Kiến thức

Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước-Toán cấp 3

Bạn đang xem: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước-Toán cấp 3

Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

Toancap3.com sưu tầm 2 phương pháp tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước qua các ví dụ có lời giải và bài tập minh họa.

Phương pháp đó là:

– Phương pháp 1: Rút m theo x, rồi dựa vào bài toán cụ thể để tìm m.
– Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận.

Ví dụ 1: (Đề thi Toán khối A năm 2013) Tìm m để hàm số y=-x^3+3x^2+3mx-1 nghịch biến trên left( {0;+infty} right).

Lời giải. Ta có y'=-3x^2+6x+3m.

Hàm số nghịch biến trên left( {0;+infty} right) khi và chỉ khi y'le 0,forall xin left( {0;+infty} right)
Leftrightarrow -3x^2+6x+3mle 0 ,forall xin left( {0;+infty} right) Leftrightarrow mle x^2-2x, forall xin left( {0;+infty} right) (1).

Xét hàm số f(x)=x^2-2x trên left( {0;+infty} right)f'(x)=2x-2; f'(x)=0Leftrightarrow x=1.

Bảng biến thiên: begin{array}{|c|ccccc|} hline x & 0 & ; & 1 & ; & +infty \ hline f'(x) & ; & - & 0 & + & ; \ hline & ;0 & ; & ; & ; & +infty \ f(x) & ; & searrow & ; & nearrow & ; \ & ; & ; & -1 & ;&\ hline end{array}.

Từ bảng biên thiên ta có (1)Leftrightarrow mle -1.

Vậy với mle -1, hàm số đã cho nghịch biến trên left( {0;+infty} right).

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=- dfrac{1}{3}{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} + left( {m + 3} right)x + 4 đồng biến trên left( {0;3} right).

Lời giải. Ta có: y' = - {x^2} + left( {m - 1} right)x + m + 3.

Hàm số đồng biến trên left( {0;3} right) khi và chỉ khi y' ge 0,forall x in left( {0;3} right)
Leftrightarrow - {x^2} + 2left( {m - 1} right)x + m + 3 ge 0,forall x in left( {0;3} right)
Leftrightarrow m ge dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}},forall x in left( {0;3} right) (2).

Xét hàm số displaystyle f(x) = frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} trên left[ {0;3} right]displaystyle f'(x) = frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{left( {2x + 1} right)}^2}}} > 0,forall x in left[ {0;3} right].

Bảng biến thiên: begin{array}{|c|ccc|} hline x & 0 & ; & 3 \ hline f'(x) & ; & + & \ hline & ; & ; & dfrac{12}{7} \ f(x) & ; & nearrow & ; \ & -3 & ; & \ hline end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra displaystyle (2) Leftrightarrow m ge frac{{12}}{7}.

Vậy với displaystyle m ge frac{{12}}{7}, hàm số đã cho luôn đồng biến trên left( {0;3} right).

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = {x^3} - left( {2m + 1} right){x^2} + left( {{m^2} + 2m} right)x + 1 đồng biến trên left( {0; + infty } right).

Lời giải. Ta có: y' = 3{x^2} - 2left( {2m + 1} right)x + {m^2} + 2m;
Delta '_{y'} = {left( {2m + 1} right)^2} - 3left( {{m^2} + 2m} right) = {left( {m - 1} right)^2}.

Với m = 1, ta có y' ge 0,forall x in mathbb{R} Rightarrow hàm số luôn đồng biến trên mathbb{R}
Do đó hàm số đồng biến trên left( {0; + infty } right) nên m=1 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với m ne 1, ta có displaystyle y' = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {x_1} = dfrac{{2m + 1 - left| {m - 1} right|}}{3}\ {x_2} = dfrac{{2m + 1 + left| {m - 1} right|}}{3} end{array} right.

Bảng biến thiên: begin{array}{|c|ccccccc|} hline x & -infty & ; & x_1 & ; & x_2 & ; & +infty \ hline y' & ; & + & 0 & - & 0 & + & \ hline & ; & ; & y(x_1) & & & ; & +infty \ y & ; & nearrow & ; & searrow & ; & nearrow & \ & -infty & & & ;& y(x_2) & ; & \ hline end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên left( {0; + infty } right)
Leftrightarrow dfrac{{2m + 1 + left| {m - 1} right|}}{3} le 0 Leftrightarrow left| {m - 1} right| le - 2m - 1.

Với m > 1, ta có left| {m - 1} right| le - 2m - 1 Leftrightarrow m - 1 le - 2m - 1 Leftrightarrow m le 0 (loại).

Với m < 1, ta có left| {m - 1} right| le - 2m - 1 Leftrightarrow - m + 1 le - 2m - 1 Leftrightarrow m le - 2 (thỏa mãn).

Vậy với m le - 2 hoặc m = 1, hàm số đã cho đồng biến trên left( {0; + infty } right).

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = dfrac{{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 2}}{{x - m}} đồng biến trên left( {1; + infty } right).

