Kiến thức

Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Mục lục bài viết
  1. Lý thuyết hàm số liên tục

    1. Hàm số liên tục là gì?

    2. Các định lý về hàm số liên tục

    3. Hàm số liên tục tại một điểm

    4. Hàm số liên tục trên một khoảng

    5. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]

    6. Hàm số đa thức liên tục trên mathbb{R}.

    7. Giả sử y = f(x),,, y = g(x) liên tục tại điểm x_0.

    8. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c in (a; b):,, f(c) = 0.

  2. Một số dạng toán về hàm số liên tục

    1. Xét tính liên tục của hàm số.

      1. Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm

      2. Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên tập xác định của nó

    2. Chứng minh phương trình có nghiệm

  3. Ví dụ bài tập hàm số liên tục có lời giải

Bài viết hàm số liên tục bao gồm: định lý và định nghĩa về hàm số liên tục, xét tính liên tục của hàm số, bài tập hàm số liên tục có lời giải, hàm số liên tục trên khoảng, hàm số liên tục tại 1 điểm…

Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Lý thuyết hàm số liên tục

Bạn đang xem: Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Hàm số liên tục là gì?

Định nghĩa 1: Cho hàm số y = fleft( x right) xác định trên khoảng left( {a;b} right). Hàm số y = fleft( x right) được gọi là liên tục tại {x_0} nếu mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = fleft( {{x_0}} right).
Hàm số y = fleft( x right) không liên tục tại {x_0} được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Chú ý: Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt chú ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.

Định nghĩa 2: Hàm số y = fleft( x right) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = fleft( x right) được gọi là liên tục trên một đoạn left[ {a;b} right] nếu nó liên tục trên khoảng left( {a;b} right)mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} fleft( x right) = fleft( a right),mathop {lim }limits_{x to {b^ - }} fleft( x right) = fleft( b right).

Chú ý: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Các định lý về hàm số liên tục

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).

Định lý 2:

a) Hàm đa thức liên tục trên R.

b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

c) Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lý 3: Nếu hàm số y = fleft( x right) lên tục trên đoạn left[ {a;b} right]fleft( a right).fleft( b right) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c in left( {a;b} right) sao cho fleft( c right) = 0.

Chú ý: Nếu y = fleft( x right) liên tục trên đoạn left[ {a;b} right]fleft( a right).fleft( b right) < 0 thì phương trình fleft( x right) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng left( {a;b} right).

Xem thêm: Ba định luật newton (hay và đầy đủ)

Hàm số liên tục tại một điểm

y = f(x) liên tục tại x_0 iff  mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = f({x_0})
– Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x_0 ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tính   f(x_0).
Bước 2: Tính mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x), mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } f(x))
Bước 3: So sánh mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) với f(x_0) và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.

Hàm số liên tục trên một khoảng

y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]

y = f(x) liên tục trên (a; b)mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} f(x) = f(a),,,,mathop {lim }limits_{x to {b^ - }} f(x) = f(b).

Xem thêm: A closer look 2-Unit 12-Tiếng anh 8 thí điểm

Hàm số đa thức liên tục trên mathbb{R}.

Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Giả sử y = f(x),,, y = g(x) liên tục tại điểm x_0.

Khi đó:
– Các hàm số y = f(x) + g(x),,, y = f(x) - g(x),,, \y = f(x).g(x) liên tục tại x_0.
– Hàm số y = frac{{f(x)}}{{g(x)}} liên tục tại x_0 nếu g(x_0) ne 0.

Xem thêm: Dạng bài tập tính pH dung dịch

Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c in (a; b):,, f(c) = 0.

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm  cin (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = mathop {min }limits_{left[ {a;b} right]} f(x)M = mathop {max }limits_{left[ {a;b} right]} f(x). Khi đó với mọi T in (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c in (a; b): f(c) = T.

Một số dạng toán về hàm số liên tục

Xét tính liên tục của hàm số.

Bước 1: Tính fleft( {{x_0}} right)mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)
Bước 2: So sánh và kết luận.

+) Nếu mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = fleft( {{x_0}} right) thì hàm số liên tục tại {x_0}.
+) Nếu mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) không tồn tại hoặc mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) ne fleft( {{x_0}} right) thì kết luận hàm số không liên tục tại {x_0}.

Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm

Dạng 1: f(x) = left{ begin{array}{l} h(x,m) & text{nếu},,x ne {x_0}\ g(x,m) & text{nếu},,x = {x_0} end{array} right.,,,,,text{tại},,x = {x_0}
Phương pháp:
Bước 1: Tính   f(x_0).
Bước 2: Tính mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x).
Bước 3: So sánh mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) với f(x_0) và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &text{nếu},,x ne 1,,,,,,\ - 3& &text{nếu},,x = 1 end{array} right.,,\text{tại},,x = 1
Hướng dẫn giải:
f(1) =  - 3
mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)}} \= mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{5x - 2}}{{x - 2}} =  - 3
Do: mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = f(1) =  - 3 nên hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1

Dạng 2: f(x) = left{ begin{array}{l} h(x,m)& &text{nếu},,x ge {x_0}\ g(x,m)& &text{nếu},,x < {x_0} end{array} right.,,,,,\text{tại},,x = {x_0} hoặc f(x) = left{ begin{array}{l} h(x,m)& &text{nếu},,x > {x_0}\ g(x,m)& &text{nếu},,x le {x_0} end{array} right.,,,,,\text{tại},,x = {x_0}
Phương pháp:
Bước 1: Tính   f(x_0).
Bước 2: Tính mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x), mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x).
Bước 3: So sánh mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x), mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x) với f(x_0) và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &text{nếu},x > 1,,,,,,\ 1& &text{nếu},,x le 1 end{array} right.,,\text{tại},,x = 1
Hướng dẫn giải:
f(1) = 1
mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} \= mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)left( {x + 2} right)}} = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1
mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} 1 = 1
Do: mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = f(1) =  - 3 nên hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1

Dạng 3:f(x) = left{ begin{array}{l} h(x,m)& &text{nếu},,x ge {x_0}\ g(x,m)& &text{nếu},,x < {x_0} end{array} right. hoặc f(x) = left{ begin{array}{l} h(x,m)& &text{nếu},,x > {x_0}\ g(x,m)& &text{nếu},,x le {x_0} end{array} right.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Khi x ne {x_0}. Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên các khoàng.
Bước 3: Khi x = {x_0}.
– Tính   f(x_0).
– Tính mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x), mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x).
– So sánh mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x), mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x) với f(x_0) và rút ra kết luận tại điểm {x_0}.
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &text{nếu},,x > 1,,,,,,\ 3& &text{nếu},,x le 1 end{array} right.
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: D = mathbb{R}.
– Nếu x > 1, thì hàm số f(x) = frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right).
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng left( {1; + infty } right).
– Nếu x < 1, thì hàm số f(x) = 1.
Đây là hàm đa thức có tập xác định là mathbb{R}.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng left( { - infty ;1} right).
– Nếu x = 1
f(1) = 3
mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} \= mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to 1} (5x - 2) = 3
mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} 3 = 3
Do: mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = f(1) = 3 nên hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1
– Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên mathbb{R}.

Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên tập xác định của nó

Dạng 1: f(x) = left{ begin{array}{l} h(x,m)& &text{nếu},,x ne {x_0}\ g(x,m)& &text{nếu},,x = {x_0} end{array} right.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Khi x ne {x_0}. Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) tại x ne {x_0}.
Bước 3: Khi x = {x_0}.
– Tính   f(x_0).
– Tính mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x).
– So sánh mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) với f(x_0) và rút ra kết luận tại điểm x_0.
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &text{nếu},,x ne 1,,,,,,\ 3& &text{nếu},,x = 1 end{array} right.
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: D = mathbb{R}
– Nếu x ne 1, thì hàm số f(x) = frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right).
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  left( { - infty ;1} right)left( {1; + infty } right)
– Nếu x = 1
f(1) =  - 3
mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} \= mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{x - 1}} = mathop {lim }limits_{x to 1} (5x - 2) = 3
Do: mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = f(1) = 3 nên hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1
– Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên mathbb{R}.

Dạng 2:f(x) = left{ begin{array}{l} h(x,m)& &text{nếu},,x ge {x_0}\ g(x,m)& &text{nếu},,x < {x_0} end{array} right. hoặc f(x) = left{ begin{array}{l} h(x,m)& &text{nếu},,x > {x_0}\ g(x,m)& &text{nếu},,x le {x_0} end{array} right.

Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Khi x ne {x_0}. Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên các khoàng.
Bước 3: Khi x = {x_0}.
– Tính   f(x_0).
– Tính mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x), mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x).
– So sánh mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x), mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x) với f(x_0) và rút ra kết luận tại điểm {x_0}.
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &text{nếu},,x > 1,,,,,,\ 3& &text{nếu},,x le 1 end{array} right.
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: D = mathbb{R}.
– Nếu x > 1, thì hàm số f(x) = frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right).
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng left( {1; + infty } right).
– Nếu x < 1, thì hàm số f(x) = 1.
Đây là hàm đa thức có tập xác định là mathbb{R}.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng left( { - infty ;1} right).
– Nếu x = 1
f(1) = 3
mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} \= mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to 1} (5x - 2) = 3
mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} 3 = 3
Do: mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = f(1) = 3 nên hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1
– Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên mathbb{R}.

Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp:
Bước 1: Chứng minh hàm số y = fleft( x right) liên tục trên đoạn left[ {a;b} right].
Bước 2: Chứng minh fleft( a right).fleft( b right) < 0.
Bước 3: Kết luận phương trình fleft( x right) = 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn left[ {a;b} right].

Chú ý: Đối với bài toán chứng minh phương trình fleft( x right) = 0 có nghiệm mà không cho khoảng nào thì ta cần tìm hai số a,b sao cho fleft( a right).fleft( b right) < 0.

Ví dụ: Chứng minh phương trình 3{x^3} + 2x - 2 = 0 có nghiệm trong khoảng left( {0;1} right)
Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số f(x) = 3{x^3} + 2x - 2là hàm đa thức, liên tục trên R tức liên tục trên khoảng left( {0;1} right).
– Ta có: f(0).f(1) = ( - 2).(3) =  - 6 < 0.
– Do đó: exists c in (0;1):,f(c) = 0, tức phương trình  có nghiệm c in left( {0;1} right).

Ví dụ bài tập hàm số liên tục có lời giải

Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &text{nếu},x ne 1,,,,,,\ - 1& &text{nếu},,x = 1 end{array} right.,,\text{tại},,x = 1
Hướng dẫn giải:
f(1) =  - 1
mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} \= mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)}}  = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{5x - 2}}{{x - 2}} =  - 3
Do: mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) ne f(1) nên hàm số f(x) gián đoạn tại {x_0} = 1
Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại {x_0} = 1

Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &text{nếu},,x ne 1,,,,,,\ - 3mx - 1& &text{nếu},,x = 1 end{array} right.,,\text{tại},,x = 1
Hướng dẫn giải:
f(1) =  - 3m.1 - 1
mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} \= mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)}}  = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{5x - 2}}{{x - 2}} =  - 3
Để hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1 Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow  - 3m - 1 =  - 3 Leftrightarrow m =  - frac{2}{3}
Vậy: Giá trị m cần tìm là m = -3

Bài tập 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &text{nếu},x > 1,,,,,,\ - 1& &text{nếu},,x le 1 end{array} right.,,\text{tại},,x = 1
Hướng dẫn giải:
f(1) =  - 1
mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} \= mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)left( {x + 2} right)}}  = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1
mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} ( - 1) =  - 1
Do: mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) ne mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = f(1) =  - 3 nên hàm số f(x) gián đoạn tại {x_0} = 1
Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại {x_0} = 1

Bài tập 4: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &text{nếu},,x > 1,,,,,,\ - 3mx - 1& &text{nếu},,x le 1 end{array} right.,,\text{tại},,x = 1
Hướng dẫn giải:
f(1) =  - 3m.1 - 1
mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} \= mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)left( {x + 2} right)}}  = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1
mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} ( - 3mx - 1) =  - 3m - 1
Do hàm số f(x) liên tục tại {x_0} = 1 Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = f(1)  \Leftrightarrow  - 3m - 1 = 1 Leftrightarrow m =  - frac{2}{3}
Vậy: Giá trị m cần tìm là: m =  - frac{2}{3}

Bài tập 5: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &text{nếu},,x ne 1,,,,,,\ - 1& &text{nếu},,x = 1 end{array} right.
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: D = mathbb{R}
– Nếu x ne 1, thì hàm số f(x) = frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right).
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  left( { - infty ;1} right)left( {1; + infty } right)
– Nếu x = 1
f(1) =  - 1
mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{x - 1}}  \= mathop {lim }limits_{x to 1} (5x - 2) = 3
Do: mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) ne f(1) nên hàm số f(x) không liên tục tại {x_0} = 1
Suy ra hàm số f(x) không liên tục tại {x_0} = 1
– Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên mỗi khoảng left( { - infty ;1} right)left( {1; + infty } right) nhưng gián đoạn tại {x_0} = 1

