Kiến thức

Bảng công thức đạo hàm cấp cao-Ehoidap

Công thức

/

Phân dạng

Bảng công thức đạo hàm cấp cao

Trước admin đã giới thiệu tới bạn các

công thức đạo hàm

cơ bản, cũng như 7

quy tắc đạo hàm

bắt buộc phải nhớ. Bài viết này không bàn tới vấn đề cơ bản nữa, ta sẽ bàn tới công thức đạo hàm cấp cao. Có nhiều bạn sẽ hỏi, liệu nó có liên quan tới

đạo hàm cơ bản

hay không? liệu bài tập đạo hàm có tác dụng hay không?… balala. Chắc chắn rồi, bài viết này sẽ kế thừa toàn bộ kiến thức có bản để xây dựng công thức đạo hàm cấp cao. Một trong những đơn vị khó nhất của đạo hàm.

Mục lục

Bạn đang xem: Bảng công thức đạo hàm cấp cao-Ehoidap

Cở sở lý thuyết

Vi phân của hàm số

Tích (f'({x_0}).Delta x) được gọi là vi phân của hàm số (y = f(x)) tại điểm ({x_0}) (ứng với số gia (Delta x)) được kí hiệu là (df({x_0}) = f'({x_0})Delta x).

Nếu hàm số f có đạo hàm f’ thì tích (f'(x)Delta x) được gọi là vi phân hàm số (y = f(x)), kí hiệu là: (df(x) = f'(x)Delta x).

Đặc biệt: (dx = x’Delta x = Delta x) nên ta viết df(x) = f'(x)dx.

Đạo hàm cấp n

Đạo hàm cấp hai:

Cho hàm số f có đạo hàm f’. Nếu f’ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: (f”), tức là: (f” = (f’)’).

Đạo hàm cấp n:

Cho hàm số f có đạo hàm cấp n – 1(với (n in mathbb{N},n ge 2)) là ({f^{(n – 1)}}). Nếu ({f^{(n – 1)}}) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là ({f^{(n)}}), tức là : ({f^{(n)}} = ({f^{(n – 1)}})’)

Ví dụ vận dụng

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau:(y = frac{{3x + 1}}{{x – 2}})

Hướng dẫn giải

Ta có: (y’ = frac{{ – 7}}{{{{(x – 2)}^2}}}), (y” = frac{{7.2}}{{{{(x – 2)}^3}}}), (y”’ = frac{{ – 7.2.3}}{{{{(x – 2)}^4}}})

Bằng quy nạp ta chứng minh: ({y^{(n)}} = frac{{{{( – 1)}^n}.7.n!}}{{{{(x – 2)}^{n + 1}}}}) (2)

Với n – 1 ta thấy (2) đúng

Giả sử (2) đúng với (n = k), tức là: ({y^{(k)}} = frac{{{{( – 1)}^k}.7.k!}}{{{{(x – 2)}^{k + 1}}}})

Ta có: ${y^{(k + 1)}} = {rm{ }}{left( {frac{{{{( – 1)}^k}.7.k!}}{{{{(x – 2)}^{k + 1}}}}} right)^,} = – frac{{{{( – 1)}^k}.7.k!.(k + 1)}}{{{{(x – 2)}^{k + 2}}}}$

( = frac{{{{( – 1)}^{k + 1}}.7.(k + 1)!}}{{{{(x – 2)}^{k + 2}}}})

Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n.

Ví dụ 2. Cho hàm số (y = sin 2x). Tính ({y^{(n)}})

A.({y^{(n)}} = {2^n}sin (2x + nfrac{pi }{3}))

B.({y^{(n)}} = {2^n}sin (2x + frac{pi }{2}))

C.({y^{(n)}} = {2^n}sin (x + frac{pi }{2}))

D.({y^{(n)}} = {2^n}sin (2x + nfrac{pi }{2}))

Hướng dẫn giải

Ta có (y’ = 2sin (2x + frac{pi }{2}),y” = {2^2}sin (2x + 2frac{pi }{2})), (y”’ = {2^3}sin (2x + 3frac{pi }{2}))

Bằng quy nạp ta chứng minh ({y^{(n)}} = {2^n}sin (2x + nfrac{pi }{2}))

Với (n = 1 Rightarrow y’ = {2^1}sin (2x + frac{pi }{2})) đúng

Giả sử ({y^{(k)}} = {2^k}sin (2x + kfrac{pi }{2})),

suy ra ({y^{(k + 1)}} = left( {{y^{(k)}}} right)’ = {2^{k + 1}}cos (2x + kfrac{pi }{2}) = {2^{k + 1}}sin left( {2x + (k + 1)frac{pi }{2}} right))

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau (y = cos 2x)

A.({y^{(n)}} = {left( { – 1} right)^n}cos left( {2x + nfrac{pi }{2}} right))

B.({y^{(n)}} = {2^n}cos left( {2x + frac{pi }{2}} right))

C.({y^{(n)}} = {2^{n + 1}}cos left( {2x + nfrac{pi }{2}} right))

D.({y^{(n)}} = {2^n}cos left( {2x + nfrac{pi }{2}} right))

Hướng dẫn giải

Ta có (y’ = 2cos left( {2x + frac{pi }{2}} right),y” = {2^2}cos left( {2x + 2frac{pi }{2}} right),)

(y”’ = {2^3}cos left( {2x + 3frac{pi }{2}} right)).

Bằng quy nạp ta chứng minh được ({y^{(n)}} = {2^n}cos left( {2x + nfrac{pi }{2}} right)).

Ví dụ 4. Tìm vi phân của các hàm số sau (y = {x^3} + 2{x^2})

A.(dy = (3{x^2} – 4x)dx)

B.(dy = (3{x^2} + x)dx)

C.(dy = (3{x^2} + 2x)dx)

D.(dy = (3{x^2} + 4x)dx)

Hướng dẫn giải

(dy = (3{x^2} + 4x)dx)

Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau(y = frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}})

A.${y^{(n)}} = frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} + frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}$

B.${y^{(n)}} = frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^n}}} – frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^n}}}$

C.${y^{(n)}} = frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n – 1}}}} – frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n – 1}}}}$

D.${y^{(n)}} = frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} – frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:(x = 3(x + 2) – 2(x + 3)); ({x^2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3))

Suy ra (y = frac{3}{{x + 3}} – frac{2}{{x + 2}}).

Mà ({left( {frac{1}{{x + 2}}} right)^{(n)}} = frac{{{{( – 1)}^n}{{.1}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}} = frac{{{{( – 1)}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}},{rm{ }}{left( {frac{1}{{x + 3}}} right)^{(n)}} = frac{{{{( – 1)}^n}.n!}}{{{{(x + )}^{n + 1}}}})

Nên ta có: ${y^{(n)}} = frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} – frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}$.

Hy vọng với phần giới thiệu cơ sở lý thuyết đạo hàm và bài tập đạo hàm cấp cao kèm lời giải sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học học tập. Chúc bạn thành công!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button