Kiến thức

Hàm số lượng giác – Geosiro

I. Lý thuyết

  1. Hàm số lượng giác $y=sin x$ và $y=cos x$

  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $sin $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số sin và ký hiệu $y=sin x.$
  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $cos $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số cos và ký hiệu $y=cos x.$

 

  1. Hàm số $y=tan x$ và $y=cot x$

  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x in mathbb{D}= mathbb{R} setminus {dfrac{pi}{2}+kpi, k in mathbb{Z}}$ với số thực $tan x=dfrac{sin x}{cos x}$ được gọi là hàm số tan và ký hiệu là $y=tan x$.
  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x in mathbb{D}= mathbb{R} setminus {k pi, k in mathbb{Z}}$ với số thực $cot x=dfrac{cos x}{sin x}$ được gọi là hàm số côtan và ký hiệu là $y=cot x$.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y=sin 2x+dfrac{1}{cos x}$

b) $y=sqrt{dfrac{1+sin x}{1-sin x}}$

c) $y=3tan left(x+dfrac{pi}{3} right)$

d) $y=tan x+cot x$

Đáp số
 a) Hàm số được xác định khi $cos x ne 0 Leftrightarrow x ne dfrac{pi}{2}+kpi, k in mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=mathbb{R} setminus left{dfrac{pi}{2}+kpi, k in mathbb{Z} right}.$

 b) Hàm số được xác định khi $dfrac{1+sin x}{1-sin x} ge 0 (1).$ Vì $1+sin x ge 0, forall x$ nên:

$(1) Leftrightarrow 1 -sin x >0 Leftrightarrow sin x ne 1$

$Leftrightarrow x ne dfrac{pi}{2}+k2pi, k in mathbb{Z}.$

Vậy $D=mathbb{R} setminus left{dfrac{pi}{2}+k2pi, k in mathbb{Z} right}.$

 

 c) Hàm số được xác định khi $x + dfrac{pi}{3} ne dfrac{pi}{2}+kpi Leftrightarrow x ne dfrac{pi}{6}+kpi, k in mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=mathbb{R} setminus left{dfrac{pi}{6}+kpi, k in mathbb{Z} right}.$

 d) $tan x$ xác định khi $x ne dfrac{pi}{2}+kpi, cot x$ xác định khi $x ne kpi (k in mathbb{Z}$.

Do đó $y= tan x+cot x$ xác định khi $x ne kdfrac{pi}{2}, k in mathbb{Z}$.

Vậy $D=mathbb{R} setminus left{kdfrac{pi}{2}, k in mathbb{Z} right}.$

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số sau:

a) $y=-4cos 2x$

b) $y=sin^3 4x-3sin x$

c) $y=dfrac{tan x+cot x}{sin x}$

d) $y=3sin x+2cos x-1$

Đáp số

a) Hàm số $y=f(x)=-4cos 2x$ có tập xác định $D=mathbb{R}$.

Với mọi $x in D$ thì $-x in D$ và $f(-x)=-4cos (-2x)=-4cos 2x=f(x).$

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

b) Hàm số $y=f(x)=sin^3 4x-3sin x$ có tập xác định $D=mathbb{R}$.

Với mọi $x in D$ thì $-x in D$ và $f(x-)=sin^3 (-4x)-3sin (-x) = -sin^3 4x+3sin x=-f(x).$ Vậy hàm số là hàm số lẻ.

c) Hàm số $y=f(x)=dfrac{tan x+cot x}{sin x}$ xác định khi $sin x ne 0$ và $cos x ne 0 Leftrightarrow x ne kdfrac{pi}{2}.$ Do đó tập xác định là $D=mathbb{R} setminus left{kdfrac{pi}{2}, k in mathbb{Z} right}.$

Với mọi $x in D Leftrightarrow xne kdfrac{pi}{2} Leftrightarrow -x ne kdfrac{pi}{2} Leftrightarrow -x in D.$

Ta có: $f(-x)=dfrac{tan (-x)+cot (-x)}{sin (-x)}=dfrac{-tan x-cot x}{-sin x}=dfrac{tan x+cot x}{sin x}=f(x)$.

