Kiến thức

Cách xác định và phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Cách xác định và phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Mục lục bài viết
  1. Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

  2. Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

  3. Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

  4. Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài viết góc giữa 2 mặt phẳng bao gồm: cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng, tính góc giữa 2 mặt phẳng, công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian oxyz…

Bạn đang xem: Cách xác định và phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

TH1: Hai mặt phẳng left( P right),left( Q right) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng {0^0}.

TH2: Hai mặt phẳng left( P right),left( Q right) không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1:

+) Dựng hai đường thẳng n,p lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng left( P right)left( Q right).

+) Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng left( P right)left( Q right) là góc giữa hai đường thẳng n,p.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cách 2:

+) Xác định giao tuyến Delta của hai mặt phẳng left( P right),left( Q right).

+) Tìm một mặt phẳng left( R right) vuông góc Delta và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến a,b.

+) Góc giữa hai mặt phẳng left( P right),left( Q right) là góc giữa ab.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài toán: Cho hai mặt phẳng (α)(β) cắt nhau, tính góc giữa hai mặt phẳng (α)(β).

Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:

Phương pháp 1
Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng left( alpha right)left( beta right). Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng left( alpha right)left( beta right)left( {widehat {left( alpha right),left( beta right)}} right) = left( {widehat {a,b}} right). Tính góc left( {widehat {a,b}} right).

Phương pháp 2
+ Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng left( alpha right)left( beta right).
+ Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c. Khi đó: left( {widehat {left( alpha right),left( beta right)}} right) = left( {widehat {a,b}} right).

Góc giữa 2 mặt phẳng

Hiểu cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ left( gamma right) vuông góc với giao tuyến cleft( alpha right) cap left( gamma right) = a, left( beta right) cap left( gamma right) = b. Suy ra left( {widehat {left( alpha right),left( beta right)}} right) = left( {widehat {a,b}} right).

Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

Góc giữa 2 mặt phẳng

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A, Bleft( {A in left( alpha right), B in left( beta right)} right)AB bot left( beta right) thì qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H. Khi đó left( {widehat {left( alpha right),left( beta right)}} right) = widehat {AHB}.

Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy ABCD bằng aSA = SB = SC = SD = a. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng left( {SAB} right)left( {SAD} right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng

Gọi I là trung điểm SA. Do tam giác SADSAB đều nên:
left{ begin{array}{l} BI bot SA\ DI bot SA end{array} right.Rightarrow left( {widehat {left( {SAB} right),left( {SAD} right)}} right) = left( {widehat {BI,DI}} right).
Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:
cos widehat {BID} = frac{{I{B^2} + I{D^2} - B{D^2}}}{{2IB.ID}}= frac{{{{left( {frac{{sqrt 3 }}{2}a} right)}^2} + {{left( {frac{{sqrt 3 }}{2}a} right)}^2} - {{left( {asqrt 2 } right)}^2}}}{{2.frac{{sqrt 3 }}{2}a.frac{{sqrt 3 }}{2}a}}= - frac{1}{3}.
Vậy cos left( {widehat {left( {SAB} right),left( {SAD} right)}} right) = frac{1}{3}.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA vuông góc với left( {ABCD} right)SA = asqrt 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng left( {SBC} right)left( {SCD} right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng
ABCD là nửa lục giác đều nên AD = DC = CB = a.
Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với left( {SCD} right).
Trong mặt phẳng left( {ABCD} right) dựng AH bot CD tại HRightarrow CD bot left( {SAH} right).
Trong mặt phẳng left( {SAH} right) dựng AP bot SHRightarrow CD bot APRightarrow AP bot left( {SCD} right).
Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với left( {SBC} right).
Trong mặt phẳng left( {SAC} right) dựng AQ bot SC.
Lại có AQ bot BCleft{ begin{array}{l} BC bot AC\ BC bot SA end{array} right.Rightarrow BC bot left( {SAC} right)Rightarrow BC bot AQ.
Vậy AQ bot left( {SBC} right).

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng left( {SBC} right)left( {SCD} right) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là APAQ.
Ta tính góc widehat {PAQ}, có AH = sqrt {A{D^2} - H{D^2}}= sqrt {{a^2} - frac{{{a^2}}}{4}} = frac{{asqrt 3 }}{2}.
Rightarrow frac{1}{{A{P^2}}} = frac{1}{{A{S^2}}} + frac{1}{{A{H^2}}}Rightarrow AP = frac{{asqrt 3 }}{{sqrt 5 }}.
Tam giác SAC vuông cân tại ARightarrow AQ = frac{{SC}}{2} = frac{{asqrt 6 }}{2}.
Delta APQ vuông tại PRightarrow cos widehat {PAQ} = frac{{AP}}{{AQ}} = frac{{sqrt {10} }}{5}Rightarrow widehat {PAQ}= arccos frac{{sqrt {10} }}{5}.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA bot left( {ABC} right), SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng left( {SEF} right)left( {SBC} right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng
Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng left( {SEF} right)left( {SBC} right) là đường thẳng St đi qua S và song song với EFBC nên ta xác định hai đường thẳng qua S và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng left( {SEF} right)left( {SBC} right) và cùng vuông góc với St (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là SESB).

left{ begin{array}{l} EF subset left( {SEF} right)\ BC subset left( {SBC} right)\ EF {rm{//}} BC end{array} right.⇒ giao tuyến của left( {SEF} right)left( {SBC} right) là đường thẳng qua S, song song với BC, là St.

Ta có left{ begin{array}{l} BC bot AB\ BC bot SAleft( {vì SA bot left( {ABC} right)} right) end{array} right.Rightarrow BC bot left( {SAB} right)Rightarrow BC bot SB hay St bot SB.
Tương tự EF bot left( {SAE} right)Rightarrow EF bot SEEF {rm{//}} StRightarrow St bot SE.
Vậy SBSE cùng đi qua S và cùng vuông góc với St nên góc giữa hai mặt phẳng left( {SEF} right)left( {SBC} right) bằng góc giữa hai đường thẳng SBSE.
Ta tính góc widehat {BSE}.
SE = sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = frac{{asqrt 5 }}{2}; SB = sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = asqrt 2; BE = frac{a}{2}.
Theo định lí cosin ta có: cos widehat {BSE} = frac{{S{E^2} + S{B^2} - B{E^2}}}{{2.SE.SB}}= frac{3}{{sqrt {10} }}Rightarrow widehat {BSE} = arccos frac{3}{{sqrt {10} }}.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5 / 5 ( 1 bình chọn )

Bài viết cùng chuyên mục

  • Chuyên đề số chính phương

  • Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

  • Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

  • Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

  • Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

  • Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

  • Góc giữa 2 vecto trong không gian

  • Công thức Hê Rông (Heron) – Chứng minh và bài tập áp dụng

  • Dấu hiệu chia hết cho 2 3 5 9 4 8 25 125 11

  • Ước số là gì – Bội số là gì?

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button