Bài tập 6: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:
f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &text{nếu},,x ne 1,,,,,,\ - 3mx - 1& &text{nếu},,x = 1 end{array} right.,,\text{tại},,x = 1
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: D = mathbb{R}
– Nếu x ne 1, thì hàm số f(x) = frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right).
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  left( { - infty ;1} right)left( {1; + infty } right)
– Nếu x = 1
f(1) =  - 3m - 1
mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{x - 1}}  \= mathop {lim }limits_{x to 1} (5x - 2) = 3
Do hàm số f(x) không liên tục tại {x_0} = 1 nên mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = f(1) Leftrightarrow  - 3m - 1 = 3 Leftrightarrow m =  - frac{4}{3}.
– Vậy: Giá trị m cần tìm là m =  - frac{4}{3}

Bài tập 7: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &text{nếu},,x > 1,,,,,,\ - 1& &text{nếu},,x le 1 end{array} right.
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: D = mathbb{R}
– Nếu x > 1, thì hàm số f(x) = frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right).
Vậy nó liên tục trên khoảng left( {1; + infty } right).
– Nếu x < 1, thì hàm số f(x) = 1.
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là mathbb{R}.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng left( { - infty ;1} right). – Nếu x = 1f(1) =  - 1mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} \= mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to 1} (5x - 2) = 3mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x)  = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }}  - 1 =  - 1
Do: mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) ne mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = f(1) nên hàm số f(x) gián đoạn tại {x_0} = 1
– Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right) và gián đoạn tại {x_0} = 1.

Bài tập 8: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng: f(x),, = ,,left{ begin{array}{l} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &text{nếu},x > 1,,,,,,\ - 3mx - 1& &text{nếu},,x le 1 end{array} right.
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: D = mathbb{R}
– Nếu x > 1, thì hàm số f(x) = frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right).
Vậy nó liên tục trên khoảng left( {1; + infty } right).
– Nếu x < 1, thì hàm số f(x) =  - 3mx - 1.
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là mathbb{R}.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng left( { - infty ;1} right).
– Nếu x = 1
f(1) =  - 3m - 1
mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{left( {x - 1} right)left( {5x - 2} right)}}{{left( {x - 1} right)}} \= mathop {lim }limits_{x to 1} (5x - 2) = 3
mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} ( - 3mx - 1) =  - 3m - 1.
Để hàm số f(x) gián đoạn tại {x_0} = 1 khi mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = f(1) Leftrightarrow m =  - frac{4}{3}.
– Vậy: Giá trị m cần tìm là m =  - frac{4}{3}.

Bài tập 9: Chứng minh phương trình 2{x^3} - 6{x^2} + 5 = 0 có ba nghiệm trong khoảng left( { - 1;3} right).
Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số f(x) = 2{x^3} - 6{x^2} + 5 liên tục trên R nên f(x) = 2{x^3} - 6{x^2} + 5 liên tục trên mọi đoạn.
– Ta có: f( - 1) =  - 3 < 0, f(0) = 5 > 0, f(2) =  - 3 < 0, f(3) = 5 > 0. Suy ra phương trình có nghiệm trong mỗi khoảng left( { - 1;0} right), left( {0;2} right), left( {2;3} right).
– Vậy:  Phương trìn có ba nghiệm trên khoảng left( { - 1;3} right)

Bài tập 10: Chứng minh rằng phương trình: a{x^2} + bx + c = 0 luôn có nghiệm x in left[ {0;frac{1}{3}} right]với a ne 02a + 6b + 19c = 0.
Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số f(x) = a{x^2} + bx + c liên tục trên mathbb{R}.
Ta có: f(0) = c, f(frac{1}{3}) = frac{1}{9}(a + 3b + 9c)
Do đó: f(0) + 18f(frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0
Như thế:
– Nếu f(0) = 0 hay f(frac{1}{3}) = 0 phương trình f(x) = 0 hiển nhiên có nghiệm thuộc left[ {0;frac{1}{3}} right].
– Nếu f(0) ne 0f(frac{1}{3}) ne 0 ta thấy f(0)f(frac{1}{3}) < 0.
Vậy: Phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên left[ {0;frac{1}{3}} right].

