Kiến thức

Định lý Viet (Vi-ét)-DINH LUAT

Định lý Viet (Vi – ét)

Chia sẻ cùng cộng đồng!

Nhằm hệ thống lại các dạng toán có liên quan tới tính chất nghiệm của phương trình đa thức: phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4, bậc n. Bài viết đề cập tới các phát biểu, công thức, ứng dụng… định lý Vi-et và nhiều dạng bài tập, mỗi dạng có số lượng bài tập phong phú, đủ cho bạn có điều kiện để nhận ra bản chất của từng dạng.

Qua bài viết này , hi vọng mang đến cho bạn cái nhìn từ nhiều phía của định lý Viet từ cơ bản đến nâng cao, cũng như thấy được vai trò to lớn của nó trong bộ môn Toán!

Mục lục

  • 1 Định lý Viet bậc 2

    • 1.1 Định lý

    • 1.2 Phương pháp giải phương trình bậc 2

    • 1.3 Dấu nghiệm của phương trình bậc 2

    • 1.4 Một số đẳng thức cần lưu ý

    • 1.5 Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc 2

    • 1.6 Các trường hợp đặc biệt

    • 1.7 Ứng dụng định lý Viet bậc 2

      • 1.7.1 Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm

      • 1.7.2 Dạng 2: Giải hệ đối xứng kiểu 1

      • 1.7.3 Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức

      • 1.7.4 Dạng 4: Ứng dụng vào bài toán tính cực trị của hàm số

      • 1.7.5 Dạng 5: Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến

      • 1.7.6 Dạng 6: Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm.

      • 1.7.7 Dạng 7: Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi

      • 1.7.8 Dạng 8: So sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với 1 số

  • 2 Định lý Viet bậc 3

  • 3 Định lý Viet bậc 4

  • 4 Định lý Viet tổng quát

    • 4.1 Định lý

    • 4.2 Ứng dụng

      • 4.2.1 Ứng dụng giải hệ phương trình

      • 4.2.2 Ứng dụng tính các biểu thức lượng giác

      • 4.2.3 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức

Định lý Viet bậc 2

Định lý Vi-et học sinh được học từ lớp 9, gồm có định lý thuận và định lý đảo. Định lý cho ta mối quan hệ giữa các nghiệm của

phương trình bậc hai

và các hệ số của nó.

Định lý

Định lý Viet bậc 2

Định lý Viet bậc 2

Trong đó:

  • Với x là ẩn số; x1 x2 là nghiệm của phương trình
  • a, b, c là các số đã biết sao cho a≠0; a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x
  • a là hệ số bậc hai
  • b là hệ số bậc một
  • c là hằng số hay số hạng tự do

Phương pháp giải phương trình bậc 2

Giải phương trình bậc 2: (a≠0) theo biệu thức delta

Đặt

  • Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép
  • Nếu Δ > 0 thì phương trình bậc 2 có hai nghiệm
Nghiệm của phương trình bậc 2

Nghiệm của phương trình bậc 2

Dấu nghiệm của phương trình bậc 2

Xác định dấu nghiệm của phương trình bậc 2

Xác định dấu nghiệm của phương trình bậc 2

Một số đẳng thức cần lưu ý

Một số đẳng thức cần lưu ý

Một số đẳng thức cần lưu ý

Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc 2

Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc 2

Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc 2

Các trường hợp đặc biệt

  • a + b + c = 0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì nghiệm của phương trình là:
  • a – b + c =0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì nghiệm phương trình là:
  • Nếu ac < 0 (a, c trái dấu nhau) thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Ứng dụng định lý Viet bậc 2

Bạn đang xem: Định lý Viet (Vi-ét)-DINH LUAT

Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm

Phân tích: Trong khi làm các bài tập dạng này, học sinh cần lưu ý sự tồn tại nghiệm của phương trình, sau đó biểu diễn các biểu thức qua x1 + x2 và x1.x2 để có thể sử dụng định lý Vi-et. Các hằng đẳng thức hay dùng là:

a² + b² = (a+b)² – 2ab

a³ + b³ = (a+b)³ -3ab(a+b)

Ví dụ 1:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 1

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 1

Ví dụ 2:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 2

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 2

Ví dụ 3:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 3

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 3

Ví dụ 4:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 4

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 4

Dạng 2: Giải hệ đối xứng kiểu 1

Phân tích:Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1 là hệ gồm hai phương trình, hai ẩn, trong đó nếu ta hoán đổi vai trò các ẩn trong từng phương trình thì mỗi phương trình đều không thay đổi. Để giải hệ đối xứng kiểu 1 bằng cách sử dụng định lý Vi-et, ta thường biểu diễn các phương trình qua tổng và tích của hai ẩn đó. Các hằng đẳng thức hay dùng là:

a² + b² = (a+b)² – 2ab

a³ + b³ = (a+b)³ -3ab(a+b)

