Kiến thức

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN-Thư Viện 123

Bạn đang xem: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN-Thư Viện 123

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

1. Kiến thức cần nhớ

Công thức tích phân từng phần:

Ví dụ: Tính tích phân I=∫12lntdt.I = intlimits_1^2 {ln tdt} .

Giải: Đặt u=lntdv=dt⇒du=dttv=tleft{ begin{array}{l}u = ln t\dv = dtend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{{dt}}{t}\v = tend{array} right..

Khi đó

2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân  (trong đó là hàm số đa thức)

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt

– Bước 2: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ: Tính tích phân I=∫1exlnxdx.I = intlimits_1^e {xln x{rm{d}}x.}

Giải: Đặt u=lnxdv=xdx⇒du=dxxv=x22left{ begin{array}{l}u = ln x\dv = xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{{dx}}{x}\v = dfrac{{{x^2}}}{2}end{array} right.

Khi đó

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân . (trong đó là hàm số đa thức)

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt

– Bước 2: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ: Tính

Giải: Đặt u=2x+3dv=exdx⇒du=2dxv=exleft{ begin{array}{l}u = 2x + 3\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = 2dx\v = {e^x}end{array} right.

Khi đó I=2x+3ex01-∫012exdx =2x+3ex01-2ex01=3e-1.I = left. {left( {2x + 3} right){e^x}} right|_0^1 – intlimits_0^1 {2{e^x}dx}  = left. {left( {2x + 3} right){e^x}} right|_0^1 – left. {2{e^x}} right|_0^1 = 3e – 1.

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân hoặc . (trong đó là hàm số đa thức)

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt hoặc

– Bước 2: Tính tích phân theo công thức hoặc

Ví dụ: Tính tích phân I=∫0π4xsin2xdxI = intlimits_0^{dfrac{pi }{4}} {xsin 2x{rm{d}}x}

Giải: Đặt u=xdv=sin2xdx⇒du=dxv= -cos2x2.left{ begin{array}{l}u = x\dv = sin 2xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dx\v =  – dfrac{{cos 2x}}{2}end{array} right..

Khi đó

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân hoặc .

– Bước 1: Đặt   hoặc

– Bước 2: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ: Tính K=∫0π excos2xdxK = intlimits_0^pi  {{e^x}cos 2x{rm{d}}x}

Giải: Đặt u=cos2xdv=exdx⇒du= -2sin2xdxv=exleft{ begin{array}{l}u = cos 2x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du =  – 2sin 2xdx\v = {e^x}end{array} right.

Suy ra

Tính M=∫0π exsin2xdxM = intlimits_0^pi  {{e^x}sin 2xdx}

Ta đặt u1=sin2xdv1=exdx⇒du1=2cos2xv1=exleft{ begin{array}{l}{u_1} = sin 2x\d{v_1} = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}d{u_1} = 2cos 2x\{v_1} = {e^x}end{array} right.

Suy ra

Khi đó K=eπ-1+2-2K⇔5K=eπ-1⇔K=eπ-15K = {e^pi } – 1 + 2left( { – 2K} right) Leftrightarrow 5K = {e^pi } – 1 Leftrightarrow K = dfrac{{{e^pi } – 1}}{5}

– Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.

– Ở bước 1, ta cũng có thể đặt   hoặc

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button