Kiến thức

Chuyên đề: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC-Sách Toán

Chuyên đề: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

Đăng ngày: 14/06/2018 Biên tập:

Bạn đang xem: Chuyên đề: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC-Sách Toán

Kiến thức cơ bản.

Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Kĩ năng cơ bản.

Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước:

+ Số phức z = a + bi (a, b ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.

+ Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

+ Số phức z = a + bi (a, b ) cũng được biểu diễn bởi vectơ $overrightarrow{u}=(a;b)$, do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b $in mathbb{R}$) cũng có nghĩa là $overrightarrow{OM}$ biểu diễn số phức đó.

Ta có: Nếu $overrightarrow{u},overrightarrow{v}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì

$overrightarrow{u}+overrightarrow{v}$ biểu diễn số phức z + z’,

$overrightarrow{u}-overrightarrow{v}$ biểu diễn số phức z – z’,

k$overrightarrow{u}text{ }(kin mathbb{R})$ biểu diễn số phức kz,

$left| overrightarrow{OM} right|=left| overrightarrow{u} right|=left| z right|$, với M là điểm biểu diễn của z.

 

Bài tập luyện tập.

 

Bài 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết:

a) Điểm biểu diễn số phức $z=2-3i$có tọa độ là:: $left(2;-3 right)$.

b)Điểm biểu diễn số phức $z=-2i$ có tọa độ là: $left(0;-2 right)$

c) Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ có điểm biểu diễn là: $left(6;-7 right)$.

d)Điểm biểu diễn của số phức $z=frac{1}{2-3i}$  là: $left(frac{2}{13};,,frac{3}{13} right)$.

e) Cho số phức$z=2016-2017i$. Số phức đối của $z$là $-Z=-2016+2017i$ có điểm biểu diễn là: $left(-2016; 2017 right)$

f) Cho số phức$z=2017-2018i$. Số phức liên hợp $overline{z}=2017+2018i$có điểm biểu diễn là điểm có tọa độ $left(2017; 2018 right)$.

g)Điểm biểu diễn số phức $z=frac{(2-3i)(4-i)}{3+2i}=-1-4i$ có tọa độ là $left(-1;-4 right)$.

h)Trong mặt phẳng 0xy, điểm biểu diễn của số phức $z=frac{{{i}^{2016}}}{{{(1+2i)}^{2}}}$là điểm nào?

$z=frac{{{i}^{2018}}}{{{(1+2i)}^{2}}}=frac{{{i}^{4.504+2}}}{(-3+4i)}=frac{{{i}^{2}}}{(-3+4i)}=frac{-1}{(-3+4i)}=frac{3}{25}+frac{4}{25}i$

Điểm biểu diễn của số phức $z=frac{{{i}^{2016}}}{{{(1+2i)}^{2}}}$là điểm $left(frac{3}{25};frac{4}{25} right)$.

Bài 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức.

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.

Giải:

a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1;3)

Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1)

b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi P(3;4

z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi Q(1;-2).

Bài 3: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $|z+1-i|=|z-1+2i$

Giả sử z = a + bi (a,b ∈ℝ). Ta có

(left| {z + 1 – i} right| = left| {z – 1 + 2i} right| Leftrightarrow left| {(a + 1) + (b – 1)i} right| = left| {(a – 1) + (b + 2)i} right|)

(Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b – 1)^2} = {(a – 1)^2} + {(b + 2)^2})

(Leftrightarrow 4a – 6b – 3 = 0)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x – 6y – 3 = 0

 

Bài 4: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $|z+3i−2|=10$

Mỗi số phức $z = x+yi$ được biểu diễn bởi một điểm (x;y). Do đó ta có tập số phức z thỏa mãn là:
$|x+3i+yi−2|=10⇔(x−2)^2+(y+3)^2=100$ là đường tròn Tâm I(2,-3), bán kính R=10

 

Bài 5:  Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $left| z-3i right|+ left| ibar{z}+3 right|=10$.

