Kiến thức

2 cách tìm cực trị của hàm số siêu nhanh-ToanHoc.org

2 cách tìm cực trị của hàm số siêu nhanh

Mục lục

ẩn

Số lần xuất hiện cực trị của hàm số trong đề thi trung học phổ thông quốc gia là khá nhiều. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn tìm cực trị của hàm số một cách chi tiết với các bước, kèm với nó là ví dụ minh họa có lời giải để bạn tiện theo dõi

Cách tìm cực trị của hàm số

Bài tập cực trị của hàm số có giải chi tiết

Bạn đang xem: 2 cách tìm cực trị của hàm số siêu nhanh-ToanHoc.org

Số lần xuất hiện

cực trị của hàm số

trong đề thi trung học phổ thông quốc gia là khá nhiều. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn tìm cực trị của hàm số một cách chi tiết với các bước, kèm với nó là ví dụ minh họa có lời giải để bạn tiện theo dõi

Để tìm cực trị ta có 2 cách đó là dùng bảng biến thiên và biện luận đạo hàm cấp 2. Mời bạn cùng theo dõi

Cách tìm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là K.

Cách 1:

cực trị của hàm số - toanhocorg

Lưu ý: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

  • Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
  • Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Cách 2:

cực trị của hàm số - toanhocorg

Lưu ý:

  • Tại điểm xi cho giá trị f″(xi) < 0 thì điểm đó là cực đại của hàm số.
  • Tại điểm xi cho giá trị f″(xi) > 0 thì điểm đó là cực tiểu của hàm số.

Bài tập cực trị của hàm số có giải chi tiết

Bài tập 1. (Trích câu 4 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT) Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
cực trị của hàm số
Điềm cực đại của hàm số đã cho là:

A.$x=-3$.

B.$x=1$.

C.$x=2$.

D.$x=-2$.

Hướng dẫn giải

Chọn câu D

Vì ${f}'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi hàm số qua $x=-2$ nên ${{x}_{CD}}=-2.$

Bài tập 2.Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.

B.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0.

C.Hàm số đạt cực đại tại x = – 2 và cực tiểu tại x = 0.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0và cực tiểu tại x = – 2.

Hướng dẫn giải

Chọn B

$y’ = 3{x^2} – 6x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = 2 end{array} right.$

Lập bảng biến thiên ta được hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 0$

Bài tập 3. (Trích câu 5 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT). Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm ${{f}^{prime }}(x)$ như sau:
tìm cực trị của hàm số
Hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điềm cực trị?

A.4.

B.1.

C.2.

D.3.

Hướng dẫn giải

Chọn câu A

Ta thấy ${f}'(x)$ đổi dấu khi qua cả bốn số $x=-2,x=1,x=3,x=5$ nên chúng đều là các điểm cực trị của hàm số $f(x).$

Bài tập 4. Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Chọn A

$y’ = 4{x^3} – 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = 1\ x = – 1 end{array} right.$

$y(0) = 3;{text{ }}y(1) = y( – 1) = 2$ nên hàm số có hai cực trị.

Bài tập 5. Cho hàm số $y = {x^3} + 17{x^2} – 24x + 8$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. ${x_{CD}} = 1.$

B. ${x_{CD}} = frac{2}{3}.$

C. ${x_{CD}} = – 3.$

D. ${x_{CD}} = – 12.$

Hướng dẫn giải

Chọn D

$y’ = 3{x^2} + 34x – 24 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 12\ x = frac{2}{3} end{array} right.$

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = – 12$ .

Bài tập 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại $x = frac{3}{2}$ ?

A. $y = frac{1}{2}{x^4} – {x^3} + {x^2} – 3x.$

B. $y = sqrt { – {x^2} + 3x – 2} .$

C. $y = sqrt {4{x^2} – 12x – 8} .$

D. $y = frac{{x – 1}}{{x + 2}}.$

Hướng dẫn giải

Chọn B

Hàm số $y = sqrt { – {x^2} + 3x – 2} $ có $y’ = frac{{ – 2x + 3}}{{2sqrt { – {x^2} + 3x – 2} }}$ và $y’$ đổi dấu từ “+” sang “-” khi $x$ chạy qua

$frac{3}{2}$ nên hàm số đạt cực đại tại .

