Kiến thức

Chuyên đề: Tìm hệ số của đa thức trong khai triển NIU TƠN (nâng cao) – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

Chuyên đề: Tìm hệ số của đa thức trong khai triển NIU-TƠN (nâng cao)

I. Kiến thức cơ bản

Bạn đang xem: Chuyên đề: Tìm hệ số của đa thức trong khai triển NIU TƠN (nâng cao) – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

1.Công thức nhị thức Newton

Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dương ta có:

  • ${{left( atext{ }+text{ }b right)}^{n}}=text{ }{{c}^{o}}_{n}{{a}_{n}}+text{ }{{c}^{1}}_{n}{{a}^{ntext{ }text{ }1}}btext{ }+text{ }{{c}^{2}}_{n}{{c}_{1}}^{ntext{ }text{ }2}{{b}^{2}}+text{ }ldots text{ }+text{ }{{c}^{k}}_{n}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+text{ }…+text{ }{{c}_{n}}^{n}{{b}^{n}}$ 
  •  ${{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=n}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}},(*)$

Xem thêm: Nghiên cứu chế tạo và phát triển ứng dụng phổ kế huỳnh quang tia X tại Việt Nam

2.Các nhận xét về công thức khai triển

+ Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái.

+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.

+ Các hệ số của khai triển lần lượt là:            C0n;        C1n;      C2n; … Cn-1n;   Cnn;

Chú ý: Ckn = Cnn–k      0 < k < n.   $C_{n}^{k}=frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}$

3.Một số dạng đặc biệt

+ Dạng 1: Thay a = 1; b = x vào (*) được: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn

+ Dạng 2: Thay a = 1; b = -x vào (*) được: (1 – x)n = C0n – C2n x+ C2nx2 +  …+ (-1)n Cnn xn

Xem thêm: Tổng hợp công thức toán 5 gói gọn trong tờ giấy A4

4.Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức

+ Thay x = 1 vào (2) ta được:             C0n + C1n  + C2n + …+ Cnn  = 2n

+ Thay x = -1 vào (3) ta được:            C0n – C1n  + C2n – …+ (-1)n Cnn  = 0

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: ${{left[ 1+{{x}^{2}}-{{x}^{3}} right]}^{8}}$

Giải: 

Ta có: ${{left[ 1+{{x}^{2}}-{{x}^{3}} right]}^{8}}$ =${{left[ 1+{{x}^{2}}left( 1-x right) right]}^{8}}$

Áp dụng khai triển Niu tơn với a=1 và b=x2(1-x) ta được:  [fleft( x right)={{sumlimits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}left[ {{x}^{2}}left( 1-x right) right]}}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{2k}}{{left( 1-x right)}^{k}}}]

Áp dụng khai triển niu tơn với a’=1 và b’=-x ta được: [f(x)={{sumlimits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{2k}}left[ sumlimits_{i=0}^{k}{{{left( -1 right)}^{i}}}C_{k}^{i}{{x}^{i}} right]}}^{{}}}=sumlimits_{k=0}^{8}{sumlimits_{i=0}^{k}{C_{8}^{k}}}C_{k}^{i}{{left( -1 right)}^{i}}{{x}^{2k+i}}.]

Vậy ta có hệ số của x8 là: ${{left( -1 right)}^{i}}C_{8}^{k}C_{k}^{i}$ thoả mãn:

$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{rm{;}}&{0 le i le k le 8}\
{}&{2k + i = 8}\
{rm{;}}&{i,k in N}
end{array}} right.begin{array}{*{20}{c}}
{{rm{;;;}}}\
{{rm{;;}}(*){rm{;}}}\
{{rm{;;;}}}
end{array}$

Lập bảng:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
k 4 x 3 x x x x x x

$ Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{rm{;}}&{left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{rm{;}}&{i = 0}\
{rm{;}}&{k = 4}
end{array}} right.}\
{rm{;}}&{left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{rm{;}}&{i = 2}\
{rm{;}}&{k = 3}
end{array}} right.}
end{array}} right.$   thỏa mãn (*).

Vậy: Hệ số trong khai triển của x8 là:${{left( -1 right)}^{0}}C_{8}^{4}C_{4}^{0}+{{left( -1 right)}^{2}}C_{8}^{3}C_{3}^{2}$=238

Bài tập áp dụng

Bài 1.  Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của:[A=x{{left( 1-2x right)}^{7}}+text{ }{{x}^{2}}{{left( 1-3x right)}^{12}}]

Bài 2. Tìm hệ số của x6 trong khai triển [A={{left( 1+{{x}^{2}}left( 1+x right) right)}^{7}}]thành đa thức.

Bài 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển[F(x)={{left( 1+2x+3{{x}^{2}} right)}^{10}}].


Xem thêm:

Khai triển Newton

Tài liệu Dowload: Bài tập nhị thức Niu-Tơn (nâng cao)

Chuyên mục:

CHƯƠNG II: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT.


Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button