Kiến thức

Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức-Toán cấp 2

Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức

A) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Bạn đang xem: Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức-Toán cấp 2

I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1) Các dạng cơ bản

  • 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải

  • Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán

  • Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình

  • Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số

  • Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp

$ displaystyle begin{array}{l}bullet ,sqrt{A}=sqrt{B}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Age 0,,(hay,,Bge 0)\A=Bend{array} right.\bullet ,sqrt{A}=BLeftrightarrow left{ begin{array}{l}Bge 0\A={{B}^{2}}end{array} right.\bullet ,sqrt[3]{A}=BLeftrightarrow A={{B}^{3}}end{array}$

2) Các dạng khác

– Đặt điều kiện cho $ displaystyle sqrt[2n]{A}$ là $ displaystyle Age 0,$, nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức

Lưu ý:

$ displaystyle begin{array}{l}A=BLeftrightarrow left{ begin{array}{l}A.Bge 0\{{A}^{2n}}={{B}^{2n}}end{array} right.\A=BLeftrightarrow {{A}^{2n+1}}={{B}^{2n+1}}end{array}$

– Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản

II) MỘT SỐ BÀI MẪU

Giải các phương trình sau:

a) $ displaystyle sqrt{4+2x-{{x}^{2}}}=x-2$

b) $ displaystyle sqrt{25-{{x}^{2}}}=x-1$

c) $ displaystyle sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}+2=x$

Giải

$ displaystyle begin{array}{l}a)sqrt{4+2x-{{x}^{2}}}=x-2\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x-2ge 0\4+2x-{{x}^{2}}={{(x-2)}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 2\{{x}^{2}}-3x=0end{array} right.\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 2\x=0,vee ,x=3end{array} right.Leftrightarrow x=3end{array}$

$ displaystyle begin{array}{l}b),sqrt{25-{{x}^{2}}}=x-1\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x-1ge 0\25-{{x}^{2}}={{(x-1)}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 1\2{{x}^{2}}-2x-24=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 1\x=4,vee ,x=-3end{array} right.Leftrightarrow x=4end{array}$

$ displaystyle begin{array}{l}c)sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}+2=xLeftrightarrow sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}=x-2\,,,,,Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x-2ge 0\3{{x}^{2}}-9x+1={{(x-2)}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 2\2{{x}^{2}}-5x-3=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 2\x=3vee ,x=-frac{1}{2}end{array} right.Leftrightarrow x=3end{array}$

III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ

Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.

Ví dụ 1: Cho phương trình : $ (x-3)(x+1)+4(x-3)sqrt{frac{x+1}{x-3}}=m,,,,,(1)$.

a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải: Đặt $ X=(x-3)sqrt{frac{x+1}{x-3}}Rightarrow {{X}^{2}}=(x-3)(x+1)$  nên pt (1) đưa về :X2+4X-m=0   (2)

a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành $ {{X}^{2}}+4X+3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}X=-1\X=-3end{array} right.$

+ Nếu

$ begin{array}{l}X=-1Leftrightarrow -1=(x-3)sqrt{frac{x+1}{x-3}}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<3\1=(x-3)(x+1)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<3\{{x}^{2}}-2x-4=0end{array} right.\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<3\x=1pm sqrt{5}end{array} right.Leftrightarrow x=1-sqrt{5}end{array}$

+ Nếu

$ begin{array}{l}X=-3Leftrightarrow -3=(x-3)sqrt{frac{x+1}{x-3}}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<3\9=(x-3)(x+1)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<3\{{x}^{2}}-2x-12=0end{array} right.\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<3\x=1pm sqrt{13}end{array} right.Leftrightarrow x=1-sqrt{13}end{array}$

b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm .

Giả sử nghiệm là X0 thì $ (x-3)sqrt{frac{x+1}{x-3}}={{X}_{0}}$.

+ Nếu X0 = 0 thì x = – 1

+ Nếu X0 > 0 thì $ left{ begin{array}{l}x>3\(x-3)(x+1)=X_{0}^{2}end{array} right.Leftrightarrow x=1+sqrt{4+X_{0}^{2}}$

+ Nếu X0 < 0 thì $ left{ begin{array}{l}x<3\(x-3)(x+1)=X_{0}^{2}end{array} right.Leftrightarrow x=1-sqrt{4+X_{0}^{2}}$

Vậy với $ mge -4$ thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.

Ví dụ 2:  Giải phương trình

$ displaystyle {{x}^{2}}+4x=sqrt{x+6}$ (1)

Hướng dẫn:

  • Nếu đặt t = $ displaystyle sqrt{x+6}$(t ≥ 0) ta được hệ $ displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=t\{{t}^{2}}=x+6end{array} right.$ → khó khăn
  • Ta dự kiến đặt $ displaystyle sqrt{x+6}$ = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:

Ta có hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=at+b\{{a}^{2}}{{t}^{2}}+2abt=x+6-{{b}^{2}}end{array} right.$

hệ này đối xứng nếu $ displaystyle left{ begin{array}{l}{{a}^{2}}=1\2ab=4\a=1\b=6-{{b}^{2}}end{array} right.$ ⇔ $ displaystyle left{ begin{array}{l}a=1\b=2end{array} right.$

Như vậy ta đặt t + 2 = $ displaystyle sqrt{x+6}$ (t ≥ – 2)

Khi đó có hệ pt đối xứng: $ displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=t+2\{{t}^{2}}+4t=x+2end{array} right.$

(ĐS: $ displaystyle x=frac{-3-sqrt{17}}{2};,frac{-5+sqrt{13}}{2}$)

Xem thêm: Thăm, tặng quà, chúc Tết các đơn vị lực lượng vũ trang trên địa bàn

Bài viết liên quan

  • Giải phương trình bậc hai bằng đồ thị. Vị trí tương đối giữa parabol $y=ax^2$ và đường thẳng y=mx+n

  • Phương trình quy về phương trình bậc hai – Bồi dưỡng Đại số 9

  • Phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Đại số

  • Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai – Bồi dưỡng Đại số 9

  • Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai – Bồi dưỡng Đại số 9



Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button