Kiến thức

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác-cmto-inches

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Mục lục

hiện

1. Lý thuyết tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Bạn đang xem: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác-cmto-inches

1. Lý thuyết tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên miền $Dsubset R$ .

Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=fleft( x right)$ trên D nếu $left{ begin{array}{l} fleft( x right) le M,forall x in D\ exists {x_0} in D,fleft( {{x_0}} right) = M end{array} right.$

Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=fleft( x right)$trên D nếu $left{ begin{array}{l} fleft( x right) > m,forall x in D\ exists {x_0} in D,fleft( {{x_0}} right) = m end{array} right.$

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:

  1. Tính bị chặn của

    hàm số lượng giác

    .

  2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa và .
  3. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
  4. Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=2017cos (8x+frac{10pi }{2017})+2016.$

A. $min y=1;maxy=4033.$

B. $min y=-1;maxy=4033.$

C.$min y=1;maxy=4022.$

D. $min y=-1;max y=4022.$

Phân tích

Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau:

Bước 1: Chỉ ra $fleft( x right) le M,forall x in {rm{D}}.$

Bước 2 : Chỉ ra ${{x}_{0}}in D$ sao cho $fleft( {{x}_{0}} right)=M$ .

Kết luận : $underset{D}{mathop{max }},fleft( x right)=M$

Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Hàm số xác định trên $R$ .

Ta có $-1le cos left( 8x+frac{10pi }{2017} right)le 1,forall R.$

$Leftrightarrow -2017le 2017cos left( 8x+frac{10pi }{2017} right)+2016le 4033,forall in ,R$ .

$Leftrightarrow -1le 2017cos left( 8x+frac{10pi }{2017} right)+2016le 4033,forall in ,R$

Ta có $y=-1$ khi $cos left( 8x+frac{10pi }{2017} right)=-1$ ; $y=4033$ khi $cos left( 8x+frac{10pi }{2017} right)=1$ .

Vậy $min y=-1;maxy=4033$ .

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị $max $là $4022;4033$ .

Chỉ có hai giá trị min là 1;-1.

Lúc này ta sử dụng chức năng SHIFT CALC để thử giá trị:

Ví dụ ta nhập vào màn hình $2017cos left( 8x+frac{10pi }{2017} right)+2016=4033$ ta thấy phương trình có nghiệm.

Tương tự nhập $2017cos left( 8x+frac{10pi }{2017} right)+2016=-1$ ta thấy phương trình có nghiệm.

Từ đây ta chọn B.

STUDY TIP

Trong bài toán ta chọn thử hai giá trị trên vì $4033$ là giá trị lớn hơn và $-1$ là giá trị nhỏ hơn nên ta thử trước. Nếu phương trình không có nghiệm thì sẽ là trường hợp còn lại.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=2{{cos }^{2}}x-2sqrt{3}sin text{x}cos x+1$

A. $min y=0;maxy=4$

B. $min y=1-sqrt{3};maxy=3+sqrt{3}.$

C. $min y=-4;maxy=0.$

D. $min y=-1+sqrt{3};maxy=3+sqrt{3}$ .

Lời giải

Chọn A.

Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ở trong

STUDY TIP

ta đưa ra ở trên, ta sẽ đưa $y=2{{cos }^{2}}x-2sqrt{3}sin text{x}cos x+1$ về theo $sin uleft( x right)$ hoặc $cos uleft( x right)$ .

Ta có $y=2{{cos }^{2}}x-2sqrt{3}sin text{x}cos x+1$ $=2{{cos }^{2}}x-1-sqrt{3}sin 2x+2$ $=cos 2x-sqrt{3}sin 2x+2left( * right)$

$=2left( frac{1}{2}cos 2x-frac{sqrt{3}}{2}sin 2x right)+2$ $=2cos left( 2x+frac{pi }{3} right)+2$

Mặt khác $-1le 2cos left( 2x+frac{pi }{3} right)+2le 4,forall xin ,R$ $Leftrightarrow 0le yle 4,forall xin ,R$ .

