Kiến thức

Hàm số và đồ thị-Ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán

Ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán – Dạng 5: Hàm số và đồ thị

Bài viết sẽ cung cấp cho các em kiến thức cơ bản về hàm số và đồ thị cùng các dạng bài tập trong ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn toán với phương pháp giải qua các ví dụ cụ thể, chi tiết.

Xem thêm:

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Mục lục

Kiến thức về hàm số và đồ thị

Bạn đang xem: Hàm số và đồ thị-Ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán

#1.Hàm số và đồ thị bậc nhất

a) Định nghĩa:

Hàm số bậc nhất là hàm được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a khác 0.

Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số có dạng y = ax.

Phương trình bậc nhất hai ẩn

có dạng ax + by = c ( a, b, c là các số đã biết, a hoặc b khác 0)

Nếu b khác 0 thì có thể đưa phương trình về dạng y = mx + n.

b) Tính chất

Hàm số bậc nhất y = ax + b (a≠ 0) xác định với mọi x ∈ R

  • Đồng biến trên R khi a > 0
  • Nghịch biến trên R khi a < 0.

c) Đồ thị hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a≠0) là một đường thẳng:

  • Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0 (toạ độ y = 0)
  • Nếu b ≠ 0 thì song song với đường thẳng y = ax 
  • Nếu b = 0 thì trùng với đường thẳng y = ax

Số a gọi là hệ số góc.

Số b gọi là tung độ gốc.

Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a≠0) và trục Ox.

  • Nếu a > 0 thì tan α = a.
  • Nếu a < 0, ta đặt β = 180° − α, khi đó tan β = |a|. Ta tính β rồi suy ra α = 180° − β.

#2. Hàm số bậc hai

a) Định nghĩa

Hàm số bậc hai y = ax2 (a≠0) là hàm số bậc hai đặc biệt.

b) Tính chất

Hàm số y = ax2 (a≠0) xác định với mọi giá trị của x ∈ R và

  • Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
  • Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c) Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị hàm số y = ax² (a≠0) là một parabol đỉnh O và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

  • Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0.
  • Nếu a < 0 thì đồ thị nằm bên dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0.

#3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và parabol

Cho các đường thẳng (d) : y = ax + b     (a≠0)

                                    (d’) : y = a’x + b    (a’≠0),

và parabol (P) : y = kx² (k≠0)

Khi đó:

  • (d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’
  • (d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’
  • (d) trùng (d’) ⇔ a = a’ và b = b’
  • (d) ⊥ (d’) ⇔ a.a’ = −1.

Khi xét phương trình kx² = ax + b    (1)

  • Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau.
  • Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
  • Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau.

Hoành độ của giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình (1).

#4. Khoảng cách 

a) Cho điểm A (x1; y1) và B (x2; y2). Khi đó

AB = sqrt{(x_{2}-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

AB = sqrt{(x_{2}-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

b) Khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến đường thẳng y = ax + b.

  • Có thể dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính
  • Đặc biệt, nếu đường thẳng được cho bởi phương trình ax + by = c thì

h=frac{|c|}{sqrt{a^2+b^2}}

h=frac{|c|}{sqrt{a^2+b^2}}

Xem thêm: Phân biệt phòng xông hơi hồng ngoại tạo nhiệt Carbon và Ceramic

#5. Một số ví dụ chuyên đề hàm số và đồ thị

Cho hàm số y = m(x+1)² − 2x². (1)

a) Với giá trị nào của m thì (1) là hàm số bậc nhất? Khi đó hàm số này đồng biến hay nghịch biến? Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị đó của m.

b) Với giá trị nào của m thì (1) là hàm số y = ax² (a≠0) ? Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị đó của m.

________________________________________

Giải:

a) Ta khai triển và viết hàm số đã cho dưới dạng 

y = (m − 2)x² +2mx + m.   (2)

Hàm số (2) là hàm bậc nhất ⇔ m − 2 = 0 và m ≠ 0 ⇔ m = 2.

Khi đó (2) trở thành y = 4x + 2 có dạng y = ax + b. Hàm số này có a = 4 > 0 nên đồng biến.

* Vẽ đồ thị (d) của hàm số y = 4x + 2.

Đầu tiên ta lập bảng giá trị. (Ta chỉ cần chọn hai điểm nối lại và kéo dài đường thẳng là xong)

x 0 -1/2
y 2 0
ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn toán - hàm số và đồ thịôn thi tuyển sinh lớp 10 môn toán - hàm số và đồ thị

b) Hàm số (2) là hàm số y = ax² (a≠0)

Khi đó (2) trở thành y = −2x2 .

Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = −2x2

Ta lập bảng giá trị:

x −2 −1 0 1 2
y −8 −2 0 −2 −8

Cho các hàm số:

y = 2mx + m + 1 (1)

y = (m − 1)x + 3 (2)

a) Xác định m để hàm số (1) đồng biến, còn hàm số (2) nghịch biến.

b) Xác định m để đồ thị của hai hàm số song song với nhau.

c) Chứng minh rằng đồ thị (d) của hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

____________________________________________

Giải:

a) Hàm số (1) đồng biến và hàm số (2) nghịch biến

b) Đồ thị của hai hàm số song song với nhau

c) Viết lại hàm số (1) dưới dạng y = m(2x + 1) + 1. Ta thấy với mọi giá trị của m, khi x = −1/2 thì y = 1. <——– Chính là cho 2x + 1 = 0 thì y = 1 với mọi m

Vậy đồ thị (d) của hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định là điểm M (−1/2; 1).

Bài tập chuyên đề Hàm số và đồ thị

Các bài tập về hàm số và đồ thị trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán những năm trước sẽ giúp các em làm quen dạng bài này trong đề thi thật.

