Kiến thức

Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng-Toán cấp 2

Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng

Dạng toán hệ phương trình đối xứng là một dạng bài tập xuất hiện trong đề thi Toán tuyển sinh vào 10 các trường chuyên. Hệ PT đối xứng chia ra làm 2 dạng là loại 1 và loại 2.

Dưới đây là lý thuyết và bài tập về chuyên đề này.

Bạn đang xem: Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng-Toán cấp 2

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.

  • 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải

  • Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán

  • Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình

  • Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số

  • Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp

– Phương trình $ displaystyle n$ ẩn $ displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},text{ }…,{{x}_{n}}$ gọi là đối xứng với $ displaystyle n$ ẩn nếu thay $ displaystyle {{x}_{i}}$ bởi $ displaystyle {{x}_{j}};~{{x}_{j}}$ bởi $ displaystyle {{x}_{i}}$ thì phương trình không thay đổi.

– Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

$ displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+text{ }…text{ }+{{x}_{n}}$

$ displaystyle {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+text{ }…text{ }+{{x}_{1}}{{x}_{n}}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+text{ }…text{ }+{{x}_{n-1}}{{x}_{n}}$

………………………….

$ displaystyle {{x}_{1}}{{x}_{2}}…{{x}_{n}}$

– Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.

– Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.

* Nếu đa thức $ displaystyle Fleft( x right)text{ }={{a}_{0}}{{x}^{n}}~+{{a}_{1}}{{x}^{n}}^{-1}+…{{a}_{n}},{{a}_{0}}ne text{ }0,{{a}_{i}}in P$ có nghiệm trên $ displaystyle P$ là $ displaystyle {{c}_{1}},text{ }…,{{c}_{n}}$ thì:

$ displaystyle left{ begin{array}{l}{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+…text{ }+{{c}_{n}}=-frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{0}}}\{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{3}}+text{ }…text{ }+{{c}_{1}}{{c}_{n}}+{{c}_{2}}{{c}_{1}}+{{c}_{2}}{{c}_{3}}+…text{ }+{{c}_{n-1}}{{c}_{n}}=frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{0}}}\………………………….\{{c}_{1}}{{c}_{1}}text{ }…text{ }{{c}_{n}}={{(-1)}^{n}}.frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{0}}}end{array} right.$

(Định lý Viét tổng quát)

Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:

1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

$ displaystyle left{ begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}text{ }=-frac{b}{a}\P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=frac{c}{a}end{array} right.$

Ngược lại, nếu 2 số x1, x2  có $ displaystyle left{ begin{array}{l}text{ }{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=S\text{ }{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=Pend{array} right.$ thì $ displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $ displaystyle {{X}^{2}}-SXtext{ }+P=text{ }0.$

2. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng

$ displaystyle left{ begin{array}{l}f(x,y)=0\g(x,y)=0end{array} right.$, trong đó $ left{ begin{array}{l}f(x,y)=f(y,x)\g(x,y)=g(y,x)end{array} right.$.

3. Cách giải:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và $ {{S}^{2}}ge 4P$.

Bước 3: Thay $ displaystyle x,y$ bởi $ displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ tìm $ displaystyle S,P$ rồi dùng Viét đảo tìm $ displaystyle x,y$.

Chú ý:

+ Cần nhớ: $ displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{S}^{2}}text{ }2P,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{S}^{3}}text{ }3SP.$

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ $ displaystyle u=uleft( x right),v=vleft( x right)$ và $ displaystyle S=u+v,text{ }Ptext{ }=uv.$

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

4. Bài tập:

Loại 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=30\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35end{array} right.$.

GIẢI

Đặt $ text{S}=x+y,text{ P}=xy$, điều kiện $ {{S}^{2}}ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:

$ left{ begin{array}{l}SP=30\S({{S}^{2}}-3P)=35end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}P=frac{30}{S}\Sleft( {{S}^{2}}-frac{90}{S} right)=35end{array} right.$

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}S=5\P=6end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x+y=5\xy=6end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=2\y=3end{array} right.vee left{ begin{array}{l}x=3\y=2end{array} right.$

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}xy(x-y)=-2\{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=2end{array} right.$.

GIẢI

Đặt $ t=-y,text{ }S=x+t,text{ }P=xt$, điều kiện $ {{S}^{2}}ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:

$ left{ begin{array}{l}xt(x+t)=2\{{x}^{3}}+{{t}^{3}}=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}SP=2\{{S}^{3}}-3SP=2end{array} right.$

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}S=2\P=1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=1\t=1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=1\y=-1end{array} right.$

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}x+y+frac{1}{x}+frac{1}{y}=4\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+frac{1}{{{x}^{2}}}+frac{1}{{{y}^{2}}}=4end{array} right.$.