Ta có bài toán tổng quát:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=a,sin u+b,cos u$ trên $R$ . Với $a,bin ,R;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0.$

Lời giải

tổng quát

$y = a{mkern 1mu} {kern 1pt} {mathop{rm s}nolimits} {rm{inu + bcosu}}$ $ Rightarrow y = left( {frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin u + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos u} right)sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Vì ${{left( frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} right)}^{2}}+left( frac{b}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} right)=1$ $Rightarrow backepsilon alpha in ,R$ sao cho $cos alpha =frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ và $sin alpha =frac{b}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

$Rightarrow y=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}left( sin u.cosalpha +cos u.sin alpha right)$ $Rightarrow y=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.sin left( u+alpha right)$

Vì $-1le sin left( u+alpha right)le 1$ $Rightarrow -sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}le yle sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Ngoài ra ta có thể mở rộng bài toán như sau:

$y=a,sin left[ fleft( x right) right]+bcos left[ fleft( x right) right]+c$ . Ta có $-sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+cle yle sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c$

Từ bài toán tổng quát trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán ví dụ 2 từ dòng (*) như sau: Ta có $-sqrt{1+3}+2le yle sqrt{1+3}+2$ $Leftrightarrow 0le yle 4$ .

STUDY TIP

Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất theo sin và cos như sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=a,sin left[ fleft( x right) right]+bcos left[ fleft( x right) right]+c$

$asin left[ fleft( x right) right]+bcos left[ fleft( x right) right]+c-y=0$ điều kiện có nghiệm ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge {{left( c-y right)}^{2}}$ . Từ đây ta tìm được $min ,max$ của y.

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = frac{{{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + 2cos x + 3}}{{2 + cos x}}$

A. $min y=-frac{2}{3};maxy=2$ .

B. $min y=frac{2}{3};maxy=2$

B. $min y=frac{1}{2};maxy=frac{3}{2}$

D. $min y=-frac{1}{2};maxy=frac{3}{2}$

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có $cos x+2>0,forall xin ,R$ .

$y = frac{{{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + 2cos x + 3}}{{2 + cos x}}$

$ Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + 2cos x + 3 = 2y + ycos x$

$ Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + left( {2 – y} right)cos x + 3 – 2y = 0$

Ta sử dụng điều kiện ở

STUDY TIP

trong bài tổng quát trên.

Ta có ${{1}^{2}}+{{left( 2-y right)}^{2}}ge {{left( 3-2y right)}^{2}}$ $Leftrightarrow 4{{y}^{2}}-12y+9-{{y}^{2}}+4y-4-1le 0$ $Leftrightarrow 3{{y}^{2}}-8y+4le 0$ $Leftrightarrow frac{2}{3}le yle 2$

Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay

Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: $frac{{{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + 2cos x + 3}}{{2 + cos x}} = 2$ thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A;B;C;D nên ta không cần thử trường hợp $max =frac{3}{2}$.

Lúc này chỉ còn A và B. Thử với $min y=-frac{2}{3}$ thì không có nghiệm.

Từ đây chọn B.

STUDY TIP

Nếu hàm số có dạng $y = frac{{{a_1}{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + {b_1}cos x + {c_1}}}{{{a_2}{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + {b_2}cos x + {c_2}}}$ ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về dạng phương trình trong

STUDY TIP

ở phía trên và tiếp tực lời giải.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = sqrt[4]{{{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}}} – sqrt {cos x} .$

A. $min y=-1;maxy=1$.

B. $min y=0;maxy=1$

C. $min y=-1;maxy=0$.

D. $min y=-1;maxy$ không tồn tại.

Lời giải

Chọn B

Cách 1 : Ta có $left{ begin{align} & 0le sqrt[4]{operatorname{s}text{inx}}le 1 \ & 0le sqrt{cos x}le 1 \ end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align} & 0le sqrt[4]{operatorname{s}text{inx}}le 1 \ & -1le -sqrt{cos x}le 0 \ end{align} right.$ $Leftrightarrow -1le yle 1$ .

Vậy khi $left{ begin{align} & operatorname{s}text{inx}=1 \ & cos x=0 \ end{align} right.$ $Leftrightarrow x=k2pi ;kin Z$

Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay

STUDY TIP

Nhiều độc giả không lưu ý đổi dấu của bpt thứ hai của hệ khi nhân các vế với $-1$ dẫn đến chọn đáp án sai.

Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{cot }^{4}}a+{{cot }^{4}}b+2{{tan }^{2}}a.{{tan }^{2}}b+2$

A. $min y=2$.

B. $min y=6$.

C. $min y=4$.

D. Không tồn tại GTLN.

Lời giải

Chọn B

$begin{align} & P={{left( {{cot }^{2}}a-{{cot }^{2}}b right)}^{2}}+2{{cot }^{2}}a.{{cot }^{2}}b+2{{tan }^{2}}a.{{tan }^{2}}b+2 \ & ={{left( {{cot }^{2}}a-{{cot }^{2}}b right)}^{2}}+2left( {{cot }^{2}}a.{{cot }^{2}}b+{{tan }^{2}}a.{{tan }^{2}}b-2 right)+6 \ & ={{left( {{cot }^{2}}a-{{cot }^{2}}b right)}^{2}}+2left( {{cot }^{2}}a.{{cot }^{2}}b+{{tan }^{2}}a.{{tan }^{2}}b-2cot a.operatorname{cotb}.tan a.tan b right)+6 \ & ={{left( {{cot }^{2}}a-{{cot }^{2}}b right)}^{2}}+2{{left( cot a.cot b-tan a.tan b right)}^{2}}+6ge 6 \ end{align}$