(a²)² + (b²)² = (a²+b²)² – 2a²b²

Ví dụ 5

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 5

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 5

Ví dụ 6

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 6

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 6

Ví dụ 7

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 7

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 7

Ví dụ 8

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 8

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 8

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức

Phân tích: Định lý Vi-et vẫn có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thức. Tất nhiên ở đây ta hiểu là dùng nó để biến đổi trung gian.

Để có thể sử dụng định lý Vi-et, thông thường các dữ kiện của bài toán thường đưa về được
dưới dạng tổng và tích các ẩn. Quá trình chứng minh ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, bất đẳng thức cổ điển, các phép biến đổi tương đương…

Ví dụ 9:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 9

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 9

Ví dụ 10:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 10

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 10

Ví dụ 11:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 11

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 11

Ví dụ 12:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 12

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 12

Ví dụ 13:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 13

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 13

Xem thêm: Giải bài tập Chương 6: Dung Dịch – Hóa 8-Sách Toán-Học toán

Dạng 4: Ứng dụng vào bài toán tính cực trị của hàm số

Phân tích: Đây là dạng bài tập phổ biến trong các đề thi Đại học, cao đẳng những năm gần đây. Điều quan trọng ở trong dạng bài tập này là học trò làm sao biểu diễn được tọa độ điểm cực trị một cách gọn gàng và nhanh chóng nhất. Để làm được điều đó, học sinh phải biết tọa độ các điểm cực trị nghiệm đúng phương trình nào?

Để tiện trong việc giải các bài tập về cực trị, ta cần lưu ý các kiến thức liên quan đến: Định lý Phec-ma

Dạng 5: Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến

Phân tích: Bài tập về tiếp tuyến thường liên quan tới các điều kiện tiếp xúc của đường cong và đường thẳng. Cần làm cho học sinh thấy rõ tọa độ điểm tiếp xúc thường là nghiệm của một phương trình nào đó mà ta có thể đưa về bậc hai để sử dụng định lý Vi-et. Các kỹ thuật về nhẩm nghiệm cần được sử dụng tốt ở dạng bài tập này.

Ví dụ 14:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 14

Ứng dụng định lý Viet – ví dụ 14

Ví dụ 15:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 15

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 15

Ví dụ 16:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 16

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 16

Dạng 6: Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm.

Phân tích: Đây cũng là dạng bài tập hay gặp trong các kỳ thi tuyển sinh. Công việc đầu tiên học sinh cần làm là viết phương trình hoành độ giao điểm. Từ phương trình đó, sử dụng định lý Viet để biểu diễn các biểu thức đề bài yêu cầu qua hệ số của phương trình. Cuối cùng là đánh giá biểu thức đó thông qua các hệ số vừa thay vào.

Ví dụ 17:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 17

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 17

Ví dụ 18:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 18

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 18

Xem thêm: WEEKEND

Dạng 7: Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi

Hệ thức truy hồi

Hệ thức truy hồi

Việc ứng dụng hệ thức truy hồi trên giúp ta giải quyết được nhiều dạng bài tập thú vị. Ta hãy theo dõi qua các ví dụ sau!

Ví dụ 19:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 19

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 19

Ví dụ 20:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 20

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 20

Ví dụ 21:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 21

Ứng dụng định lý Viet – ví dụ 21

Dạng 8: So sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với 1 số

Phân tích: Từ năm học 2006-2007 trở đi , bài toán định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực bất kỳ không còn được trình bày trong chương trình chính khóa. Đây là ý tưởng giảm tải của Bộ giáo dục và đào tạo.