GIẢI

Điều kiện $ xne 0,yne 0$.

Hệ phương trình tương đương với: $ left{ begin{array}{l}left( x+frac{1}{x} right)+left( y+frac{1}{y} right)=4\{{left( x+frac{1}{x} right)}^{2}}+{{left( y+frac{1}{y} right)}^{2}}=8end{array} right.$

Đặt $ S=left( x+frac{1}{x} right)+left( y+frac{1}{y} right),P=left( x+frac{1}{x} right)left( y+frac{1}{y} right),{{S}^{2}}ge 4P$ ta có:

$ left{ begin{array}{l}S=4\{{S}^{2}}-2P=8end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}S=4\P=4end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left( x+frac{1}{x} right)+left( y+frac{1}{y} right)=4\left( x+frac{1}{x} right)left( y+frac{1}{y} right)=4end{array} right.$

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x+frac{1}{x}=2\y+frac{1}{y}=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=1\y=1end{array} right.$

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+sqrt{2xy}=8sqrt{2},,text{ }(1)\sqrt{x}+sqrt{y}=4text{ },,,,text{ },text{ },text{ }(2)end{array} right.$.

GIẢI

Điều kiện $ x,yge 0$. Đặt $ t=sqrt{xy}ge 0$, ta có:

$ xy={{t}^{2}}$ và $ (2)Rightarrow x+y=16-2t$.

Thế vào (1), ta được: $ sqrt{{{t}^{2}}-32t+128}=8-tLeftrightarrow t=4$

Suy ra: $ left{ begin{array}{l}xy=16\x+y=8end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=4\y=4end{array} right.$

Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

+ Bước 2: Đặt $ displaystyle S=x+y,P=xy$ với điều kiện của $ displaystyle S,P$ và (*)

+ Bước 3: Thay $ displaystyle x,y$ bởi $ displaystyle S,P$ vào hệ phương trình.

Giải hệ tìm $ displaystyle S,P$ theo $ displaystyle m$ rồi từ điều kiện (*) tìm $ displaystyle m$.

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ $ displaystyle u=uleft( x right),v=vleft( x right)$ và $ displaystyle S=u+v,P=uv$ thì nhớ tìm chính xác điều kiện của $ displaystyle u,v$.

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

$ left{ begin{array}{l}sqrt{x}+sqrt{y}=1\xsqrt{x}+ysqrt{y}=1-3mend{array} right.$

GIẢI

Điều kiện $ x,yge 0$ ta có:

$ left{ begin{array}{l}sqrt{x}+sqrt{y}=1\xsqrt{x}+ysqrt{y}=1-3mend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}sqrt{x}+sqrt{y}=1\{{(sqrt{x})}^{3}}+{{(sqrt{y})}^{3}}=1-3mend{array} right.$

Đặt $ S=sqrt{x}+sqrt{y}ge 0,P=sqrt{xy}ge 0$, $ {{S}^{2}}ge 4P.$ Hệ phương trình trở thành:

$ left{ begin{array}{l}S=1\{{S}^{3}}-3SP=1-3mend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}S=1\P=mend{array} right.$.

Từ điều kiện $ Sge 0,Pge 0,{{S}^{2}}ge 4P$ ta có $ 0le mle frac{1}{4}$.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện $ displaystyle m$ để hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}x+y+xy=m\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=3m-9end{array} right.$ có nghiệm thực.

GIẢI

$ left{ begin{array}{l}x+y+xy=m\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=3m-9end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}(x+y)+xy=m\xy(x+y)=3m-9end{array} right.$.

Đặt $ displaystyle Stext{ }=text{ }xtext{ }+text{ }y,text{ }Ptext{ }=text{ }xy,$ Hệ phương trình trở thành: $ left{ begin{array}{l}S+P=m\SP=3m-9end{array} right.$.

Suy ra $ displaystyle S$ và $ displaystyle P$ là nghiệm của phương trình $ {{t}^{2}}-mt+3m-9=0$.

$ Rightarrow left{ begin{array}{l}S=3\P=m-3end{array} right.vee left{ begin{array}{l}S=m-3\P=3end{array} right.$

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{3}^{2}}ge 4(m-3)\{{(m-3)}^{2}}ge 12end{array} right.Leftrightarrow mle frac{21}{4}vee mge 3+2sqrt{3}$.

Loại  3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.

Ví dụ 1. Giải phương trình: $ displaystyle sqrt[3]{x}+sqrt[3]{1-x}text{ }=frac{3}{2}$.

