Kiến thức

Bất đẳng thức lượng giác-Chương 1-Các công thức cơ bản

Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, bất đẳng nói chung và bất đẳng thức lượng giác nói riêng là một phần quan trọng trong toán phổ thông cũng như toán chuyên.Và hôm nay chúng em mang đến quyển chuyên đề này không ngoài mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức và khả năng làm toán. Không chỉ dừng lại ở các bài toán về bất đẳng thức lượng giác, quyển chuyên đề còn bàn đến những ứng dụng to lớn của bất đẳng thức lượng giác vào việc giải một số bài toán hay có liên quan.

        Quyển chuyên đề được trình bày theo 3 chương : các bước đầu cơ sở, các phương pháp chứng minh và một số bài toán áp dụng.

 Chương I: Các bước đầu cơ sở


        Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức cơ bản cần có để chứng minh bất đẳng thức lượng giác. Trước hết là các bất đẳng thức đại số ( Cauchy, B.C.S,…).Tiếp theo là các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác. Cuối cùng là một số định lý khác,công cụ đắc lực trong chứng minh bất đẳng thức( định lý về dấu tam thức bậc hai, định lý hàm tuyến tính,…).

    


  1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản :


           

a)Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):


Với mọi số thực không âm  ta luôn có:


              


Ví dụ 1:

Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR:

            


Lời giải:


Vì 

      

Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương.

Theo Cauchy ta có:

            

            

            

Đẳng thức xảy rađều.


Ví dụ 2 :

Cho  nhọn. CMR :

      


Lời giải:


Ta luôn có:

         

Khi đó:

         

    

    

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đều.












Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi  nhọn ta  có:

        



Lời giải:


Ta có:  

              

Theo Cauchy:

            

               


Tương tự ta có:





Cộng theo vế ta được:



                 


  Đpcm.

b)Bất đẳng thức Bunhiacốpxki:



Với 2 bộ số  và  ta luôn có:

             


Nhận xét:


-Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các biến là số thực.

-Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau:


Ví dụ 1: CMR với mọi  ta có:


   

Lời giải:


Ta có: 

            

                (1)

Theo Bunhiacốpxki ta có:

               (2)


Áp dụng (2) ta có:

               (3)


Thay (3) vào (1) ta được:

             (4)

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b:

             (5)

Thật vậy:

         (5)

              

                     (6)

Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng (5) đúng với mọi a,b.

Từ (1) và (5) : với mọi  ta có: 

Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra

 

 


      Ví dụ 2:


CMR với mọi  ta có:

       

với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong  tới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác.


     Lời giải:

Ta có:

         


Theo Bunhiacốpxki thì:

  mà 




 Đpcm.


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều và M là tâm đường tròn nội tiếp.


c) Bất đẳng thức Jensen:



Cho  thỏa mãn   . Khi đó với mọi   ta có bất đẳng thức sau:


                          



-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.


      Ví dụ 1:

Chứng minh rằng với mọi ta có

                                

      

       Lời giải:


Xét  với   là hàm lồi. Theo Jensen ta có:

Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.


      Ví dụ 2:

Chứng minh rằng với mọi đều ta có:

           


      Lời giải:

Xét  vớilà hàm lồi. Theo Jensen ta có:

Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.


     Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi ta có:



    







Lời giải:

Xét  với là hàm lồi. Theo Jensen ta có:


Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.


      

          

d) Bất đẳng thức Chebyshev:



Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều  và   ta có:

             




       Ví dụ 1:

Chứng minh rằng với mọi  ta có

               


       Lời giải:

Không mất tổng quát giả sử 


Theo Chebyshev thì



Đẳng thức xảy ra khi đều.


      Ví dụ 2:

Chứng minh rằng với mọi  ta có

              


      Lời giải:


Không mất tổng quát giả sử

                               

Theo Chebyshev ta có:



Mà Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.


      Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi  ta có



      Lời giải:


Không mất tổng quát giả sử 

                                        

Theo Chebyshev ta có:



 Đpcm.


