Kiến thức

Công thức cấp số cộng nâng cao

Công thức cấp số cộng nâng cao | Lý thuyết + bài tập ví dụ

Mục lục bài viết
  1. Định nghĩa cấp số cộng

  2. Công thức cấp số cộng

    1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

    2. Tính chất của cấp số cộng

    3. Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

    4. Các công thức liên quan đến cấp số cộng

  3. Bài tập cấp số cộng có lời giải

Công thức cấp số cộng: công thức tính cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng, bài tập cấp số cộng có lời giải…
Công thức cấp số cộng

Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng left{a_1,a_2,...,a_nright} là dãy số xác định bởi:

a_1=a

a_{k+1}=a_k+d  với k=1, 2, .., n – 1

a1 được gọi là số hạng đầu tiên, an là số hạng cuối, ak là số hạng thứ k của cấp số cộng; n được gọi là số số hạng của cấp số cộng ; d được gọi là công sai của cấp số cộng. Sở dĩ có thuật ngữ công sai này là vì

a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d.

Cấp số cộng còn có thể được đặc trưng bởi đẳng thức ak+1 – 2ak + ak-1 = 0 với mọi k=2, …, n-1.  Hay là ak = 1/2 (ak-1 + ak+1), số ở giữa bằng trung bình cộng hai số đứng cạnh

Ngoài các cấp số cộng có hữu hạn phần tử, người ta còn xét những cấp số cộng có vô hạn phần tử. Ví dụ dãy các bội số dương của 3 là một cấp số cộng có vô hạn phần tử với số hạng đầu là 3 và công sai là 3.

Công thức cấp số cộng

Bạn đang xem: Công thức cấp số cộng nâng cao

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

    [begin{array}{l} {u_n} = {u_{n - 1}} + d\ {u_{n + 1}} = {u_n} + d\ {u_n} = {u_1} + (n - 1)d end{array}]

Trong đó: là số hạng đầu, d là công sai

Tính chất của cấp số cộng

    [{u_k} = frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}]

Với:

    [k ge 2]

    [{u_2} = frac{{{u_1} + {u_3}}}{2}]

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

    [begin{array}{l} {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\ {S_n} = frac{{n{rm{[}}2{u_1} + (n - 1)d{rm{]}}}}{2} end{array}]

Các công thức liên quan đến cấp số cộng

Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể

– Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng:

ak = a + (k-1)d.

– Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

S_n=a_1+a_2+...+a_n=frac{left(a_1+a_nright)n}{2}=na+frac{nleft(n-1right)}{2}d

Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101.

Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:

Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai]  + 1

Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2!

Bài tập cấp số cộng có lời giải

Ví dụ 1: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số a^2,b^2,c^2 lập thành một cấp số cộng có công sai dương là dãy số  frac{1}{b+c};frac{1}{c+a};frac{1}{a+b};là một cấp số cộng.

Bài giải:

Dãy số frac{1}{b+c};frac{1}{c+a};frac{1}{a+b};là một cấp số cộng

Leftrightarrowfrac{1}{c+a}-frac{1}{b+c}=frac{1}{a+b}-frac{1}{c+a}Leftrightarrowfrac{b-a}{left(c+aright)left(b+cright)}=frac{c-b}{left(a+bright)left(c+aright)}
Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2Leftrightarrow2b^2=a^2+c^2

Vậy a^2,b^2,c^2 lập thành một cấp số cộng.

Ví dụ 2 :

Biết rằng dãy số thực dương a_1;a_2;....a_n là một cấp số cộng, chứng minh hệ thức :

frac{1}{sqrt{a_1}+sqrt{a_2}}+frac{1}{sqrt{a_2}+sqrt{a_3}}+....+frac{1}{sqrt{a_{n-1}}+sqrt{a_n}}=frac{1}{sqrt{a_1}+sqrt{a_n}}left(1right)

Bài giải :

Ta có frac{1}{sqrt{a_1}+sqrt{a_2}}=frac{sqrt{a_2}-sqrt{a_1}}{left(sqrt{a_1}+sqrt{a_2}right)left(sqrt{a_2}-sqrt{a_1}right)}=frac{sqrt{a_2}-sqrt{a_1}}{a_2-a_1}=frac{sqrt{a_2}-sqrt{a_1}}{d}

Tương tự frac{1}{sqrt{a_2}+sqrt{a_3}}=frac{sqrt{a_3}-sqrt{a_1}}{d};.......frac{1}{sqrt{a_{n-1}}+sqrt{a_n}}=frac{a_n-a_1}{d}

Vế trái của (1) thành :

frac{left(sqrt{a_2}-sqrt{a_1}right)+left(sqrt{a_3}-sqrt{a_2}right)+left(sqrt{a_n}-sqrt{a_{n-1}}right)}{d}=frac{left(sqrt{a_n}-sqrt{a_1}right)}{d}=frac{a_n-a_1}{dleft(sqrt{a_n}-sqrt{a_1}right)}

=frac{left(a_1+left(n-1right)dright)-a_1}{dleft(sqrt{a_n}-sqrt{a_1}right)}=frac{n-1}{left(sqrt{a_n}-sqrt{a_1}right)}

Ví dụ 3 : Cho 2 cấp số cộng

u_n=u_1;u_2;.....u_n có công sai d_1

và v_n=v_1;v_2;.....v_n có công sai d_2

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là S_n=u_1+u_2+.....+u_n=7n+1 và T_n=v_1+v_2+.....+v_n=4n+27. Tìm tỉ số frac{u_{11}}{v_{11}}

Bài giải

Ta có S_n=2u_1+left(n-1right)d_1 và T_n=2v_1+left(n-1right)d_2 nên frac{S_n}{T_n}=frac{2u_1+left(n-1right)d_1}{2v_1+left(n-1right)d_2}=frac{7n+1}{4n+27}left(1right)

frac{u_{11}}{v_{11}}=frac{u_1+10d_1}{v_1+10d_2}=frac{2u_1+20d_1}{2v_1+20d_2}left(2right)

So sánh (1) và (2) => n=21 nên frac{u_{11}}{v_{11}}=frac{148}{111}=frac{4}{3}

Mời các bạn xem thêm video bài giản “Cấp số cộng”:

5 / 5 ( 2 bình chọn )

Bài viết cùng chuyên mục

  • Chuyên đề số chính phương

  • Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

  • Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

  • Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

  • Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

  • Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

  • Góc giữa 2 vecto trong không gian

  • Công thức Hê Rông (Heron) – Chứng minh và bài tập áp dụng

  • Dấu hiệu chia hết cho 2 3 5 9 4 8 25 125 11

  • Ước số là gì – Bội số là gì?

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button