Kiến thức

[Chuyên đề] Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng-Thương Hiệu & Công Luận

[Chuyên đề] Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

[Chuyên đề] Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng là phần kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán Phổ thông. Nắm vững phần kiến thức này, các em sẽ dễ dàng giải các bài Toán liên quan. Chính vì lẽ đó, hôm nay PUD sẽ giới thiệu cùng các bạn chi tiết hơn về chuyên đề này. Cùng chia sẻ bạn nhé !

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng

Bạn đang xem: [Chuyên đề] Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng-Thương Hiệu & Công Luận

Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)

Khi đó bán kính (R = d (I, Delta ))

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng  (Delta) x – 2y + 7 = 0

Giải: Ta có (d(I,Delta)=frac{|-1-4-7|}{sqrt{5}})

Phương trình đường tròn (C) có dạng ((x+1)^2+(y-2)^2=frac{4}{5})

Xem thêm: Toán 10 Bài 2: Hàm số y = ax + b trang 41, 42

Dạng 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)

  • Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
  • Tâm I của (C) thỏa mãn (left{begin{matrix} I epsilon d & d(I, Delta ) = IA & end{matrix}right.)
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 2: Cho điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.

Giải: Gọi I(x,y) là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:

IA = IB = r (Leftrightarrow)  ((x+1)^2+y^2= (x-1)^2+(y-2)^2) (1)

IA = d(I,d) (Leftrightarrow) (sqrt{(x+1)^2+y^2}=frac{|x-1-y|}{sqrt{2}}) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1

Vậy I(0,1) IA = r = (sqrt{2})

Phương trình đường tròn (C) có dạng (x^2+(y-1)^2 = 2)

Xem thêm: 7 Dạng bài tập cực trị số phức thường gặp trong kì thi THPT quốc gia có đáp án chi tiết

Dạng 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng (Delta) tại điểm B.

  • Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
  • Viết phương trình đường thẳng (Delta ‘) đi qua B và (perp Delta)
  • Xác định tâm I là giao điểm của d và (Delta ‘)
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9)

Giải: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C)

Vì (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6;0) nên (I epsilon d: x = 6)

Mặt khác B nằm trên đường tròn (C) nên I sẽ nằm trên trung trực của AB

Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I(6;5), R = 5

Vậy phương trình đường tròn (C): ((x-6)^{2} + (y – 5)^{2} = 25)

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2})

  • Tâm I của (C) thỏa mãn: (left{begin{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& d(I,Delta _{1}) = IA & end{matrix}right.)
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M (1,2).

Giải: Gọi I(x,y) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên (frac{|7x-7y-5|}{sqrt{5}} = frac{left | x + y + 13 right |}{sqrt{1}}) (1)

và (frac{|x+y+13|}{sqrt{2}}=sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được

  • TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = (20sqrt{2})

Phương trình đường tròn có dạng ((x-29)^2+(y+2)^2=800)

  • TH2: x = – 6, y = 3 => R = (5sqrt{2})

Phương trình đường tròn có dạng ((x+6)^2+(y-2)^2=50)

Xem thêm: Lý Thuyết Và Bài Tập Tìm Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lớp 11

Dạng 2: Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2}) và có tâm nằm trên đường thẳng d.

  • Tâm I của (C) thỏa mãn (left{begin{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& Iepsilon d & end{matrix}right.)

  • Bán kính (R = d(I,Delta _{1}))

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn (C)

Do (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|

Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A(2, -1) thuộc phần tư thứ IV

=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0

Như vậy tọa độ tâm là I(a, -a), bán kính R = a, với a > 0

Ta có phương trình đường tròn (C) có dạng ((x-a)^2 + (y+a)^2 = a^2)

Do A (-2;1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: ((2-a)^2 + (1+a)^2 = a^2)

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5

  • Với a = 1 ta có phương trình (C) ((x-1)^2 + (y+1)^2 = 1)

  • Với a = 5 ta có phương trình (C) ((x-5)^2 + (y+5)^2 = 5^2)

Bài tập vận dụng

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm 𝐼(3;1)I(3;−1), bán kính 𝑅=2R=2.

Giải. Phương trình đường tròn tâm 𝐼(3;1)I(3;−1), bán kính 𝑅=2R=2 là (𝑥3)2+(𝑦+1)2=4(x−3)2+(y+1)2=4.

Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm 𝐼(0;3)I(0;3) và đi qua 𝐴(3;2)A(3;−2).

Giải. Ta có 𝐼𝐴=(3;5)IA→=(3;−5). Bán kính đường tròn là 𝑅=𝐼𝐴=9+25−−−−−−√=34−−−√R=IA=9+25=34. Vậy phương trình đường tròn là 𝑥2+(𝑦3)2=34x2+(y−3)2=34.

Bài 3. Viết phương trình đường tròn nhận 𝐴𝐵AB làm đường kính biết 𝐴(1;6)A(1;6) và 𝐵(4;5)B(4;5).

Giải. Gọi 𝐼I là tâm của đường tròn, ta có 𝐼I là trung điểm 𝐴𝐵AB nên 𝐼(52;112)I(52;112). Ta có 𝐴𝐵=(3;1)AB→=(3;−1) suy ra 𝐴𝐵=9+1−−−−−√=10−−−√AB=9+1=10. Bán kính đường tròn là 𝑅=𝐴𝐵2=10−−−√2R=AB2=102. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

(𝑥52)2+(𝑦112)2=52(x−52)2+(y−112)2=52

Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm 𝐴(4;1)A(4;1)𝐵(3;4)B(3;4)𝐶(1;0)C(1;0).

Giải. Phương trình đường tròn có dạng 𝑥2+𝑦22𝑎𝑥2𝑏𝑦+𝑐=0x2+y2−2ax−2by+c=0. Vì đường tròn này đi qua các điểm 𝐴,𝐵,𝐶A,B,C nên ta có hệ phương trình

⎧⎩⎨178𝑎2𝑏+𝑐=0256𝑎8𝑏+𝑐=012𝑎+𝑐=0⎧⎩⎨𝑎=2𝑏=2𝑐=3{17−8a−2b+c=025−6a−8b+c=01−2a+c=0⇔{a=2b=2c=3

Vậy phương trình đường tròn là 𝑥2+𝑦24𝑥4𝑦+3=0.x2+y2−4x−4y+3=0.

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn 𝑥2+𝑦24𝑦4=0x2+y2−4y−4=0 biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 𝑑:𝑥+7𝑦+6=0d:x+7y+6=0.

Giải. Đường tròn đã cho có tâm 𝐼(0;2)I(0;2), bán kính 𝑅=0+4+4−−−−−−−−−√=22−−√R=0+4+4=22. Vì tiếp tuyến ΔΔ song song với 𝑑d nên phương trình ΔΔ có dạng 𝑥+7𝑦+𝑚=0x+7y+m=0 (với 𝑚6m≠6). Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên

𝑑(𝐼,Δ)=𝑅|14+𝑚|1+49−−−−−−√=22−−√|14+𝑚|=20[𝑚+14=20𝑚+14=20[𝑚=6(loại)𝑚=34d(I,Δ)=R⇔|14+m|1+49=22⇔|14+m|=20⇔[m+14=20m+14=−20⇔[m=6(loại)m=−34

Vậy có 1 tiếp tuyến có phương trình 𝑥+7𝑦34=0.x+7y−34=0.

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn (𝑥3)2+(𝑦+2)2=13(x−3)2+(y+2)2=13 biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 𝑑:3𝑥2𝑦+1=0d:3x−2y+1=0.

Giải. Đường tròn đã cho có tâm 𝐼(3;2)I(3;−2), bán kính 𝑅=13−−−√R=13. Vì tiếp tuyến ΔΔ vuông góc với 𝑑d nên phương trình ΔΔ có dạng 2𝑥+3𝑦+𝑚=02x+3y+m=0. Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên

𝑑(𝐼,Δ)=𝑅|66+𝑚|4+9−−−−−√=13−−−√|𝑚|=13𝑚=±13d(I,Δ)=R⇔|6−6+m|4+9=13⇔|m|=13⇔m=±13

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình 2𝑥+3𝑦±13=0.

Với những kiến thức PUD chia sẻ trên đây, hi vọng bạn đã nắm vững phần kiến thức về phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Còn rất nhiều phần kiến thức hữu ích khác đang chờ bạn khám phá tại PUD. hãy luôn cập nhật để dõi theo nhé !

  • Xem thêm: Hướng dẫn phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đầy đủ nhất

This entry was posted in

Tin tức

. Bookmark the

permalink

.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button