Bài tập 11: Với mọi a,,b,,c in R, chứng minh phương trình: a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) \+ c(x - a)(x - b) = 0 luôn luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số f(x) = a(x - b)(x - c) \+ b(x - c)(x - a)  + c(x - a)(x - b) liên tục trên mathbb{R}.
f(a) = a(a - b)(a - c), f(b) = b(b - c)(b - a), f(c) = c(c - a)(c - b)
Giả sử a le b le c (tương tự các trường hợp sau)

– Nếu a = 0 hoặc b = 0hoặc c = 0 ta có f(0) = 0 do đó x = 0 là một nghiệm của phương trình.

– Nếu b ne 0. Ít nhất có một trong hai trường hợp xảy ra:
+Với a le b < 0 Rightarrow f(a)f(b) \=  - ab{(a - b)^2}(a - c)(b - c) le 0
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn left[ {a;b} right]
+Với 0 < b le c Rightarrow f(b)f(c) \=  - bc{(a - b)^2}(b - a)(b - c) le 0
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn left[ {b;c} right].

Bài tập 12: Chứng minh rằng nếu 2a + 3b + 6b = 0 thì phương trình {rm{ata}}{{rm{n}}^{rm{2}}}x + btan x + c = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right) với k in Z

Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số {rm{f(x) = ata}}{{rm{n}}^{rm{2}}}x + btan x + c
Đặt {rm{t = tanx, }},{{rm{x}}_{rm{0}}} in left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right) Rightarrow t in left( {0;1} right). Khi đó ta có: {rm{f(t) = a}}{{rm{t}}^{rm{2}}} + bt + c có ít nhất một nghiệm {{rm{t}}_{rm{0}}} in {rm{(0;1)}}.

– Nếu {rm{a}} ne {rm{0,}},,{rm{c}} ne {rm{0}}. Ta có: {rm{f(0)f}}left( {frac{{rm{2}}}{{rm{3}}}} right){rm{ = c}}left( {frac{{rm{4}}}{{rm{9}}}a + frac{2}{3}b + c} right) =  - frac{{{c^2}}}{3} < 0. Vậy phương trình {rm{f(t) = 0}} có nghiệm {{rm{t}}_{rm{0}}} in left( {0;frac{2}{3}} right).

– Nếu {rm{c = 0}}, lúc đó phương trình  có nghiệm {{rm{t}}_{rm{1}}} = 0, {{rm{t}}_{rm{2}}} = frac{2}{3} có nghĩa {{rm{t}}_{rm{2}}} = frac{2}{3} in (0;1).

– Nếu {rm{a = 0}}. Ta có: left{ begin{array}{l} {rm{bt + c = 0}}\ {rm{3(b + 2c) = 0}} end{array} right.
+Với {rm{b = c = 0}} phương trình {rm{f(t) = 0}} có vô số nghiệm nên tất nhiên sẽ có một nghiệm thuộc {{rm{t}}_{rm{0}}} in {rm{(0;1)}}.
+Với {rm{b}} ne {rm{0,}},,{rm{t  =   -  }}frac{{rm{c}}}{{rm{b}}} = frac{1}{2} in left( {0;1} right).

– Tóm lại: forall a,,b,,c thỏa mãn 2a + 3b + 6b = 0 thì phương trình {rm{f(t) = 0}} có ít nhất một nghiệm {{rm{t}}_{rm{0}}} in {rm{(0;1)}}, tức là 2a + 3b + 6b = 0 thì phương trình {rm{ata}}{{rm{n}}^{rm{2}}}x + btan x + c = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right) với k in Z.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

4 / 5 ( 1 bình chọn )

Bài viết cùng chuyên mục

  • Chuyên đề số chính phương

  • Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

  • Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

  • Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

  • Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

  • Góc giữa 2 vecto trong không gian

  • Công thức Hê Rông (Heron) – Chứng minh và bài tập áp dụng

  • Dấu hiệu chia hết cho 2 3 5 9 4 8 25 125 11

  • Ước số là gì – Bội số là gì?

  • Cách tính ma trận nghịch đảo bằng máy tính và ma trận

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button