Gọi $z=x+yi$

Theo bài ra ta có $sqrt{x^2 +(y-3)^2} +sqrt{(y+3)^2+ x^2} =10$

$Rightarrow x^2 +(y-3)^2 =100 + (y+3)^2+ x^2 -20 sqrt{(y+3)^2+ x^2} $

$Rightarrow 10 sqrt{(y+3)^2+ x^2} =50+6y$

$Rightarrow 25x^2 +16y^2 =400$

Tập hợp các điểm trong mp tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức bài ra là Elip có phương trình

$(E): dfrac{x^2}{16} +dfrac{y^2}{25} =1$

 

Bài 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho $u=frac{z+2+3i}{z-i}$ là một số thuần ảo.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $in R$), khi đó:

$u=frac{left(x+2 right)+left(y+3 right)i}{x+left(y-1 right)i}=frac{left[ left(x+2 right)+left(y+3 right)i right]left[ x-left(y-1 right)i right]}{{{x}^{2}}+{{left(y-1 right)}^{2}}}$

$=frac{left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3 right)+2left(2x-y+1 right)i}{{{x}^{2}}+{{left(y-1 right)}^{2}}}$

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

$left{ begin{align}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3=0 \
{{x}^{2}}+{{left(y-1 right)}^{2}}>0 \
end{align} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{align}
{{left(x+1 right)}^{2}}+{{left(y+1 right)}^{2}}=5 \
left(x;y right)ne left(0;1 right) \
end{align} right.$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính $sqrt{5}$ trừ điểm (0;1)

 

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

$left| z-i right|=left| left(1+i right)z right|$

Giải:

Đặt z= x+ yi (x,y $in R$)

Ta có:

$begin{align}
left| z-i right|=left| left(1+i right)z right|Leftrightarrow left| x+left(y-1 right)i right|=left| left(x-y right)+left(x+y right)i right| \
Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{left(y-1 right)}^{2}}={{left(x-y right)}^{2}}+{{left(x+y right)}^{2}} \
end{align}$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy-1=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{left(y+1 right)}^{2}}=2$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{left(y+1 right)}^{2}}=2$

Bài 8: (Vận dụng)Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $left| z-2-4i right|=left| z-2i right|$.Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi  (x,y Î R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Ta có$left| x-2+(y-4)i right|=left| x+(y-2)i right|$  (1)  $Leftrightarrow sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}}=sqrt{{{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}}$

$Leftrightarrow y=-x+4$. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt khác $left| z right|=sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=sqrt{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-8x+16}=sqrt{2{{x}^{2}}-8x+16}$

Hay $left| z right|=sqrt{2{{left(x-2 right)}^{2}}+8}ge 2sqrt{2}$

Do đó ${{left| z right|}_{min }}Leftrightarrow x=2Rightarrow y=2$. Vậy $z=2+2i$

Bài 9: (Vận dụng) Biết rằng số phức z thỏa mãn $u=left(z+3-i right)left(overline{z}+1+3i right)$là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $left| z right|$.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $in R$) ta có

$u=left[ left(x+3 right)+left(y-1 right)i right]left[ left(x+1 right)-left(y-3 right)i right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4y+6+2left(x–y-4 right)i$

Ta có: $uin RLeftrightarrow x-y-4=0$

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất $Leftrightarrow OMbot d$ Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.