GIẢI

Đặt: $ displaystyle left{ begin{array}{l}sqrt[3]{x}=u\sqrt[3]{1-x}=vend{array} right.$ . Vậy ta có hệ: $ displaystyle left{ begin{array}{l}u+v=frac{3}{2}\{{u}^{3}}+{{v}^{3}}=1end{array} right.$

⇔ $ displaystyle left{ begin{array}{l}u+v=frac{3}{2}\(u+v)left[ {{(u+v)}^{2}}-3uv right]=1end{array} right.$

⇔ $ displaystyle left{ begin{array}{l}u+vtext{ }=frac{3}{2}\u.vtext{ }=frac{19}{36}end{array} right.$

u, v là hai nghiệm của phương trình: $ displaystyle {{X}^{2}}-frac{3}{2}Xtext{ }+frac{19}{36}text{ }=text{ }0$

⇒ $ displaystyle left[ begin{array}{l}utext{ }=frac{9+sqrt{5}}{12}\utext{ }=frac{9text{ }-text{ }sqrt{5}}{12}end{array} right.$ ⇒ $ displaystyle left[ begin{array}{l}xtext{ }=text{ }{{left( frac{9text{ }+text{ }sqrt{5}}{12} right)}^{3}}\xtext{ }=text{ }{{left( frac{9text{ }-text{ }sqrt{5}}{12} right)}^{3}}end{array} right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $ displaystyle left{ x right}$ = $ displaystyle left{ {{left( frac{9+sqrt{5}}{12} right)}^{3}};text{ }{{left( frac{9-sqrt{5}}{12} right)}^{3}} right}$.

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 HAI ẨN

A. Định nghĩa:

$ displaystyle left{ begin{array}{l}f(x,y)=0,,,left( 1 right)\f(y,x)=0,,,left( 2 right)end{array} right.$

Cách giải: Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: $ displaystyle (x-y)gleft( x,y right)=0$.

Khi đó $ displaystyle x-y=0$ hoặc $ displaystyle gleft( x,y right)=0.$

+ Trường hợp 1: $ displaystyle x-y=0$ kết hợp với phương trình  hoặc  suy ra được nghiệm.

+ Trường hợp 2: $ displaystyle gleft( x,y right)=0$ kết hợp với phương trình  suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.

B. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{3}}=3x+8y,,,left( 1 right)\{{y}^{3}}=3y+8x,,,left( 2 right)end{array} right.$ (I)

GIẢI

Lấy (1) – (2) ta được: $ displaystyle text{(x – y)(}{{text{x}}^{text{2}}}text{ + xy + }{{text{y}}^{text{2}}}text{ + 5) = 0}$

Trường hợp 1: (I) $ displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{3}}text{ }=text{ }3xtext{ }+text{ }8y\xtext{ }=text{ }yend{array} right.$

⇔ $ displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{3}}text{ }-text{ }11xtext{ }=text{ }0\xtext{ }=text{ }yend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}xtext{ }=text{ }0\xtext{ }=text{ }pm sqrt{11}end{array} right.\xtext{ }=text{ }yend{array} right.$.

Trường hợp 2: (I) $ displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+5=0\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=11left( x+y right)end{array} right.$ (hệ này vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:

$ displaystyle left{ text{(x}text{, y)} right}text{=}left{ text{(0}text{,0); (}sqrt{text{11}}text{,}sqrt{text{11}}text{); (-}sqrt{text{11}}text{,-}sqrt{text{11}}text{)} right}$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ begin{array}{l}x+sqrt[4]{y-1}=1\y+sqrt[4]{x-1}=1end{array} right.$

GIẢI

Đặt: $ displaystyle sqrt[text{4}]{text{x – 1}}text{ = u }ge text{0; }sqrt[text{4}]{text{y – 1}}text{ = v}ge text{0}$

Hệ phương trình trở thành:

$ displaystyle left{ begin{array}{l}{{u}^{4}}text{ }+text{ }1text{ }+text{ }vtext{ }=text{ }1\{{v}^{4}}text{ }+text{ }1text{ }+text{ }utext{ }=text{ }1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{u}^{4}}text{ }+text{ }vtext{ }=text{ }0\{{v}^{4}}text{ }+text{ }utext{ }=text{ }0end{array} right.$

⇔ $ displaystyle left{ begin{array}{l}utext{ }=text{ }0\vtext{ }=text{ }0end{array} right.$

(Do u, v ≥ 0) $ displaystyle Rightarrow left{ begin{array}{l}text{x = 1}\text{y = 1}end{array} right.$.

Vậy hệ có nghiệm (1,1)

Xem thêm: Bảng đầy đủ các công thức đạo hàm và đạo hàm lượng giác-Trung Tâm Gia Sư Trí Tuệ Việt

Bài viết liên quan

  • Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Bồi dưỡng Đại số 9

  • Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Bồi dưỡng Đại số 9

  • Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Bồi dưỡng Đại số 9

  • Dạng toán hệ phương trình bậc nhất chứa tham số

  • Giải hệ phương trình quy về bậc nhất



Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button