ = 2left( {1 – 3{{sin }^2}x.{{cos }^2}x} right)$ $ – 3left( {1 – 2{{sin }^2}x.{{cos }^2}x} right) = – 1.$
b) ${cot ^2}{30^0}left( {{{sin }^8}alpha – {{cos }^8}alpha } right)$ $ + 4cos {60^0}left( {{{cos }^6}alpha – {{sin }^6}alpha } right)$ $ – {sin ^6}left( {{{90}^0} – alpha } right){left( {{{tan }^2}alpha – 1} right)^3}.$
$ = 3left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right)$ $ – 2left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)$$left( {{{sin }^4}alpha + {{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha + {{cos }^4}alpha } right)$ $ – {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3}.$
$ = {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3}$ $ – {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3} = 0.$
c) $left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x – 1} right)$$left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x + 2} right)$ $ = – 2.$
d) $frac{{{{sin }^4}x + 3{{cos }^4}x – 1}}{{{{sin }^6}x + {{cos }^6}x + 3{{cos }^4}x – 1}}$ $ = frac{2}{3}.$

<!– –>

Thuộc chủ đề:

Toán lớp 10

Học bài 1 chương 2 Hình học 10

Bài liên quan:

  1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

  2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐẶC BIỆT

  3. Lý thuyết Bài Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 đến 180 độ

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button