Bài 10: (Vận dụng)Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện $left| overline{z}left(1+i right)-3+2i right|=frac{sqrt{13}}{2}$

Giải

Gọi $z=x+yi(x,yin R)Rightarrow bar{z}=x-yi$

$left| bar{z}left. (1+i)-3+2i right| right.=frac{sqrt{13}}{2}Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-5y+frac{39}{8}=0$

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy$Rightarrow Min (C)$là đường tròn có tâm $I(frac{1}{2};frac{5}{2})$và bán kính $R=frac{sqrt{26}}{4}$

Gọi d là đường thẳng đi qua O và I $Rightarrow d:y=5x$

Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C)$Rightarrow {{M}_{1}}(frac{3}{4};frac{15}{4})$và${{M}_{2}}(frac{1}{4};frac{5}{4})$

Ta thấy
$left{ begin{align}
O{{M}_{1}}>O{{M}_{2}} \
O{{M}_{1}}=OI+Rge OM(Min (C)) \
end{align} right.$

$Rightarrow $số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay $z=frac{3}{4}+frac{15}{4}i$

 

Bài tập TNKQ.

Câu 1.(Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Cho số phức (z = 1 – 2i). Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức.. trên mặt phẳng tọa độ ?

A. $Q(1;2)$

B. $N(2;1)$

C. $M(1;-2)$

D. $P(-2;1)$

Câu 2. (Vận dụng)Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $left| z-3+4i right|le 2.$ Trong mặt phẳng $Oxy$ tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=2z+1-i$ là hình tròn có diện tích

A. $S=9pi $.

B. $S=12pi $.

C. $S=16pi $.

D. $S=25pi $.

Câu 3.Điểm biểu diễn hình học của số phức $z=a+ai$ nằm trên đường thẳng:

A. $y=x$

B. $y=2x$

C. $y=-x$

D. $y=-2x$

Câu 4.Gọi $A$là điểm biểu diễn của số phức $5+8i$và $B$là điểm biểu diễn của số phức $-5+8i.$ Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Hai điểm $A$ và $B$đối xứng với nhau qua trục hoành.

B. Hai điểm$A$ và $B$đối xứng với nhau qua trục tung.

C. Hai điểm$A$ và $B$đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.

D. Hai điểm$A$ và $B$đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x.$

Câu 5.Gọi $A$là điểm biểu diễn của số phức $z=2+5i$và $B$là điểm biểu diễn của số phức ${z}’=-2+5i$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua trục hoành

B. Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua trục tung

C. Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua gốc toạ độ $O$

D. Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x$

Câu 6.Điểm M biểu diễn số phức $z=frac{3+4i}{{{i}^{2019}}}$ có tọa độ là

A. $M(4;-3$)

B. $Mleft( 3;-4 right)$

C. $Mleft( 3;4 right)$

D. $Mleft( -4;3 right)$

Câu 7.Trong mặt phẳng phức, gọi $A,B,C$lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức ${{z}_{1}}=-1+3i$, ${{z}_{2}}=1+5i$, ${{z}_{3}}=4+i$. Số phức với điểm biểu diễn $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành là:

A. $2+3i$.

B. $2-i.$.

C. $2+3i.$.

D. $3+5i.$.

Câu 8.Gọi ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-4z+9=0$. Gọi $M,N$ là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của $MN$ là:

A. $MN=4.$.

B. $MN=5.$

C. $MN=-2sqrt{5}.$

D. $MN=2sqrt{5.}$

Câu 9.Gọi ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$là các nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-4z+9=0$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$và số phức $k=x+yi$ trên mặt phẳng phức. Khi đó tập hợp điểm $P$ trên mặt phẳng phức để tam giác $MNP$ vuông tại $P$ là:

A. đường thẳng có phương trình $y=x-sqrt{5}.$

B. là đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-8=0.$

C. là đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-8=0,$nhưng không chứa $M,N.$

D. là đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}-4x+{{y}^{2}}-1=0$nhưng không chứa $M,N.$

Câu 10.Biết $left| z-i right|=left| left( 1+i right)z right|$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ có phương trinh

A. ${{x}^{2}}++{{y}^{2}}+2y+1=0$.

B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1=0$.

C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-1=0$.

