Kiến thức

Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB-Sách Toán

Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB

Đăng ngày: 12/06/2017 Biên tập:

Bạn đang xem: Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB-Sách Toán

Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB

———–


Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) (y = 4 + 3x – x^2).

b) (y =frac{1}{3} x^3 + 3x^2 – 7x – 2).

c) (y = x^4 – 2x^2 + 3).

d) (y = -x^3 + x^2 – 5).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Phương pháp giải:

Với bài toán xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ta thực hiện bốn bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm (f'(x)=0). Tìm các điểm (x_i) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bên cạnh đó các em cần ôn lại các định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đã học ở lớp 10 để xét dấu đạo hàm của các hàm số một cách chính xác nhất.

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 1 như sau:

Câu a: 

Xét hàm số (y = 4 + 3x – x^2)

Tập xác định: (D=mathbb{R};)
(y’ = 3 – 2x Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 3-2x=0Leftrightarrow x = frac{3}{2}).

Với (x=frac{3}{2}Rightarrow y=frac{25}{4})

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng ((-infty); (frac{3}{2})) và nghịch biến trên khoảng ((frac{3}{2}); (+infty)).

Câu b: 

Xét hàm số (y =frac{1}{3} x^3 + 3x^2 – 7x – 2)

Tập xác định: (D=mathbb{R};)

(y’ = {x^2} + 6x – 7 Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 1\ x = – 7 end{array} right..)

Với (x=-7 Rightarrow y=frac{239}{3})

Với (x=1 Rightarrow y=-frac{17}{3})

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng ((-infty) ; -7), (1 ; (+infty)) và nghịch biến trên khoảng (-7;1).

Câu c: 

Xét hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 3)

Tập xác định: (D=mathbb{R};)

(begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4x = 4x({x^2} – 1)\ y’ = 0 Leftrightarrow 4x({x^2} – 1) Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 0\ x = 1 end{array} right. end{array})

Với x=-1 ta có y=2.

Với x=0 ta có y=0.

Với x=1 ta có y=2.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng ((-1 ; 0), (1 ; +infty)); nghịch biến trên các khoảng ((-infty; -1), (0 ; 1)).

Câu d: 

Xét hàm số (y = -x^3 + x^2 – 5)

Tập xác định: (D=mathbb{R};)
(begin{array}{l} y’ = – 3{x^2} + 2x\ y’ = 0 Leftrightarrow – 3{x^2} + 2x Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = frac{2}{3} end{array} right. end{array})

Với (x=0Rightarrow y=-5.)

Với (x=frac{2}{3}Rightarrow -frac{131}{27}.)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (( 0 ; frac{2}{3} )) và nghịch biến trên các khoảng ((-infty; 0), ( frac{2}{3}; +infty).)

Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) (y=frac{3x+1}{1-x}) ; b) (y=frac{x^{2}-2x}{1-x}) ;

c) (y=sqrt{x^{2}-x-20}) ; d) (y=frac{2x}{x^{2}-9}).

Xem thêm: Toán 9 Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Phương pháp giải:

Với bài toán tìm khoản đơn điệu của hàm số, ta giải theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm (f'(x)=0). Tìm các điểm (x_i) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a: 

Xét hàm số  (y=frac{3x+1}{1-x})

Tập xác định:(D = mathbb{R} setminus left { 1 right }) .
(y’=frac{4}{(1-x)^{2}}> 0, forall x neq 1).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng: (( -infty; 1), (1 ; +infty)).

Nhận xét: Xét hàm số phân thức bậc nhât trên bậc nhất (Hàm nhất biến) (y=frac{ax+b}{cx+d}left ( ad-bc ne 0,cne0 right )):

  • Hàm số luôn luôn đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng (left( { – infty ; – frac{d}{c}} right)) và (left( {-frac{d}{c}; + infty } right).)
  • Công thức tính nhanh đạo hàm (y’ = frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}.)