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.

             

    

2.Các đẳng thức, bất đẳng thức cơ sở trong tam giác:


              

          Đây là các đẳng thức và bất đẳng thức quen thuộc rất cần thiết cho việc chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác cũng như trong các ứng dụng của chúng. Ta cũng có thể xem đây như là một phần  kiến thức cơ sở cần cho quá trình học toán của chúng ta.


         

a) Đẳng thức:



        i.  


      ii. 

       


    iii. 

       


    iv. 

 


      v.                               

 


    vi.    

  


  vii.    


viii.    


   

   



    ix.    

  






      x.    

  


    xi.    

  


  xii.    

  


xiii.    

  


xiv.    

        



        



              

b) Bất đẳng thức:



        i.    

  


      ii.    

  


    iii.    

  


    iv.    

  


      v.    

   



        



    vi.    

   


  vii.    

   


viii.    

  


    ix.    

   


      x.    










3. Định lý về dấu của tam thức bậc hai:


Cho tam thức  và 

-Nếu  thì  cùng dấu với hệ số , với mọi số thực.

-Nếu  thì  cùng dấu với hệ số , với mọi số thực.

-Nếu  thì  có 2 nghiệm và giả sử  thì cùng dấu với với mọi x ở ngoài đoạn  (tức là  hay ) và  trái dấu với  khi x ở trong khoảng 2 nghiệm (tức là )

Trong một số truờng hợp, định lý này là một công cụ rất có hiệu quả trong chứng minh bất đẳng thức. Ta sẽ đặt biểu thức cần chứng minh là 1 tam thức bậc hai theo 1 biến sau đó xét biệt thức . Ta sẽ thuờng thấy truờng hợp mà ít khi thấy.


         Ví dụ 1:

CMR và bất kì ta có:

   


         Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng với:


Coi đây như là tam thức bậc hai theo biến x:

     

Vậy bất đẳng thức trên đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


Tức là 3 cạnh của tam giác tương đương với .


         Ví dụ 2:

CMR và bất kì ta có:

          


         Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng với:





Vậy bất đẳng thức trên đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



         Ví dụ 3:

CMR trong mọi ta đều có:

        


         Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng với


Vậy bất đẳng thức đã đuợc chứng minh xong.


         Ví dụ 4:

Cho bất kì. Chứng minh rằng:

          


         Lời giải:

Đặt 


Do đó là nghiệm của phuơng trình:

             

Xét . Để tồn tại nghiệm thì:

  

 Đpcm.


         Ví dụ 5:

CMR ta có:  

        

         Lời giải:

Đặt 

Khi đó  là nghiệm của phương trình:

         


 Đpcm.


     

4.Định lý về hàm tuyến tính:


Xét hàm  xác định trên đoạn 

Nếu    

   thì .

Khi mà bất đẳng thức Cauchy đã bó tay, Bunhiacốpxki trở nên vô dụng thì đó là lúc định lý về hàm tuyến tính phát huy sức mạnh của mình. Định lý về hàm tuyến tính cũng là lối ra cho nhiều bất đẳng thức khó.


         Ví dụ 1:

Cho  là những số thực không âm thỏa 

    CMR: 


         Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

  

Xét  với 

Khi đó 

                        (vì )

Vậy  Đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 


         Ví dụ 2:

CMR  không âm ta có:



         Lời giải:

Đặt ; . Khi đó bài toán trở thành:

Chứng minh với 

Không mất tổng quát giả sử 

Xét với

Ta có

         

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra.


-Điều ta nên chú ý khi giải bất đẳng thức lượng giác bằng phương pháp này là dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra phải phù hợp với tập xác định của hàm lượng giác.


         

5. Bài tập:


Cho tam giác ABC. CMR:

        i.      với tam giác ABC nhọn.

      ii.     

    iii.     

    iv.     

      v.     

    vi.     

  vii.     

viii.     

    ix.     

      x.     

    xi.     

  xii.     

xiii.     

xiv.     

  xv.     

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button