Kiến thức

Cách Giải Phương Trình Bậc 2. Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Trước mỗi chuyên đề mới, chúng tôi đều có những bài giảng và cung cấp kiến thức ôn tập cũng như củng cố kiến thức cho các em học sinh. Hôm nay, chúng ta sẽ đến với chuyên đề về Phương trình bậc hai, cách giải phương trình bậc 2. Cùng tìm câu trả lời cho những thông tin ấy bằng cách theo dõi nội dung dưới đây.

6 dạng toán giải phương trình bậc 2
6 dạng toán giải phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

Trong đó:  

  • x: là ẩn số 
  • a, b, c: là các số đã biết gắn với biến x sao cho: a ≠ 0.

Cách giải phương trình bậc 2

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 

Giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta Δ.

– Đặt Δ = b2 – 4ac

  • Nếu Δ < 0 thì phương trình bậc 2 vô nghiệm.
  • Nếu Δ = 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a. 
  • Nếu Δ > 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm x1, x2 như sau:

                          giai phuong trinh bac 2 2        và        giai phuong trinh bac 2 3

– Tính Δ’ = b2 – ac (b = 2b’)

  • Nếu Δ’ < 0 thì phương trình bậc 2 vô nghiệm.
  • Nếu Δ’ = 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm kép x1 = x2 = -b’/a. 
  • Nếu Δ’ > 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm x1, x2: 

                          giai phuong trinh bac 2 4      và      giai phuong trinh bac 2 5

 

Bảng công thức nghiệm phương trình bậc 2
Bảng công thức nghiệm phương trình bậc 2

Xem thêm: Trắc nghiệm Vật lý 7 bài 27: Thực hành: Đo cường độ dòng điện và hiệu điện thế đối với đoạn mạch nối tiếp

Định lý Vi-ét 

Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:

– Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c (a≠0) thì:

giai phuong trinh bac 2 7

– Ta có thể sử dụng định lý Vi-ét để tính các biểu thức của x1, x2 theo a,b,c như sau:

giai phuong trinh bac 2 8

giai phuong trinh bac 2 9

Định lý Vi-ét đảo:

giai phuong trinh bac 2 10

giai phuong trinh bac 2 11

giai phuong trinh bac 2 12

giai phuong trinh bac 2 13

– Nếu x1 + x2 = S = -b/a và x1.x2 = P = c/a thì x1, x2 là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 (điều kiện S2 – 4P ≥ 0)

Ví dụ giải phương trình bậc 2

Giải phương trình 4x2 – 2x – 6 = 0 (*)

Ta có: Δ = (-2)2 – 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (*) đã cho có 2 nghiệm phân biệt là: 

giai phuong trinh bac 2 14

Trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2

– Nếu phương trình bậc hai có: a + b + c = 0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì nghiệm của phương trình là: 

x1 = 1; x2 = c/a. 

– Nếu phương trình bậc hai có: a – b + c =0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì nghiệm phương trình là:

x1 = – 1; x2 = – c/a.

– Nếu ac < 0 (a, c trái dấu nhau) thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Một số dạng toán giải phương trình bậc 2 một ẩn 

Dạng 1: Sử dụng định lý để phương trình bậc 2

– Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc 2 đầy đủ.

+ Xác định phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c với a≠0.

+ Tính Δ, biện luận Δ. 

+ Suy ra nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) x2 – 5x + 4 = 0

Lời giải:

– Sử dụng công thức nghiệm ta có:

giai phuong trinh bac 2 15

Vì  giai phuong trinh bac 2 16

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

    giai phuong trinh bac 2 17     và    giai phuong trinh bac 2 18

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 4.  

Xem thêm: HL-CHEM C410: Hóa chất chống ăn mòn Chiller DAB-Máy bơm Nhập khẩu

Dạng 2: Quy về phương trình bậc 2

– Đây là dạng toán phương trình trùng phương, đưa phương trình bậc 4 về phương trình bậc 2.

– Phương pháp:

+ Đặt t = x2 (t ≥ 0), đưa về dạng phương trình bậc 2: at2 + bt + c = 0.

+ Giải phương trình bậc 2 theo t, kiểm tra t có thỏa mãn điều kiện (t ≥ 0) hay không. Sau đó suy ra nghiệm x của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau:

a) x4 – 3x2 + 2 = 0

Giải:

Ta có x4 – 3x2 + 2 = 0 (*)

– Đặt t = x2 (t ≥ 0), ta có (*) <=> t2 – 3t + 2 = 0

– Ta thấy a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0 => phương trình có nghiệm là t = 1 hoặc t = 2 (thỏa mãn điều kiện (t ≥ 0)).

– Với t = 1: x2 = 1 => x = + 1 hoặc x = -1.

– Với t = 2: x2 = 2 => x = √2 hoặc x = -√2.

Kết luận nghiệm của phương trình x = + 1 hoặc x = -1 và x = √2 hoặc x = -√2.

Dạng 3: Nhẩm nghiệm phương trình  bậc 2

– Nhẩm nghiệm của phương trình có dạng đặc biệt. 

+ Nếu phương trình bậc 2 có: a + b + c = 0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì nghiệm của phương trình là: 

x1 = 1; x2 = c/a. 

+ Nếu phương trình bậc 2 có: a – b + c =0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì nghiệm phương trình là:

x1 = – 1; x2 = – c/a.

Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau:

a) 3x2 – 4x + 1 = 0

Giải:

– Nhận thấy vì a + b + c = 3 + (-4) + 1 = 0 => phương trình có nghiệm là:

x = 1 và x = c/a = 1/3.

Lưu ý: Nếu gặp trường hợp có thể đưa về dạng hằng đẳng thức thì chúng ta giải nghiệm phương trình bậc 2 nhanh hơn. Chẳng hạn như phương trình 

x2 – 2x + 1 có a + b + c = 0 được đưa về dạng hằng đẳng thức là (x – 1)2 = 0 => x = 1.

Xem thêm: Giải Bài Tập Vật Lí 10-Bài 13 : Lực ma sát

Dạng 4: Xác định tham số m thỏa mãn điều kiện nghiệm số

– Đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 (với a≠ 0) kể cả với ẩn m.

– Dựa theo điều kiện có nghiệm, hay vô nghiệm hay có nghiệm kép để tìm điều kiện của Δ.

– Dựa theo điều kiện của Δ để rút ra điều kiện của ẩn m.

– Giải nghiệm phương trình chứa ẩn m như bình thường.

– Dựa theo điều kiện nghiệm số của đề bài để tính ẩn m. 

Ví dụ:

Cho phương trình 3x2 -2(m + 1)x + 3m – 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Giải:

– Ta có: 3x2 -2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*)

– Theo yêu cầu đề bài: để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia có nghĩa là phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ’ > 0 

<=> (m + 1)2 -3.(3m – 5) > 0

<=> m2 + 2m + 1 – 9m + 15  > 0

<=> m2 -7m + 16  > 0

<=> (m – 7/2)2 + 15/4 > 0

Ta thấy, Δ’ > 0 với mọi m R nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

– Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, khi đó theo định lý Vi-ét ta có:

                    giai phuong trinh bac 2 19    và   giai phuong trinh bac 2 20  (1)

– Theo đề bài phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia, nên không tính tổng quát khi giả sử x2 = 3.x1 thay vào (1)

giai phuong trinh bac 2 21giai phuong trinh bac 2 22

giai phuong trinh bac 2 23

giai phuong trinh bac 2 24

<=> m2 + 2m + 1 = 4(3m – 5)

<=> m2 -10m + 21 = 0

<=> m = 3 hoặc m = 7

+ TH1: Với m = 3, phương trình (*) trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm là x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ TH2: Với m = 7, phương trình (*) trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm là x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

Kết luận: m = 3 thì phương trình có 2 nghiệm là 2/3 và 2;  m = 7  thì phương trình có 2 nghiệm là 4/3 và 4.  

Dạng 5: Phân tích thành nhân tử

– Phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 mà khuyết hạng tử tự do, có nghĩa là c = 0. Khi đó phương trình có dạng ax2 + bx = 0.

– Lúc này ta phân tích vế trái thành nhân tử rồi tính x.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

7x2 – 4x = 0

Giải: 

7x2 – 4x = 0

<=> x(7x – 4) = 0

<=> x = 0 hoặc 7x – 4 = 0

<=> x = 0 hoặc x = 4/7.

 Dạng 6: Xác định dấu các nghiệm phương trình bậc 2

Phương pháp:

– Phương trình có hai nghiệm trái dấu <=>  giai phuong trinh bac 2 25

– Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: <=>  giai phuong trinh bac 2 26

– Phương trình có hai nghiệm dương: <=>  giai phuong trinh bac 2 27

– Phương trình có hai nghiệm âm: <=>    giai phuong trinh bac 2 28

Bài tập giải phương trình bậc 2 một ẩn

Giải bài tập phương trình bậc 2
Giải bài tập phương trình bậc 2

Bài 1: Giải các phương trình bậc 2 sau: 

a) 2x2 – 7x + 3 = 0

b) 3x2 + 2x + 5 = 0

c) x2 – 8x +16 = 0

d) 2x2 – 3x + 1 = 0

e) 3x2 + 5x + 2 = 0

Bài 2: Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0). 

Bài 3: Giải các phương trình bậc 2 sau:

a) x2 – 11x + 30 = 0

b) x2 – 16x + 84 = 0

c) x2 – 10x + 21 = 0

d) x2 + 2x – 8 = 0

e) x2 – 12x + 27 = 0

f) 5x2 + 8x + 4 = 0

g) 5x2 – 17x + 12 = 0

h) x2 – 2(√3 + √2)x + 4√6 = 0

j) 3x2 – 19x – 22 = 0

k) x2 – (1+√2)x + √2 = 0

l) 3x2 – 2√3x – 3 = 0

Bài 4: Cho phương trình bậc 2 ẩn x, tham số m: x2 + mx + m + 3 = 0

a) Giải phương trình với m = -2

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính x12 + x22 theo m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 9.

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = -3. Tính nghiệm còn lại.

f) Tìm m để phương trình có  hai nghiệm trái dấu.

 

Hãy sử dụng những phương pháp giải phương trình bậc 2 theo các dạng trên, các em sẽ dễ dàng giải quyết những bài toán khó và những bài toán thường xuất hiện trong đề thi. Nếu có câu hỏi về bài toán hãy để lại comment cho chúng tôi nhé, chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ các em.

This entry was posted in

Toán học

. Bookmark the

permalink

.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button