D. ${{x}^{2}}{{y}^{2}}-2y-1=0$.

Câu 11.Trong mặt phẳng tọa độ$Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $left| z-1 right|=left| left( 1+i right)z right|$ là:

A. Đường tròn có tâm $I(0;-1)$, bán kính $r=sqrt{2}$

B. Đường tròn có tâm $I(0;1)$, bán kính $r=sqrt{2}$

C. Đường tròn có tâm $I(1;0)$, bán kính $r=sqrt{2}$

D. Đường tròn có tâm $I(-1;0)$, bán kính $r=sqrt{2}$

Câu 12.Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $left| 2+z right|=left| i-z right|$ là:

A. Đường thẳng có phương trình $4x+2y+3=0$

B. Đường thẳng có phương trình $4x-2y+3=0$

C. Đường thẳng có phương trình $-4x+2y+3=0$

D. Đường thẳng có phương trình $4x+2y-3=0$

Câu 13.Gọi $A,,,B,,,C,,,D$ lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức ${{z}_{1}}=7-3i$, ${{z}_{2}}=8+4i$, ${{z}_{3}}=1+5i$, ${{z}_{4}}=-2i$. Tứ giác $ABCD$ là

A. là hình vuông.

B. là hình thoi.

C. là hình chữ nhật.

D. là hình bình hành.

Câu 14.Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức ${{z}_{1}}=-1+3i;{{z}_{2}}=-3-2i;{{z}_{3}}=4+i$. Chọn kết luận sai:

A. Tam giác $ABC$ vuông cân.

B. Tam giác $ABC$ cân.

C. Tam giác $ABC$ vuông.

D. Tam giác $ABC$ đều.

Câu 15.Tập hợp các điểm $M$biểu diễn cho số phức $z$ thoả mãn $left| z-i right|+left| z+i right|=4$ có dạng là

A. $frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{y}^{2}}}{3}=1$.

B. $frac{{{x}^{2}}}{16}+frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

C. $frac{{{x}^{2}}}{16}-frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

D. $frac{{{x}^{2}}}{4}-frac{{{y}^{2}}}{3}=1$.

Câu 16.Cho thỏa mãn $zin mathbb{C}$ thỏa mãn $left( 2+i right)left| z right|=frac{sqrt{10}}{z}+1-2i$. Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $w=left( 3-4i right)z-1+2i$ là đường tròn $I$, bán kính $R$. Khi đó.

A. $Ileft( -1;-2 right),R=sqrt{5}.$

B. $Ileft( 1;2 right),R=sqrt{5}.$

C. $Ileft( -1;2 right),R=5.$

D. $Ileft( 1;-2 right),R=5.$

Câu 17.Số phức $z$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:

Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức $varpi =frac{i}{overline{z}}$?

A.  

CD.

 

 

Câu 18.Trong các số phức $z$thỏa $left| z+3+4i right|=2$, gọi ${{z}_{0}}$ là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó

A. Không tồn tại số phức${{z}_{0}}$.

B. $left| {{z}_{0}} right|=2$.

C. $left| {{z}_{0}} right|=7$.

D. $left| {{z}_{0}} right|=3$.

Câu 19.Tính $S=1009+i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2017{{i}^{2017}}$.

A. $S=2017-1009i.$

B. $1009+2017i.$

C. $2017+1009i.$

D. $1008+1009i.$

Câu 20.Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện. Tìm giá trị lớn nhất của $T=left| z+i right|+left| z-2-i right|$.

A. $max T=8sqrt{2}$

B. $max T=4$.

C. $max T=4sqrt{2}$.

D.  $max T=8$.

<!– –>

Thuộc chủ đề:

Thi THPT Quốc gia môn toán

On thi so phuc

Bài liên quan:

  1. Chuyên đề: Max – Min Số Phức

  2. SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ

  3. Toàn cảnh đề thi toán THPT Quốc gia từ 2017 đến 2019 – Số phức

  4. Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia

  5. LUYỆN TẬP – KIỂM TRA Số phức

  6. Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

  7. CHUYÊN ĐỀ DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button