Dùng casio kiểm tra: $left{ begin{array}{l} y’left( {frac{3}{2}} right) = 0\ y”left( {frac{3}{2}} right) < 0 end{array} right.$ thì hàm số đạt cực đại tại 1,5 .

Bài tập 7. Cho hàm số $y = {x^7} – {x^5}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

B. Hàm số có đúng 3 điểm cực trị .

C. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

D. Hàm số có đúng 4 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Chọn C

$y’ = 7{x^6} – 5{x^4} = {x^4}(7{x^2} – 5) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = pm sqrt {frac{5}{7}} end{array} right.$ .

$y’$ chỉ đổi dấu khi $x$ chạy qua $ pm sqrt {frac{5}{7}} $ nên hàm số có hai điểm cực trị.

Bài tập 8. (Trích câu 39 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT). Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y={{f}^{prime }}(x)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(2x)-4x$ trên đoạn $left[ -frac{3}{2};2 right]$ bằng
bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số
A.$f(0)$.

B.$f(-3)+6$.

C.$f(2)-4$.

D.$f(4)-8$.

Hướng dẫn giải

Chọn câu C

Đặt $2x=t$ thì $tin [-3;4]$ và ta đưa về xét $h(t)=f(t)-2t.$ Ta có ${h}'(t)={f}'(t)-2$ nên dựa vào đồ thị đã cho thì ${h}'(t)=0$ có hai nghiệm $t=0,t=2,$ trong đó ${f}'(t)-2$ lại không đổi dấu khi qua $t=0,$ còn ${h}'(t)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $t=2$

Lập bảng biến thiên cho$h(t)$ trên $[-3;4],$ ta có $max h(t)=h(2)=f(2)-4.$

Bài tập 9. (Trích câu 46 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT). Cho $f(x)$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f(0)=0$. Hàm số ${{f}^{prime }}(x)$ có bảng biến thiên như sau:

cực trị của hàm số lớp 12

Hàm số $g(x)=left| fleft( {{x}^{3}} right)-3x right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.3.

B.5.

C.4.

D.2.

Hướng dẫn giải

Chọn câu A

Ta có ${f}'(x)$ bậc ba có $2$ điểm cực trị là $x=-3,x=-1$ nên ${{f}’}'(x)=a(x+3)(x+1).$

Suy ra ${f}'(x)=a(frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x)+b$.

Từ $f(-3)=-1$ và $f(-1)=-frac{61}{3},$ giải ra $a=frac{29}{2},b=-1$

hay ${f}'(x)=frac{29}{2}(frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x)-1.$

Do đó ${f}'(0)=-1<0$

Đặt $h(x)=f({{x}^{3}})-3x$ thì ${h}'(x)=3{{x}^{2}}{f}'({{x}^{3}})-3$ nên ${h}'(x)=0Leftrightarrow {f}'({{x}^{3}})=frac{1}{{{x}^{2}}}.$$(*)$

Trên $(-infty ;0)$ thì ${f}'(x)<0$ nên ${f}'({{x}^{3}})<0,forall x<0$,kéo theo $(*)$ vô nghiệm trên $(-infty ;0].$

Xét $x>0$ thì ${f}'(x)$ đồng biến còn $frac{1}{{{x}^{2}}}$ nghịch biến nên $(*)$ có không quá $1$ nghiệm.

Lại có $underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},({f}'({{x}^{3}})-frac{1}{{{x}^{2}}})=-infty $ và $underset{xto +infty }{mathop{lim }},({f}'({{x}^{3}})-frac{1}{{{x}^{2}}})=+infty $ nên $(*)$ có đúng nghiệm $x=c>0.$

Xét bảng biến thiên của $h(x)$:

trắc nghiệm cực trị của hàm số

Vì $h(0)=f(0)=0$ nên $h(c)<0$ và phương trình $h(x)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt,khác $c.$

Từ đó $left| h(x) right|$ sẽ có $3$ điểm cực trị

Hy vọng qua bài viết này bạn đã biết cách tìm cực đại của hàm số hay cực tiểu của hàm số. Mọi thắc mắc hay để lại bình luận bên dưới để

toanhoc.org

giải đáp. Đừng quên quay lại trang Toán Học để đón xem những bài tiếp theo nhé!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button