Câu b: 

Xét hàm số (y=frac{x^{2}-2x}{1-x}).

Tập xác định: (D = mathbb{R} setminus left { 1 right }).
(y’=frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0, forall x neq 1) .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng: ((-infty ; 1), (1 ; +infty)).

Câu c: 

Xét hàm số (y=sqrt{x^{2}-x-20})

Tập xác định: D = ((-infty);-4] ∪ [5 ;(+infty)).

(y’=frac{2x-1}{2sqrt{x^{2}-x-20}}, forall x in (-infty ; -4) cup (5 ; +infty)).

Bảng biến thiên:


Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty ; -4)) và đồng biến trên khoảng ((5 ; +infty)).

Câu d: 

Xét hàm số (y=frac{2x}{x^{2}-9})

Tập xác định : (D = mathbb{R} setminus left { -3 ; 3 right }).

(y’=frac{-2(x^{2}+9)}{left (x^{2}-9 right )^{2}} < 0, forall x in D.)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng : ((-infty ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +infty)).

Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=frac{x}{x^{2}+1}) đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng ((-infty; -1)) và ((1 ; +infty)).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Xem thêm: tìm m để hàm số y=1/3x^3-mx^2+(2m-1)x-m+2 nghịch biến (-2;0) – DocumenTV

Phương pháp giải:

Với bài toán khảo sát tính đơn điệu của hàm số y=f(x) ta thực hiện các bước sau: Tìm tập xác định của hàm số, tính đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x)=0, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Xét hàm số (y=frac{x}{x^{2}+1})

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)
(y’ = left( {frac{x}{{{x^2} + 1}}} right)’ = frac{{x'({x^2} + 1) – ({x^2} + 1)’x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}})

(= frac{{{x^2} + 1 – 2{x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = frac{{1 – {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}.)

(y’ = 0 Leftrightarrow frac{{1 – {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} Leftrightarrow 1 – {x^2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 1 end{array} right.)

Với (x=-1Rightarrow y=-frac{1}{2}).

Với (x=1Rightarrow y=frac{1}{2})

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng ((-1; 1)); nghịch biến trên các khoảng ((-infty; -1), (1; +infty).)

Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=sqrt{2x-x^{2}}) đồng biến trên khoảng ((0 ; 1)) và nghịch biến trên các khoảng ((1 ; 2)).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Phương pháp giải:

Bài 4 một bài toán khảo sát tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức, để giải bài ta cũng thực hiên qua 4 bước:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm (f'(x)=0). Tìm các điểm (x_i) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Sau khi khảo sát xong tính đơn điệu của hàm số ta sẽ có được điều phải chứng minh theo yêu cầu của bài 4.

Xem thêm: CÂN BẰNG PHẢN ỨNG OXI HÓA-KHỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ION-…

Lời giải:

Xét hàm số (y=sqrt{2x-x^{2}})

Tập xác định:  (D = left [ 0 ; 2 right ];)

(y’ = frac{{2 – 2x}}{{2sqrt {2x – {x^2}} }} = frac{{1 – x}}{{sqrt {2x – {x^2}} }})

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 1.)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2).

Vậy ta có điều phải chứng minh.
=====

Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)  (tan x > x (0 < x <frac{pi }{2} ))

b) (tan x > x +frac{x^3}{3} (0 < x < frac{pi }{2}))

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Phương pháp giải:

Với dạng bài tập ở bài 5 chứng minh (g(x)>h(x)) với x thuộc một miền cho trước ta thường tiến hành như sau:

Bước 1: (g(x)>h(x)Leftrightarrow g(x)-h(x)>0.)

Bước 2: Đặt (f(x)=h(x)-g(x)), khảo sát tính đơn điệu của hàm số (f(x)).

Bước 3: Tìm x để (f(x)=0) (thường là hai đầu mút của miền đang xét).