Bài 2 (TSL10 2019-2020 Bà Rịa-Vũng Tàu)

CĐ Hàm số và đồ thị:

Cho Parabol (P) : y = −2x² và đường thẳng (d) : y = x − m (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

x_1,x_2x_1,x_2

thoả mãn điều kiện

x_1+x_2=x_1cdot x_2

x_1+x_2=x_1cdot x_2

_________________________________________________________

Giải:

a) Ta lập bảng giá trị

x −2 −1 0 1 2
y = −2x² −8 −2 0 −2 8
bài hàm số trong ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn toánbài hàm số trong ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn toán

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

 −2x² = x − m ⇔ 2x² +x − m = 0.

Ta có biệt thức Δ = 1 + 8m.

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ > 0 ⇔ m > −1/8.

x_1,x_2

x_1,x_2 là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, nên ta có:

x_1+x_2=frac{-1}{2};x_1.x_2=frac{-m}{2}

x_1+x_2=frac{-1}{2};x_1.x_2=frac{-m}{2}

Khi đó 

x_1+x_2=x_1.x_2Leftrightarrow frac{-1}{2}=frac{-m}{2}Leftrightarrow m=1

x_1+x_2=x_1.x_2Leftrightarrow frac{-1}{2}=frac{-m}{2}Leftrightarrow m=1 (thoả mãn điều kiện)

Bài 2 (TSL10 2019-2020 Bạc Liêu)

Cho hàm số y = 3x²có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : y = 2x + 1. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

_________________________________________________

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 3x² = 2x + 1 hay 3x² − 2x − 1 = 0 (*)

Phương trình (*) có hệ số a = 3; b = −2; c = − 1 nên a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là A(1; 3) và B (-1/3; -1/3)

Bài 2 (TSL10 2019-2020 Bến Tre)

CĐ Hàm số và đồ thị:

________________________________________

Giải:

Ta lập bảng giá trị

x -2 -1 0 1 2
y=-2x² -8 -2 0 -2 -8

Đồ thị:

b) Để hai đường thẳng đã cho song song với nhau thì 5m – 2 = 1 hay m = 3/5

c) Từ hình vẽ ta có A( 1; 0); B(3; 2), C ( 4; 0)

AC = 3, chiều cao từ đỉnh B = 2

Diện tích tam giác ABC

Bài 2 (TSL10 2019-2020 Bình Phước)

CĐ Hàm số và đồ thị:

________________________________________________________

Giải:

(a) Ta lập bảng giá trị

x -4 -2 0 2 4
y=1/2 x² 8 2 0 2 8

Đồ thị (P) là đường Parabol đi qua các điểm (-4; 8), (-2; 2), (0; 0), (2;2) , (4; 8) và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số y = x + 2 là đường thẳng đi qua điểm (0; 2) và điểm (-2; 0).

(b)

Ta được: 2 = -2 + b hay b = 4 (thoả mãn)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 4.

Xem thêm: Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Bài 4 (TSL10 2019-2020 Đồng Nai)

CĐ Hàm số và đồ thị:

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = 6x + b và parabol (P) : y = ax² (a≠0)

a) Tìm giá trị của b để đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 9).

b) Với b tìm được, tìm giá trị của a để (d) tiếp xúc với (P).

_______________________________

Giải:

Bài 3 (TSL10 2019-2020 Hà Nam)

CĐ Hàm số và đồ thị:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y=frac{1}{2}x^2

y=frac{1}{2}x^2 và đường thẳng (d) có phương trình y = −mx + 3 − m ( với m là tham số).

a) Tìm toạ độ điểm M thuộc parabol (P), viết điểm M có hoành độ bằng 4.

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi x_1,x_2

x_1,x_2 lần lượt là hoành độ của hai điểm A, B. Tìm m để 

x_1^2+x_2^2=2x_1x_2+20.

x_1^2+x_2^2=2x_1x_2+20.

___________________________________________

Giải:

Bài 3 (TSL10 2019-2020 Hà Nội)

CĐ Hàm số và đồ thị:

________________________________________________

Giải:

Bài 3 ( Đề tuyển sinh lớp 10 2019-2020 Thái Bình)

CĐ Hàm số và đồ thị:

Cho hàm số y = (m − 4)x + m + 4 (m là tham số)

a) Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên R.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt. Gọi x_1,x_2

x_1,x_2 là hoành độ các giao điểm, tìm m sao cho 

x_1(x_1-1)+x_2(x_2-1)=18.

x_1(x_1-1)+x_2(x_2-1)=18.

c) Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng (d). Chứng minh khoảng cách từ điểm O(0;0) đến (d) không lớn hơn √65.

_______________________________________________________

Giải: 

Xem thêm: 1-aminocyclopropane-1-carboxylic acid (ACC) in plants: more than just the precursor of ethylene!

Bài 4 ( Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán 2019-2020 Thái Nguyên)

CĐ Hàm số và đồ thị:

Cho hàm số y = ax +b với a khác 0. Xác định các hệ số a, b biết đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 2019 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2020.

_______________________________________________

Giải:

Bài 3 (Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2019-2020 Thái Nguyên)

CĐ Hàm số và đồ thị:

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = −x + 2.

a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Tìm tạo độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính.

__________________________________________________

Giải:

Như vậy, ta đã cùng giải một số bài trong đề thi TSL10 những năm ngoái để ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn toán về dạng bài hàm số và đồ thị.

Xem thêm:

Hướng dẫn ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Dạng 4: Phương trình bậc hai một ẩn

Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình – Toán lớp 9

Tags:

hàm số và đồ thị

Leave a Reply

Cancel Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button