Kiến thức

Cực Trị Của Hàm Số-Toán 12-Đề án 2020-Tổng Hợp Chia Sẻ Hình ảnh, Tranh Vẽ, Biểu Mẫu Trong Lĩnh Vực Giáo Dục

Cực Trị Của Hàm Số – Toán 12

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung

Cực Trị Của Hàm Số – Toán 12

và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Cực trị hàm số

1. Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -∝; b là +∝) và điểm xo ∈ (a; b) .

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(xo) với mọi x ∈ (xo – h; xo + h) và x ≠ xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xo .

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xo) với mọi x ∈ (xo – h; xo + h) và x ≠ xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xo .

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (xo – h; xo + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K {xo}, với h > 0 .

– Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (xo – h; xo) và f'(x) < 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực đại của hàm số f(x).

– Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (xo – h; xo) và f'(x) > 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 166

* Chú ý.

– Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(xo) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f(fCT) , còn điểm M(xo; f(xo)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

– Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

– Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Xem thêm:  Bảng Phân Bố Tần Số Và Tần Suất – Toán 10

Bước 2. Tính f'(x) . Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

– Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3;…) là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f”(x) và f”(xi).

Bước 4. Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

Ta có y’= 3ax2 + 2bx + c

– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b2 – 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 167.

– Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 168

Hoặc sử dụng công thức Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 169.

– Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 170

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 171

(C) có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 172.

Khi đó ba điểm cực trị là: Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 173 với Δ = b2 – 4ac

Độ dài các đoạn thẳng: Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 174.

Các kết quả cần ghi nhớ:

– ΔABC vuông cân ⇔ BC2 = AB2 + AC2

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 175

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 176

– Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 177

– Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là: Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 178

C. Kĩ năng sử dụng máy tính

Ví dụ 1: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 – x + 2

Hướng dẫn:

Bấm máy tính: MODE 2

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 179

Ví dụ 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + m2x + m

Hướng dẫn:

Bấm máy tính: MODE 2

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 180

Ta có:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 181

Vậy đường thẳng cần tìm:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 182

II. GIẢI BÀI TẬP SGK

Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10

Xem thêm:  Cấp Số Cộng – Toán 11

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 183

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

y’ = 6x2 + 6x – 36

y’ = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 184

Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) TXĐ: D = R

y’= 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) = 0;

y’ = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 185

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3

hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = R {0}

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 186

y’ = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 187

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d) TXĐ: D = R

y’= (x3)’.(1 – x)2 + x3.[(1 – x)2]’

= 3x2.(1 – x)2 + x3.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x2(1 – x)2 – 2x3(1 – x)

= x2.(1 – x)(3 – 5x)

y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 188

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 189

hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = R.

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 190

Bảng biến thiên:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 191

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 – 2x2 + 1 ;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

d) y = x5 – x3 – 2x + 1

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

+ y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

+ y” = 12x2 – 4

y”(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y”(1) = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y”(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = R

+ y’ = 2cos2x – 1;

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 192

+ y” = -4.sin2x

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 193

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 194 (k ∈ Z) là các điểm cực đại của hàm số.

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 195

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 196 (k ∈ Z) là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) TXĐ: D = R

+ y’ = cos x – sin x.

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 197

+ y’’ = -sin x – cos x = Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 198

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 199

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 200 là các điểm cực đại của hàm số.

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 201

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 202 là các điểm cực tiểu của hàm số.

d) TXĐ: D = R

+ y’= 5x4 – 3x2 – 2

y’ = 0 ⇔ 5x4 – 3x2 – 2 = 0

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 203

⇔ x = ±1.

+ y” = 20x3 – 6x

y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

Xem thêm:  Khái Niệm Về Mặt Tròn Xoay – Toán 12

y”(1) = 20 – 6 = 14 > 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

+ Chứng minh hàm số Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 204 không có đạo hàm tại x = 0.

Xét giới hạn Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 205  :

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 206

⇒ Không tồn tại giới hạn Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 207

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với ∀ x ∈ (-1 ; 1) và x ≠ 0

⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x3 – mx2 – 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: D = R

+ y’ = 3x2 – 2mx – 2

y’ = 0 ⇔ 3x2 – 2mx – 2 = 0 ⇔ Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 208

+ y’’ = 6x – 2m.

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 209

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 210 là một điểm cực đại của hàm số.

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 211

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 212 là một điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Bài 5 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Tìm a và b để các cực trị của hàm số

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 213

đều là nhưng số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

Lời giải:

TXĐ: D = R.

+ y’ = 5a2x2 + 4ax – 9.

⇒ y’’ = 10a2x + 4a.

– Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

– Nếu a ≠ 0.

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 214

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 215

Các cực trị của hàm số đều dương

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 216

Các cực trị của hàm số đều dương

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 217

Bài 6 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 218 đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Lời giải:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 219

Ta có bảng biến thiên:

Cực Trị Của Hàm Số - Toán 12 220

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.

Trên đây là nội dung liên quan đến Cực Trị Của Hàm Số – Toán 12 được

dean2020.edu.vn

 đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Xem thêm:

  • Vòng tay Tỳ Hưu phong thủy – Đặc điểm, Ý nghĩa vòng tay Tỳ hưu A-Z

  • Phép Đồng Dạng – Toán 11

  • Nhà thơ Lưu Quang Vũ – Nhà soạn kịch, nhà thơ và nhà văn hiện đại của Việt Nam

  • +233 Bài Thơ Hay về Biển và sóng, lãng mạng, cơ đơn và nỗi nhớ

  • Nghề quay phim – Những tố chất để làm tốt nghề quay phim

Danh mục:

Học thuật

Bài viết cùng chủ đề:

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button