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

d) Hàm số $y=f(x)=3sin x + 2cos x -1$ có tập xác định $D=mathbb{R}$.

Ta có: $fleft(-dfrac{pi}{2}right)=-4, fleft(dfrac{pi}{2} right)=2 Rightarrow fleft(-dfrac{pi}{2}right) ne pm fleft(dfrac{pi}{2} right)$

Do đó, hàm số không chẵn, không lẻ.

  1. Hàm số tuần hoàn
  • Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $mathbb{D}$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T ne 0$ sao cho với mọi $x in mathbb{D}$ ta có $x pm T in mathbb{D} text{và} f(x+T)=f(x).$
  • Nếu có số dương T nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
  •  Hàm số $y=sin x$ và $y=cos x$ tuần hoàn với chu kì $T=2pi$.
  •  Hàm số $y=tan x$ và $y=cot x$ tuần hoàn với chu kì $T= pi$.
  •  Ta chứng minh được hàm số $y=A sin (ax+b)+B$ tuần hoàn với chu kì $T=dfrac{2 pi}{|a|}.$
  •  Nếu hàm số $y=f(x)$ có chu kì $T_1$, hàm số $y=g(x)$ có chu kì $T_2$ thì hàm số $y=f(x) pm g(x)$ có chu kì là BCNN của $T_1$ và $T_2$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $y=cos 2x$ tuần hoàn với chu kì là $pi$.

Đáp số

Hàm số $y=f(x)=cos 2x$ có tập xác định $D=mathbb{R}$.

$forall x in D$, ta có: $x pm pi in D;$

$f(x+pi)=cos 2(x+pi)=cos (2x+2pi)=cos 2x =f(x).$

Vậy hàm số $y=cos 2x$ tuần hoàn.

Ta chứng minh chu kì của hàm số bằng $pi$.

Giả sử có số T thỏa mãn $0<T<pi$ và $cos 2(x+T)=cos 2x  (*), forall x$.

Cho $x=0$ khi đó đẳng thức (*) trở thành:

$cos 2T=cos 0 Leftrightarrow cos 2T=1 Leftrightarrow T=kpi.$

Vì $0<T<pi$ nên hàm số tuần hoàn với chu kì $T=pi$.

II. Bài tập

  1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=dfrac{3+sin x}{cos x}$

b) $y=tan left(2x+dfrac{pi}{4} right)$

c) $y=sqrt{1+2tan^2 x}+dfrac{3}{sin x}$

d) $y=sinsqrt{dfrac{1+x}{1-x}}$

  1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=3sin (x+pi)+tan 3x$

b) $y=2sin^2 x+cot x -2$

c) $y=cos^3 x+dfrac{tan 3x}{sin x}$

d) $y=dfrac{cos x}{2sin x-1}$

  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y=1-3sin 5x$

b) $y=sqrt{4-cos^2 3x}+1$

c) $y=2sin^2 x+5cos 2x-4cos^2 x$

d) $y=sin^2 x-2sin x -3$

Bạn đang xem: Hàm số lượng giác – Geosiro

Bài liên quan

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất
Phương trình bậc nhất: $ax + b = 0$.
Phương trình bậc nhất một ẩn
Đường thẳng song song
Đáp án đề học kì môn toán 11 – PTNK năm học 2019 – 2020
Phương trình đưa về bậc nhất – Phần 1
Bất đẳng thức Cauchy – Phương pháp tách ghép
Phân tích đa thức thành nhân tử – Hằng đẳng thức
Đường thẳng vuông góc với bán kính cắt hai cạnh tạo thành tứ giác nội tiếp.
Quy tắc cộng, quy tắc nhân

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button