Tuy nhiên qua quá trình giảng dạy và cho học sinh làm bài tập, tôi thấy nhiều bài toán nếu biết sử dụng định lý đảo và bài toán so sánh nghiệm thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn nhiều. Định lý đảo về dấu được phát biểu như sau:

Định lý đảo về dấu

Định lý đảo về dấu

Ví dụ 22:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 22

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 22

Ví dụ 23:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 23

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 23

Định lý Viet bậc 3

Nếu phương trình bậc ba: (a≠0) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì:

Định lý Viet bậc 3

Định lý Viet bậc 3

Trong đó:

  • Với x là ẩn số; x1 x2 x3 là nghiệm của phương trình
  • a, b, c, d là các số đã biết sao cho a≠0; a, b, c, d là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x
  • a là hệ số bậc ba
  • b là hệ số bậc hai
  • c là hệ số bậc một
  • d là hằng số hay số hạng tự do

Định lý Viet bậc 4

Nếu phương trình bậc ba: (a≠0) có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thì:

Định lý Viet bậc 4

Định lý Viet bậc 4

Trong đó:

  • Với x là ẩn số; x1 x2 x3 x4 là nghiệm của phương trình
  • a, b, c, d, e là các số đã biết sao cho a≠0; a, b, c, d, e là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x
  • a là hệ số bậc bốn
  • b là hệ số bậc ba
  • c là hệ số bậc hai
  • d là hệ số bậc một
  • e là hằng số hay số hạng tự do

Định lý Viet tổng quát

Định lý

Định lý Viet tổng quát

Định lý Viet tổng quát

Ngược lại nếu có các số x1 ;x2 ;…xn thỏa mãn hệ (I) thì chúng là nghiệm của phương trình (1)

Ứng dụng

Ứng dụng giải hệ phương trình

Phân tích : Thông thường các hệ thường gặp ở dạng đối xứng. Khi đó ta tìm cách biểu diễn các phương trình trong hệ qua các biểu thức đối xứng sơ cấp đó là : x+y+z ; xy+yz+zx ; xyz (đối với hệ 3 ẩn). Ta cần sử dụng các hằng đẳng đối xứng:

a² + b² = (a+b)² – 2ab

a³ + b³ = (a+b)³ -3ab(a+b)

để biến đổi hệ, sau đó sử dụng định lý Vi-et đảo để đưa về phương trình đa thức và giải phương trình đó. Cuối cùng nghiệm của hệ chính là các bộ số hoán vị các nghiệm.

Ví dụ 24:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 24

Ứng dụng định lý Viet – ví dụ 24

Ví dụ 25:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 25

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 25

Xem thêm: Tìm phát biểu đúng:Tính axit của phenol yếu hơn của ancol Cao su thiên nhiên là sản phẩm trùng hợp của isopren Các chất ?

Ứng dụng tính các biểu thức lượng giác

Phân tích: Đây là dạng bài tập hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi tỉnh. Ở dạng bài tập này, học sinh cần chỉ ra được các số hạng trong biểu thức chính là nghiệm của phương trình đại số nào.

Sau khi chỉ ra được rồi, cần sử dụng định lý Viet để kết nối các mối quan hệ giữa các số hạng đó. Học sinh cần thuần thục trong các biểu diễn lượng giác, đặc biệt là các công thức về góc nhân.

Tìm hiểu thêm các công thức lượng giác tại đây:

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC!

Ví dụ 26:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 26

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 26

Ví dụ 27:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 27

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 27

Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức

Phân tích: Khi cần chứng minh các bất đẳng thức giữa các hệ số của phương trình, ta cần biến đổi chúng về các tỉ số thích hợp, thông thường là bằng cách chia cho hệ số chứa xn để có thể sử dụng được định lý Vi-et. Việc chứng minh bất đẳng thức về hệ số chuyển sang chứng minh bất đẳng thức giữa các nghiệm.

Do định lý Viet phải biểu theo các biểu thức đối xứng, nên cuối cùng bất đẳng thức thu được cũng thường đối xứng. Đây là một điều thuận lợi, vì bất đẳng thức đối xứng thường dễ chứng minh hơn.

Ví dụ 28:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 28

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 28

Ví dụ 29:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 29

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 29

Ví dụ 30:

Ứng dụng định lý Vi-et - ví dụ 30

Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 30

Bài viết có sử dụng nguồn: THPT Phan Bội Châu – Bình Dương

Bài viết tham khảo:

Tổng hợp kiến thức về định lý Talet!

Bài viết tham khảo:

Tổng hợp kiến thức về định lý Pytago!

Bài viết tham khảo:

Tổng hợp kiến thức về định lý hàm Cosin!

Bài viết tham khảo:

Tổng hợp kiến thức về định lý Ceva!

Bài viết tham khảo:

Tổng hợp kiến thức về định lý Menelaus

Chuyên mục tham khảo:

Toán học

Website liên kết:

KHS247

Nếu các bạn có bất cứ thắc mắc hay cần tư vấn về thiết bị dịch vụ vui lòng comment phía dưới hoặc

Liên hệ

chúng tôi!

Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!

Youtobe

Facebook

Twitter

Share

Tweet

Share

Pin it

Leave a Reply

Hủy

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button