Kiến thức

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: TOÁN 12 BÀI 2 TÓM TẮT

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: TOÁN 12 BÀI 2

Bạn đang xem: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: TOÁN 12 BÀI 2 TÓM TẮT

I. Cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x∈ (a ; b).

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x– h ; x+ h), x ≠ xthì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x.

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x– h ; x+ h), x ≠ xthì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị (cực trị của hàm số)

Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x– h ; x+ h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K ∖∖{ x}.

+) Nếu

{f′(x)>0|∀(x0−h;x0)

f′(x)<0|∀(x0;x0+h)

 thì x0 là điểm cực đại của hàm số

+) Nếu

{f′(x)<0|∀(x0−h;x0)

f′(x)>0|∀(x0;x0+h)

 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số

Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x– h ; x+ h) (h > 0).

– Nếu f ‘(x0) = 0, f ”(x0) > 0 thì xlà điểm cực tiểu của hàm số f.

– Nếu f ‘(x0) = 0, f ”(x0) < 0 thì xlà điểm cực đại của hàm số f.

III. Quy tắc tìm cực trị (cực trị của hàm số)

Quy tắc 1

– Tìm tập xác định.

– Tính f ‘(x). Tìm các điểm tại đó f ‘(x) bằng 0 hoặc f ‘(x) không xác định.

– Lập bảng biến thiên.

– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

– Tìm tập xác định.

– Tính f ‘(x). Tìm các nghiệm xixi của phương trình f ‘(x)=0.

– Tính f ”(x) và f ”(xixi) suy ra tính chất cực trị của các điểm xixi.

(Chú ý: nếu f ”(xixi)=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xixi).

Bài tập áp dụng cực trị của hàm số

Bài 1

Dựa vào đồ thị (H.7, H.8)SGK, hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)…

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số và xét trong từng khoảng, tìm điểm cao nhất (ứng với giá trị lớn nhất) và điểm thấp nhất (ứng với giá trị nhỏ nhất).

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị hàm số ta thấy, tại x=0x=0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 11.

Xét dấu đạo hàm:

Bài 2

Giả sử f(x) đạt cực đại tại . Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số  khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.
Lời giải chi tiết

– Với Δx > 0

Ta có

limΔx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx=0=f′(x+0)

– Với Δx < 0

Ta có

limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=0=f′(x−0)

Do đó

limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=0=f′(x0)

Bài 3

Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

y = -2x + 1;

y=x(x−3)2/3(H.8)SGK

Lời giải chi tiết:

Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số y=x(x−3)2/3y=x(x−3)2/3 đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

Bài 4

Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?
Lời giải chi tiết

y=|x|={x;x≥0−x;x<0y=|x|={x;x≥0−x;x<0

Khi đó:

y′={1;x≥0−1;x<0y′={1;x≥0−1;x<0

Ta có: limx→0+y′=1≠−1=limx→0−y′limx→0+y′=1≠−1=limx→0−y′

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|. Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Bài 5

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số: Lời giải chi tiết

  1. TXĐ: D = R
  2. f’(x) = 3x2– 3. Cho f’(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.
  3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

xem thêm nhiều tài liệu toán lớp 12

tại đây

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button