Bước 4: Từ tính đơn điệu của hàm số (f(x)) đưa ra kết luận cho bài toán.

Lời giải:

Ta áp dụng các bước trên để giải câu a, b bài 5:

Câu a:

Để chứng minh (tanx >x) với mọi (0<x<frac{pi}{2}) ta chứng minh:

(tanx-x>0) với mọi (0<x<frac{pi}{2}).

Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và (x=frac{pi}{2}.)

Dễ thấy: (tan(0)-0=0.)

Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết như sau:

Xét hàm số f(x)= tanx–x liên tục trên nửa khoảng (left [0;frac{pi}{2} right ))

(f'(x) = frac{1}{{{{cos }^2}x}} – 1={tan^2}x > 0) với mọi (xinleft ( 0;frac{pi}{2} right )).

(f'(x)=0Leftrightarrow x=0.)

Bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số đồng biến trên (left [0;frac{pi}{2} right )).

Vậy với (0<x<frac{pi}{2}) ta có: (f(x)>f(0)=0 Rightarrow tan x>x) với mọi (xinleft ( 0;frac{pi}{2} right )).

Câu b:

Chứng minh (tan x > x +frac{x^3}{3} (0 < x < frac{pi }{2}))

Tương tự câu a.

Xét hàm số (g(x) = tan x – x – frac{{{x^3}}}{3}) liên tục trên (left[ {0;frac{pi }{2}} right)) có đạo hàm:

(g'(x) = frac{1}{{{{cos }^2}x}} – 1 – {x^2} = {tan ^2}x – {x^2})

(= (tanx – x)(tanx + x) > 0,,forall x in left( {0;frac{pi }{2}} right))  (Theo câu a)

(g'(x)=0Leftrightarrow x=0.)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên (left[ {0;frac{pi }{2}} right)).

Vậy với (0<x<frac{pi}{2}) ta có: (g(x)>g(0)=0 Rightarrow tan x>x+frac{x^3}{3}) với mọi (xinleft ( 0;frac{pi}{2} right )).

Nhận xét:

Với dạng bài tập chứng minh f(x)>0 với x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) và f(b) đề khác không, hoặc f(x) không xác định tại a và b. Thì f(x)=0 tại x0, với xlà nghiệm của phương trình f'(x)=0, ta không cần mở rộng khoảng đang xét.

— hết —-

<!– –>

Thuộc chủ đề:

Giải bài tập Toán 12

DON DIEU HAM SO

,

GBT giai tich 12 chuong 1

Bài liên quan:

  1. Gọi (S) là tập hợp các giá trị nguyên không âm của (m) để hàm số (y = frac{{ln x – 10}}{{ln x – m}}) đồng biến trên khoảng (left( {1;{e^3}} right)). Số phần tử của (S) bằng

  2. CASIO – TÍNH NHANH Đơn điệu hàm số

  3. Cho hàm số y =f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Hàm số (y=2 f(1-x)+sqrt{x^{2}+1}-x) nghịch biến trên khoảng nào:

  4. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số(f (x)=m^{2}left(frac{e^{5 x}}{5}-16 e^{x}right)+3 mleft(frac{e^{3 x}}{3}-4 e^{x}right)-14left(frac{e^{2 x}}{2}-2 e^{x}right)+2020) đồng biến trên (mathbb{R}) . Tổng của tất cả các phần tử thuộc S bằng:

  5. TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – Toán VD-VDC

  6. TỔNG ÔN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

  7. Phát triển câu 10 đề tốt nghiệp THPT 2020 – Đơn điệu hàm số

  8. Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

  9. Chuyên đề đơn điệu hàm số

  10. Giải bài tập ôn tập chương I – Giải Tích 12 CB

  11. Giải bài tập Cực trị của hàm số – giải tích 12 CB

  12. Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

  13. Giải bài tập Đường tiệm cận – giải tích 12 CB

  14. Giải bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số – giải tích 12 CB

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button