Kiến thức

Giá trị lượng giác của một cung, lý thuyết và bài tập-Đại số 10 chương 6 bài 2

Bạn đang xem: Giá trị lượng giác của một cung, lý thuyết và bài tập-Đại số 10 chương 6 bài 2

Giá trị lượng giác của một cung, lý thuyết và bài tập – Đại số 10 chương 6 bài 2

11:09:2610/03/2021

Bài học trước các em đã được tìm hiểu về cung và góc lượng giác, số đo của cùng và góc lượng giác, quan hệ giữa độ và rađian và bảng chuyển đổi giữa hai đơn vị này.

Bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về giá trị lượng giác của cung α? các công thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. Vận dụng lý thuyết giải một số bài tập cơ bản.

A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của một cung

I. Giá trị lượng giác của cung α.giá trị lượng giác của một cung1. Định nghĩa

• Trên đường tròn lượng giác cung  có số đo sđ  thì:

– Tung độ của M gọi là sin của α ký hiệu sinα: 

– Hoành độ của M gọi là cosin của α ký hiệu cosα: 

– Nếu cosα ≠ 0, ta gọi là tang của α, ký hiệu tanα là tỉ số: 

– Nếu sinα ≠ 0, ta gọi là cotang của α, ký hiệu cotα là tỉ số: 

⇒ Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α.

> Lưu ý: vì sđ = sđ nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác α cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác α.

2. Hệ quả

a) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R, hơn nữa, ta có:

 sin(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ Z;

 cos(α + k2π) = cosα, ∀k ∈ Z;

b) Vì  nên:

 

 

c) tanα xác định với mọi   

 cotα xác định với mọi 

 

 

d) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

bảng xác định dấu của các giá trị lượng giáce) Bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt

bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt

II. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1. Công thức lượng giác cơ bản

– Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:

 

 

 

2. Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau: α và -α

 cos(-α) = cosα

 sin(-α) = -sinα

 tan(-α) = -tanα

 cot(-α) = -cotα

b) Cung bù nhau: α và π-α

 sin(π-α) = sinα

 cos(π-α) = -cosα

 tan(π-α) = -tanα

 cot(π-α) = -cotα.

c) Cung hơn kém nhau π: α và α+π

 sin(α+π) = -sinα

 cos(α+π) = -cosα

 tan(α+π) = tanα

 cot(α+π) = cotα.

d) Cung phụ nhau π: α và π/2 – α

 

 

 

 

> Gợi ý cách ghi nhớ: 

– Chúng ta thấy: Trong cung đối chỉ hàm cos có dấu dươngcung bù chỉ hàm sin có dấu dương, cung phụ tất cả dương nhưng chéo sin-cos tan-cot; hơn kém nhau pi thì tan và cot dương; nên cách nhớ như sau:  cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi (π) tan (Cot)

B. Bài tập vận dụng Giá trị lượng giác của một cung

Bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10: Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?

a) -0,7;         b) 4/3;          c) –√2         d) (√5)/2;

* Lời giải:

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.

a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sinα = -0,7.

+ Cách dựng:

 Trên trục tung xác định kiểm K sao cho Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

 Khi đó với α = sđ hoặc α = sđ khi đó, theo định nghĩa 

lời giải bài 1 trang 148 sgk đại số 10

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sinα = 4/3.

c) Vì (-√2) < -1 nên không tồn tại α để sinα = -√2.

d) Vì (√5)/2 > 1 nên không tồn tại α để sinα = √5/2.

Bài 2 trang 148 SGK Đại Số 10: Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không?

a)  và 

b)  và 

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3

* Lời giải:

– Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1, ∀α ∈ R.

a)  và 

– Ta có: 

Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để  và 

b)  và 

– Ta có: 

Do đó TỒN TẠI α ∈ R để  và 

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3

– Ta có: 0,72 + 0,32 = 0,49 + 0,09 = 0,58 ≠ 1

Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để sinα = 0,7 và cosα = 0,3

Bài 3 trang 148 SGK Đại Số 10: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác.

a) sin(α – π)          b) 

c)           d) 

* Lời giải:

– Vì 0 < α < π/2 (góc phần tư thứ I) nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

• Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin(α – π) = -sin(π – α) (áp dụng công thức sin(-α) = -sinα)

= -sinα (áp dụng công thức sin (π – α) = sinα).

 b) =-sinα

(áp dụng công thức cos(π + α)=-cosα và công thức cos(π/2 – α) = sinα)

Mà sinα > 0 nên suy ra <0

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

d)  

(áp dụng công thức  và công thức tan(-α) = -tan α).

Mà  tanα > 0 nên <0

* Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác. Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ  như trên hình vẽ.

lời giải bài 3 trang 148 sgk đại số 10

a) α – π = sđ nên suy ra  

Các em làm tương tự các câu còn lại.

Bài 4 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

a)  và 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải:

a)  và 

– Áp dụng công thức: sin2α + cos2α = 1

  

Mà 0<α<π/2 nên sinα > 0 nên 

+ Ta có:  

+ Ta có: 

b) Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1

Tính tương tự câu a)

c) Vận dụng công thức: 

d) Vận dụng công thức: 

Bài 5 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính α, biết

a) cosα = 1;          b) cosα = -1;          c) cosα = 0

d) sinα = 1;         e) sinα = -1;          f) sinα = 0

* Lời giải:

– Dựa vào đường tròn lượng giác:

lời giải bài 5 trang 148 sgk đại số 10a) cosα = 1 ⇔ M≡A ⇔ α = k2π, k ∈ Z.

b) cosα = -1 ⇔ M≡A’ ⇔ α = π + k2π = (2k + 1)π, k ∈ Z.

c) cosα = 0 ⇔ M≡B hoặc M≡B’ ⇔ α = π/2 + m2π hoặc α = -π/2 + n2π 

 ⇔ α = π/2 + kπ, k ∈ Z.

d) sinα = 1 ⇔ M≡B ⇔ α = π/2 + k2π, k ∈ Z.

e) sinα = -1 ⇔ M≡B’ ⇔ α = -π/2 + k2π = (2k+1)π, k ∈ Z.

f) sinα = 0 ⇔ M≡A hoặc M≡A’ ⇔ α = m2π hoặc α = (2n + 1)π 

 ⇔ α = kπ, k ∈ Z.

Tóm lại, với bài viết về Giá trị lượng giác của một cung các em có rất nhiều nội dung cần phải ghi nhớ, đó là các công thức lượng giác cơ bản; giá trị lượng giác của các cung đặc biệt (cung đối nhau, cung bù, cung phụ, cung hơn kém pi,..).

Tags

  • Toán 10 đại số

  • Đại số 10 chương 6 bài 2

  • Giá trị lượng giác của một cung

  • Đại số 10 chương 6 bài 1

  • Đại số 10 chương 6 bài 3

  • Công thức lượng giác cơ bản

  • Công thức cung lượng giác đặc biệt

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button