Kiến thức

Công thức lượng giác trong tam giác nâng cao và ví dụ áp dụng

Công thức lượng giác trong tam giác nâng cao và ví dụ áp dụng

Mục lục bài viết
  1. Định lí côsin trong tam giác

  2. Định lí sin trong tam giác

  3. Công thức độ dài đường trung tuyến của tam giác

  4. Diện tích tam giác

  5. Ví dụ áp dụng công thức lượng giác trong tam giác

Công thức lượng giác trong tam giác hay hệ thức lượng trong tam giác bao gồm: công thức lượng giác trong tam giác vuông,

công thức lượng giác

trong tam giác thường…

Bạn đang xem: Công thức lượng giác trong tam giác nâng cao và ví dụ áp dụng

Định lí côsin trong tam giác

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta đã biết rằng: BC^2=AB^2+AC^2

hay vec {BC}^2=vec {AB}^2+vec {AC}^2

Chứng minh ngắn gọn theo tích vô hướng của hai vectơ ở bài học trước ta có được điều trên.

Như vậy, ta có phát biểu về định lí côsin trong tam giác:
Trong tam giác ABC, gọi Ab=c;AC=b;BC=a, ta có:

a^2=b^2+c^2-2bc.cosA

b^2=a^2+c^2-2ac.cosB

c^2=a^2+b^2-2ab.cosC

Từ đó, ta có hệ quả sau:
cosA=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

cosB=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

cosC=frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Xem thêm: Dạng 2:Đốt cháy-Anđêhit Xeton ppsx-Tài liệu

Định lí sin trong tam giác

Cho hình vẽ:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta dễ dàng nhận thấy rằng:

a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

Chứng minh tương tự với tam giác thường, hệ thức trên vẫn đúng!

Ta rút ra được định lí sau:
Với mọi tam giác ABC, ta có:

frac{a}{sinA}=frac{b}{sinB}=frac{c}{sinC}=2R

Xem thêm: (PDF) CHUYÊN ĐỀ 1: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Công thức độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM.

Công thức lượng giác trong tam giác

Gọi m_a;m_b;m_c lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Khi đó:

m_{a}^{2}=frac{b^2+c^2}{2}-frac{a^2}{4}

m_{b}^{2}=frac{a^2+c^2}{2}-frac{b^2}{4}

m_{c}^{2}=frac{a^2+b^2}{2}-frac{c^2}{4}

Xem thêm: THÔNG BÁO KHẨN CẤP

Diện tích tam giác

Ngoài kiến thức tính diện tích đã học ở cấp dưới là bằng nửa tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng, ta còn được biết thêm với các công thức sau:

Với tam giác ABC, kí hiệu h_a;h_b;h_c lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC, p=frac{1}{2}(a+b+c) là nửa chu vi của tam giác, ta có các công thức tính diện tích S của tam giác ABC như sau:

S=frac{1}{2}a.h_a=frac{1}{2}b.h_b=frac{1}{2}c.h_c

S=frac{1}{2}ab.sinC=frac{1}{2}ac.sinB=frac{1}{2}bc.sinA

S=frac{abc}{4R}

S=pr

S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Ví dụ áp dụng công thức lượng giác trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC có widehat{A}=60^o, widehat{B}=80^o,a=6. Tính hai cạnh a và c.

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Dễ dàng tìm được widehat{C}=180^o-60^o-80^o=40^o

Ta sẽ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R:

frac{a}{sinA}=2R=frac{6}{sin60^o}=4sqrt{3}

Vậy: frac{b}{sinB}=4sqrt{3}Rightarrow b=sinB.4sqrt{3}=6,823

frac{c}{sinC}=4sqrt{3}Rightarrow c=sinC.4sqrt{3}=4,45

Bài 2: Tam giác ABC có a=10,b=11,c=14. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính độ dài AM.

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta có: AM^2=frac{AB^2+AC^2}{2}-frac{BC^2}{4}=frac{11^2+14^2}{2}-frac{10^2}{4}\=11,55

Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c lần lượt là 5, 7 ,10. Cạnh của hình vuông có diện tích bằng diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Áp dụng công thức Hê rông tính diện tích, ta có:

p=frac{a+b+c}{2}=11

S=sqrt{11(11-5)(11-10)(11-7)}\=16,24(dvdt)

Vậy cạnh của hình vuông có cùng diện tích trên là:

a=sqrt{S}=4,03

Bài 4: Cho hình vẽ sau, biết AD=5, BD=15 và các góc cho trước. Tính độ dài BC.

Công thức lượng giác trong tam giác
Hướng dẫn:

Xét tam giác ADB vuông tại D, ta có: AB=sqrt{AD^2+BD^2}=5sqrt{10}

Ta có: tanABD=frac{AD}{BD}=frac{1}{3}Rightarrow widehat{ABD}=18,43^o

Rightarrow widehat{ABC}=90^o-widehat{ABD}=71,57^o

Rightarrow widehat{ACB}=180^o-widehat{ABC}-widehat{BAC}=63,43^o

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

R=frac{AB}{2sinACB}=8,84

Mặc khác, R=frac{BC}{2sinBAC}=8,84Rightarrow BC=2R.sinBAC\=12,5
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5 / 5 ( 1 bình chọn )

Bài viết cùng chuyên mục

  • Chuyên đề số chính phương

  • Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

  • Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

  • Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

  • Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

  • Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

  • Góc giữa 2 vecto trong không gian

  • Công thức Hê Rông (Heron) – Chứng minh và bài tập áp dụng

  • Dấu hiệu chia hết cho 2 3 5 9 4 8 25 125 11

  • Ước số là gì – Bội số là gì?

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button