Dấu bằng xảy ra khi $left{ begin{array}{l} {cot ^2}a = {cot ^2}b\ cot a.cot b = tan a.tan b end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {cot ^2}a = 1\ {cot ^2}b = 1 end{array} right.$

$Leftrightarrow a=b=frac{pi }{4}+frac{kpi }{2},,(kin mathbb{Z})$.

STUDY TIP

Với các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm lượng giác ta có thể đưa về dạng$y={{A}^{2}}(x)+Bge B$. Nhưng cần lưu ý xem dấu bằng có xãy ra hay không.

Tiếp theo ta có ví dụ 6 là một câu hỏi khác cho ví dụ 2 như sau

Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2{{cos }^{2}}x-2sqrt{3}sin x.cos x+1$ trên đoạn $left[ 0,frac{7pi }{12} right]$ lần lượt là

A. $underset{left[ 0,frac{7pi }{12} right]}{mathop{min y}},=2;underset{left[ 0,frac{7pi }{12} right]}{mathop{max y}},=3$.

B. $underset{left[ 0,frac{7pi }{12} right]}{mathop{min y}},=0;underset{left[ 0,frac{7pi }{12} right]}{mathop{max y}},=2$.

C. $underset{left[ 0,frac{7pi }{12} right]}{mathop{min y}},=0;underset{left[ 0,frac{7pi }{12} right]}{mathop{max y}},=4$.

D. $underset{left[ 0,frac{7pi }{12} right]}{mathop{min y}},=0;underset{left[ 0,frac{7pi }{12} right]}{mathop{max y}},=3$.

Lời giải

Chọn B

Từ ví dụ $2$ ta có $y=2cos left( 2x+frac{pi }{3} right)+2$. Đặt $u=2x+frac{pi }{3}$

Từ đề bài ta xét $xin left[ 0;frac{7pi }{12} right]Rightarrow uin left[ frac{pi }{3};frac{3pi }{2} right]$

Ta lập BBT của hàm số $y=2cos u+2$ trên $left[ frac{pi }{3};frac{3pi }{2} right]$.

Từ bảng biến thiên ta thấy $underset{left[ frac{pi }{3};frac{3pi }{2} right]}{mathop{min }},f(u)=0,,text{khi},,u=pi Leftrightarrow x=frac{pi }{3}$

$underset{left[ frac{pi }{3};frac{3pi }{2} right]}{mathop{max }},f(u)=3,,text{khi},,u=frac{pi }{3}Leftrightarrow x=0$

Hay $underset{left[ 0;frac{7pi }{12} right]}{mathop{min }},y=0;underset{left[ 0;frac{7pi }{12} right]}{mathop{text{max}}},y=3$.

STUDY TIP

Với các bài toán tìm min, max của hàm số lượng giác trên một đoạn ta thường phải xét nhanh BBT để giải quyết bài toán. Ở chương trình 11 ta chưa học đạo hàm nên chưa giải quyết được bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số sử dụng đạo hàm. Sau khi học xong đạo hàm ta sẽ giải quyết bài toán này nhanh chóng hơn.

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y={{sin }^{2}}x-sin x+2$.

A. $min y=frac{7}{4};,max y=4$.

B. $min y=frac{7}{4};,max y=2$.

C. $min y=-1;,max y=1$.

D. $min y=frac{1}{2};,max y=2$.

Lời giải

Chọn A.

Đặt $sin x=u;,,uin left[ -1;1 right]$

Xét hàm số: $y={{u}^{2}}-u+2$trên $left[ -1;1 right]$.

Ta có: $frac{-b}{2a}=frac{1}{2}in left[ -1;1 right]$. Từ đây có bảng biến thiên

Ta kết luận: $underset{left[ -1;1 right]}{mathop{min }},fleft( u right)=frac{7}{4}$và $,underset{left[ -1;1 right]}{mathop{max }},y=4Leftrightarrow u=-1$.

Hay $,underset{{}}{mathop{min }},y=frac{7}{4}Leftrightarrow sin x=frac{1}{2}$ và $,underset{{}}{mathop{max }},y=4Leftrightarrow sin x=-1$.

Danh mục

Đại số 11

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button