Kiến thức

CHUYÊN ĐỀ ƯỚC-BỘI – UCLN – BCNN

Bạn đang xem: CHUYÊN ĐỀ ƯỚC-BỘI – UCLN – BCNN

CHUYÊN ĐỀ ƯỚC – BỘI – UCLN – BCNN

Cập nhật lúc: 10:22 02-11-2018

Mục tin: LỚP 6


Bài viết bao gồm cả lý thuyết và bài tập tổng quan về các kiến thức liên quan đến Ước chung, bội chung, UCLN và BCNN, giúp các em luyện tập và hiểu sâu hơn

Xem thêm:

Ước chung và bội chung

 CHUYÊN ĐỀ ƯỚC – BỘI – UCLN – BCNN

 

1. Các kiến thức có liên quan.

a) Kiến thức ở sách giáo khoa toán 6 có liên quan.

– Bội – ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.

* Ước chung (ƯC): Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

* Bội chung (BC): Bội chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

* ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của các số đó.

* Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

b) Kiến thức nâng cao:

+ Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau.

* Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của 2 số a, b (kí hiệu (a,b)) và BCNN của 2 số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích của 2 số a và b là:

                              a . b = (a, b) . [a, b].

* Chứng minh: Đặt (a, b) = d => a = md và b = nd. Với (m,n in N*),    (m. n) = 1. Từ (I)  => ab = mnd2; [a, b] = mnd => (a, b) . [a, b] = d . (mnd) = mnd2 = ab.

Vậy ab = (a, b) [a, b].       (ĐPCM)

2. Giải một số bài toán mẫu:

Dạng 1:  Biết (a, b) và [a, b] tìm a và b.

Bài 1:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300

Giải

          Sử dụng mối quan hệ giữa a.b = (a, b) . [a, b] ta có:

                              Ab = 300 . 15 = 4500      (1)

* Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b. Vì (a, b) = 15 nen a = 15m, b = 15n (m, n) = 1 và m < n.

          Từ (1) suy ra:  15m . 15n = 4500 nên m . n = 20.

          Lập bảng ta có:

m

n

a

b

1

20

15

300

4

5

60

75

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là:  15 và 300; 60 và 75

Dạng 2:  Biết tích của 2 số a và b và [a, b] hoặc (a, b).

Bài 2:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 216 và (a, b) = 6

Giải

Giả sử a >b vì (a, b) = 6 Þ a = 6m;  b = 6n với (m,n in N*), (m, n) = 1; m < n khi đó ab = 6m . 6n = 36mn, do ab = 216 nên 216 = 36mn => mn = 6

          Lập bảng

m

n

a

b

1

6

6

36

2

3

12

18

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là:  6 và 36;  12 và 18

          Bài 3:  Tìm 2 số tự nhiên a và ba biết: ab = 180; [a, b] = 60

Giải

          Từ ab = (a,b) [a, b] Þ (a, b) =

          Giả sử a < b, vì (a, b) = 3 nên a = 3m, b = 3n với (m,n in N*)

          (m, n) = 1 và m < n. Suy ra ab = 3m . 3n = 9mn vì ab = 180 nên 180 = 9mn => mn = 20.

          Lập bảng:

m

n

a

b

1

20

3

60

4

5

12

15

          Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 3 và 60;  12 và 15.

          Dạng 3:  Biết tổng hoặc hiệu của 2 số a, b và [a, b] hoặc (a, b)

          Bài 4:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16

Giải

          Giả sử a < b khi đó a = 16m; b = 16n với (m,n in N*), (m, n) = 1; m < n vì a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 => 16 (m + n) = 128 => m + n = 8.

          Lập bảng:

m

n

a

b

1

7

16

112

3

5

48

80

 

          Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 16 và 112;  48 và 80

          Bài 5:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.

          Đặt (a, b) = d suy ra a = md,  b = nd với (m,n in N*); (m, n) = 1. Giả sử a < b khi đó m < n. Do đó a + b = d(m + n) = 42 (1)

                    [a, b] = dmn = 72                                 (2)

          Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = 6 => d thuộc Ư(6) nên d thuộc {1; 2; 3; 6}.

          Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.

          Suy ra:  m + n = 7 và m . n = 12

          Chỉ có m = 3 và n = 4 là thoả mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là:  18 và 24.

          Bài 6:   Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a,b < 200 và a-b = 90; (a, b) = 15.

Giải

          Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = 1 và m > n

          Do a = 15m < 200 nên m < 14.

          Ta lại có a – b = 90 => 15 (m – n) = 90 => m – n = 6

          Lập bảng:

m

n

a

b

13

7

195

105

11

5

165

75

7

1

105

15

          Vậy hai số tự nhiên cần tìm là:   a = 195; b = 105       hoặc        a = 165, b = 75      hoặc         a = 105, b = 15

                                                                              

          Bài 7:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a – b = 7 và [a, b] = 140

Giải

          Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với (m,n in N*); (m, n) = 1

          Do đó:         a – b = d (m – n) = 7        (1)     (a > b Þ m > n)

                              [a, b] = mnd = 140           (2)

          Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7 => d thuộc Ư(7) = {1, 7}.

 Thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất:  d = 7 và 

(left{ begin{array}{l}m – n = 1\m.n = 20end{array} right. =  > left{ begin{array}{l}m = 5\n = 4end{array} right. =  > left{ begin{array}{l}a = 35\b = 28end{array} right.)

          Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là:  a = 35;  b = 28

          Dạng 4:  Biết thương của a, b và ƯCLN hoặc BCNN

          Bài 8:   Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (frac{a}{b}=2,6)  và (a, b) = 5

          Do (a, b) = 5 => a = 5m, b = 5n với (m,nin N*), (m, n) = 1 nên (m,nin N*) nên (frac{a}{b}=frac{m}{n}=2,6=frac{13}{5}=>frac{m}{n}=frac{13}{5}).  Vì (m,n) = 1 nên m = 13, n = 5. Khi đó a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25

          Vậy 2 số cần tìm là:  a = 65; b = 25

          Bài 9:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: (frac{9}{b}=0,8) và [a, b] = 140

Giải

          Đặt (a, b) = d => a = m.d, b = nd với (m, n) = 1, (m,nin N*)

                    (frac{a}{b}=frac{md}{nd}=frac{m}{n}=0,8=frac{4}{5})

          Và (m,n) = 1 => m = 4; n = 5

          Mặt khác:  [a, b] = m.nd Þ 140 = 4.5.d Þ d = 7

          Lúc đó a = 4.7 = 28;  b = 5.7 = 35

          Vậy 2 số cần tìm là a = 28;  b = 35

Dạng 5:  Tổng hợp

Bài 10:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + 2b = 48 và (a, b) + 3 [a, b] = 114.

Giải

          Đặt (a, b) = d => a = dm; b = dn với (m, n) = 1 và [a, b] = dmn.

                              a + 2b = 48 => d (m + 2n) = 48                      (1)

                              (a, b) + 3 [a, b] => d (1 + 3mn) = 144           (2)

          => Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (48, 144) mà ƯCLN (48, 144) = 6

          => d thuộc Ư(6) = {1; 2; 3; 6} lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và 92) ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.

          Lập bảng:

m

n

a

b

2

3

12

18

6

1

36

6

 

          Vậy 2 số cần tìm là: a = 12 và b = 18; a = 36 và b = 6

          Bài 11:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: [a, b] + (a, b) = 55

Giải

          Đặt (a, b) = d khi đó: a = dm, b = dn (m, n) = 1

          Giả sử a < b Þ m < n

          Từ ab = (a, b) [a, b] => [a, b] = (frac{ab}{(a,b)}=frac{ab}{s}=frac{{{d}^{2}}mn}{d}=dmn)

          Theo bài ra ta có: dmn + d = 55 hay d(mn + 1) = 55 => mn + 1 thuộc Ư(55).

          Mặt khác mn + 1 > 2. Ta có bảng

d

mn + 1

mn

m

n

a

b

11

5

4

1

4

11

44

5

11

10

1

10

5

50

2

5

10

25

1

55

54

1

54

1

54

2

27

2

27

 

          Vậy các cặp số tự nhiên a và b cần tìm là: (11, 44), (5, 10); (10, 25), (1, 54), (2, 27)

          Bài 12:   Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b)

Giải

          Đặt (a, b) = d thì a = em, b = dn với (m,n) = 1. Do đó ab = d2mn

          => d.6d = d2mn => m.n = 6

          Giả sử a < b thì m < n

          Ta có bảng:

m

n

1

6

2

3

 

          Mặt khác: a + b = d(m + n) nên

                    30 = d(m+n) do đó m + n là ước của 30.

          Nên chỉ có m = 2, n = 3 khi đó 30 = d (2 + 3) => d = 6

          Do đó a = 6 . 2 = 12;  b = 6 . 3  = 18

          Vậy 2 số cần tìm là 12 và 18.

Bài tập tự giải

          (1) tìm 2 số tự nhiên a và b, biết.

                    a) 1 b = 360,   [a, b] = 60

                    b) (a, b) = 12, [a, b] = 72

                    c) (a, b) = 6,   [a, b] = 180

                    d) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b)

                    e)  ab = 180,   [a, b] = 20 (a, b)

          (2). Tìm phân số  có giá trị bằng

                    a) , biết BCNN (a,b) = 300

                    b) , biết ƯCLN (a, b) = 30

                    c) , biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549

          (3). Tìm 2 số tự nhiên a và b biết:

                    a) [a, b] – (a, b) = 5

                    b) [a, b] – (a, b) = 35

         

 

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button