Lời giải. Tập xác định: D = mathbb{R}backslash left{ m right}.

Ta có: displaystyle y' = dfrac{{{x^2} - 2mx + 2}}{{{{left( {x - m} right)}^2}}}.

Hàm số đồng biến trên left( {1; + infty } right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y' ge 0,forall x in left( {1; + infty } right)\ m notin left( {1; + infty } right) end{array} right.
Leftrightarrow left{ begin{array}{l} displaystyle frac{{{x^2} - 2mx + 2}}{{{{left( {x - m} right)}^2}}} ge 0,forall x in left( {1; + infty } right)\ m le 1 end{array} right.
Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x^2} - 2mx + 2 ge 0,forall x in left( {1; + infty } right) \ m le 1 end{array} right.
Leftrightarrow left{ begin{array}{l} displaystyle m le frac{{{x^2} + 2}}{{2x}},forall x in left( {1; + infty } right) \ m le 1 end{array} right. (4).

Xét hàm số displaystyle f(x) = frac{{{x^2} + 2}}{{2x}} trên left[ {1; + infty } right)f'(x) = dfrac{{2{x^2} - 4}}{{4{x^2}}};f'(x) = 0 Leftrightarrow x = sqrt 2 .

Bảng biến thiên: begin{array}{|c|ccccc|} hline x & 1 & ; & sqrt 2 & ; & +infty \ hline f'(x) & ; & - & 0 & + & ; \ hline & ;dfrac{3}{2} & ; & ; & ; & +infty \ f(x) & ; & searrow & ; & nearrow & ; \ & ; & ; & sqrt 2 & ;&\ hline end{array}.

Từ bảng biến thiên ta có (4) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m le sqrt 2 \ m le 1 end{array} right. Leftrightarrow m le 1 .

Vậy với m le 1, hàm số đã cho đồng biến trên left( {1; + infty } right).

Ví dụ 5: Tìm a để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Lời giải. Ta có: y' = 3{x^2} + 6x + a; Delta'_{y'} = 9 - 3a .

Với 9 - 3a le 0 Leftrightarrow a ge 3 Rightarrow y' ge 0,forall in mathbb{R}
Rightarrow hàm số luôn đồng biến trên mathbb{R}, mâu thuẫn giả thiết.

Do đó a ge 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với 9 - 3a > 0 Leftrightarrow a < 3 Rightarrow y' có hai nghiệm {x_1},{x_2}left( {{x_1} < {x_2}} right) .

Bảng biến thiên: begin{array}{|c|ccccccc|} hline x & -infty & ; & x_1 & ; & x_2 & ; & +infty \ hline y' & ; & + & 0 & - & 0 & + & \ hline & ; & ; & y(x_1) & & & ; & +infty \ y & ; & nearrow & ; & searrow & ; & nearrow & \ & -infty & & & ;& y(x_2) & ; & \ hline end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi left| {{x_1} - {x_2}} right| = 1Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1 Leftrightarrow 4 - dfrac{{4a}}{3} = 1 Leftrightarrow a = dfrac{9}{4} (thỏa mãn).

Vậy với displaystyle a = frac{9}{4}, hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

* Nhận xét: Đối với các bài toán có m bậc nhất và có khoảng đơn điệu cụ thể nên dùng phương pháp 1 còn các bài toán có bậc m lớn hơn 1 và khoảng đơn điệu không cụ thể phải dùng phương pháp 2.

Bài tập tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

1. Tìm m để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} - mx - 4 đồng biến trên left( { - infty ;0} right).

2. Tìm m để hàm số y = dfrac{1}{3}m{x^3} - left( {m - 1} right){x^2} + 3left( {m - 2} right)x + dfrac{1}{3} đồng biến trên left[ {2; + infty } right).

3. Tìm m để hàm số y = {x^4} - 8m{x^2} + 9m đồng biến trên left( {2; + infty } right).

4. Tìm m để hàm số displaystyle y = frac{{mx + 4}}{{x + m}} nghịch biến trên left( { - infty ;1} right).

5. Tìm m để hàm số displaystyle y = frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}} nghịch biến trên left[ {1; + infty } right).

6. Tìm a để hàm số displaystyle y = frac{{{x^2} - 2ax + 4{a^2}}}{{x - 2a}} đồng biến trên left( {2; + infty } right).

7. Tìm m để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} + left( {m + 1} right)x + 4m đồng biến trên mỗi khoảng left( { - infty ; - 2} right)left( {2; + infty } right).

8. Tìm a để hàm số y = {x^3} - 3left( {a - 1} right){x^2} + 3(a - 2)x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng có hoành độ thỏa 1 le left| x right| le 2.

9. Tìm m để hàm số y = dfrac{1}{3}left( {m + 1} right){x^3} + left( {2m - 1} right){x^2} - left( {3m + 2} right)x + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4.

10. Tìm m để hàm số y = - dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + left( {3m + 2} right)x + m - 3 đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4.

Tags:

hàm đơn điệu

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button