Kiến thức

Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức-CongThucLuongGiac

Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức

Tóm tắt bài viết

hiện

1. Kiến thức cần nhớ

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bạn đang xem: Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức-CongThucLuongGiac

1. Kiến thức cần nhớ

– Mô đun của số phức (z = a + bi) là (left| z right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} ge 0)

– Bất đẳng thức Cô-si: (x + y ge 2sqrt {xy} ) với (x,y > 0)

– Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2})

– Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: (left| {left| {{z_1}} right| – left| {{z_2}} right|} right| le left| {{z_1} pm {z_2}} right| le left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi số phức (z = x + yileft( {x,y in R} right)).

– Bước 2: Thay (z) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của (x,y).

– Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra (x,y Rightarrow z).

Ví dụ: Cho ({z_1};{z_2}) thỏa mãn (left| {{z_1} – {z_2}} right| = 1;left| {{z_1} + {z_2}} right| = 3.) Tính max(T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|.)

A. (8)

B. (10)

C. (4)

D. (sqrt {10} )

Giải

Đặt ({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.) (({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} in R)). Điều kiện đã cho trở thành

+) (left| {{z_1} – {z_2}} right| = 1)( Rightarrow left| {{x_1} + {y_1}i – {x_2} – {y_2}i} right| = 1 Leftrightarrow sqrt {{{({x_1} – {x_2})}^2} + {{({y_1} – {y_2})}^2}} = 1)

( Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 – 2{x_1}{x_2} – 2{y_1}{y_2} = 1) (1)

+) (left| {{z_1} + {z_2}} right| = 3 Rightarrow left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} right| = 3)

( Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được ({x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5)

+) (T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right| = sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} )

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

(T = 1.sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + 1.sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} le sqrt {left( {1 + 1} right).left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} right)} )

( = sqrt {2.5} = sqrt {10} Rightarrow ) (max T = sqrt {10} .)

Đáp án D.

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp

  • Đường thẳng
  • Đường tròn
  • Đường elip
  • Parabol

Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức (z = x + yi(x,y in R)) có điểm biểu diễn là (M(x,y)). Mô đun của số phức (z) là độ dài đoạn thẳng (OM) với (O) là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức (z = x + yi) thỏa mãn (left| {z – 2 – 4i} right| = left| {z – 2i} right|) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính (N = {x^2} + {y^2}.)

A. (N = 8)

B. (N = 10)

C. (N = 16)

D. (N = 26)

Giải

Gọi (M(x,y)) là điểm biểu diễn của số phức (z = x + yi)

+) (left| {z – 2 – 4i} right| = left| {z – 2i} right|)( Rightarrow {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {x^2} + {(y – 2)^2} Leftrightarrow – 4x + 4 – 8y + 16 = – 4y + 4)

( Leftrightarrow 4x + 4y = 16 Leftrightarrow x + y – 4 = 0)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của (z) là một đường thẳng (x + y – 4 = 0)

+) (N = {x^2} + {y^2} = {left| z right|^2})

( Rightarrow N)min( Leftrightarrow left| z right|)min( Leftrightarrow OM)min ( Rightarrow OM bot d:x + y – 4 = 0)

Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức

( Rightarrow M(2,2)) ( Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8)

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho (z) thỏa mãn (left| {z – 2 – 4i} right| = sqrt 5 .) Tìm max(left| z right|.)

A. (3sqrt 5 )

B. (5)

C. (sqrt 5 )

D. (sqrt {13} )

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có: (left| z right| – left| { – 2 – 4i} right| le left| {z – 2 – 4i} right| Leftrightarrow left| z right| – sqrt {20} le sqrt 5 Leftrightarrow left| z right| le sqrt {20} + sqrt 5 = 3sqrt 5 )

( Rightarrow ) max(left| z right| = 3sqrt 5 )

Đáp án A.

Author:

Cô Minh Anh

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button