Kiến thức

Hướng dẫn sử dụng máy tính casio giải nhanh bất phương trình mũ-logarit (P1)-Công thức nguyên hàm

giải toán bằng máy tính casio

máy tính casio

Bạn đang xem: Hướng dẫn sử dụng máy tính casio giải nhanh bất phương trình mũ-logarit (P1)-Công thức nguyên hàm

Hướng dẫn sử dụng máy tính casio giải nhanh bất phương trình mũ – logarit (P1)

PHƯƠNG PHÁP 1: CALC THEO CHIỀU THUẬN
Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái $ ge 0$ hoặc Vế trái $ le 0$
Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán .
CALC THUẬN có nội dung: Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng (a;b) (a;b) thì bất phương trình đúng với mọi giá trị thuộc khoảng (a;b)
*Chú ý: Nếu khoảng (a;b) và (c;d) cùng thỏa mãn mà $left( {a,b} right) subset left( {c,d} right)$ thì (c;d) là đáp án chính xác

Ví dụ minh họa
VD1. Bất phương trình ${log _{frac{1}{2}}}left( {{{log }_3}frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} right) > 0$ có tập nghiệm là?
A. $left( { – propto ; – 2} right)$
B. $left( {4; + propto } right)$
C. $left( { – 2;1} right) cup left( {1;4} right)$
D. $left( { – propto ; – 2} right) cup left( {4; + propto } right)$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017)

Lời giải:

Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
+) CALC với giá trị cận trênX=-2-0,1 ta được


Đây là 1 giá trị dương vậy cận trên thỏa
+) CALC với giá trị cận dưới $X = – {10^5}$

Đây là 1 giá trị dương vậy cận dưới thỏa
Tới đây ta kết luận đáp án A đúng
Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B thì ta thấy B cũng đúng
A đúng B đúng vậy A$ cup $ B là đúng nhất và D là đáp án chính xác

Cách tham khảo: Tự luận
Bất phương trình ${log _{frac{1}{2}}}left( {{{log }_3}frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} right) > {log _{frac{1}{2}}}1$ ${log _{frac{1}{2}}}left( {{{log }_3}frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} right) > {log _{frac{1}{2}}}1$ (1)
Vì cơ số $frac{1}{2}$ thuộc $left( {0;1} right)$ nên (1) $ Leftrightarrow {log _3}frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < 1 Leftrightarrow {log _3}frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < {log _3}3$ (2) Vì cơ số 3>1nên (2) $Leftrightarrow frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < 3 Leftrightarrow 3 – frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0 Leftrightarrow frac{{x – 4}}{{x – 1}} > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x > 4\ x < 1 end{array} right.$

Xét điều kiện tồn tại $left{ begin{array}{l} frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0\ {log _3}frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0\ {log _3}frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > {log _3}1 end{array} right. Leftrightarrow frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 1 Leftrightarrow frac{{x + 2}}{{x – 1}} > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x > 1\ x < – 2 end{array} right.$

Kết hợp đáp số $left[ begin{array}{l} x > 4\ x < 1 end{array} right.$ và điều kiện $left[ begin{array}{l} x > 1\ x < – 2 end{array} right.$ ta được $left[ begin{array}{l} x > 4\ x < – 2 end{array} right.$

Bình luận :

  •  Ngay ví dụ 1 đã cho chúng ta thấy sức mạnh của Casio đối với dạng bài bất phương trình. Nếu tự luận làm nhanh mất 2 phút thì làm Casio chỉ mất 30 giây • Trong tự luận nhiều bạn thường hay sai lầm ở chỗ là làm ra đáp số $left[ begin{array}{l} x > 4\ x < 1end{array} right.$ là dừng lại mà quên mất việc phải kết hợp điều kiện $left[ begin{array}{l}x > 1\ x < – 2 end{array} right.$
  • Cách Casio thì các bạn chú ý Đáp án A đúng , đáp án B đúng thì đáp án hợp của chúng là đáp án D mới là đáp án chính xác của bài toán.

VD2. Giải bất phương trình ${2^{{x^2} – 4}} ge {5^{x – 2}}$ :
A. $x in left( { – propto ; – 2} right) cup left( {{{log }_2}5; + propto } right)$
B. $x in left( { – propto ; – 2} right] cup left( {{{log }_2}5; + propto } right)$
C. $x in left( { – propto ;{{log }_2}5 – 2} right) cup left( {2; + propto } right)$
D. $x in left( { – propto ;lo{g_2}5 – 2} right] cup left[ {2; + propto } right)$ (Chuyên Thái Bình 2017)

Lời giải

Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu ${2^{{x^2} – 4}} – {5^{x – 2}} ge 0$
Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại
Nhập vế trái vào máy tính Casio

 Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B và D
+)CALC với giá trị cận trên X= -2 ta được

+)CALC với giá trị cận dưới $X = – {10^5}$

Số $ – {10^5}$ là số quá nhỏ để máy tính Casio làm việc được vậy ta chọn lại cận dứoi X= -10

Đây cũng là một giá trị dương vậy đáp án nửa khoảng $left( { – propto ; – 2} right]$ nhận
Đi kiểm tra xem khoảng tương ứng $left( { – propto ;lo{g_2}5 – 2} right]$ ở đáp án D xem có đúng không, nếu sai thì chỉ có B là đúng
+) CALC với giá trị cận dưới $X = {log _2}5 – 2$

+) CALC với cận trên X=10

Đây cũng là 2 giá trị dương vậy nửa khoảng $left( { – propto ;lo{g_2}5 – 2} right]$ nhận
Vì nửa khoảng $left( { – propto ;lo{g_2}5 – 2} right]$ chứa nửa khoảng $left( { – propto ; – 2} right]$ vậy đáp án D là đáp án đúng nhất

Cách tham khảo: Tự luận
Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta được ${log _2}left( {{2^{{x^2} – 4}}} right) ge {log _2}left( {{5^{x – 2}}} right) Leftrightarrow {x^2} – 4 ge left( {x – 2} right){log _2}5$
$ Leftrightarrow left( {x – 2} right)left( {x + 2 – {{log }_2}5} right) ge 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x ge 2\ x le {log _2}5 – 2 end{array} right.$
Vậy ta chọn đáp án D.
Bình luận :
• Bài toán này lại thể hiện nhược điểm của Casio là bấm máy sẽ mất tầm 1.5 phút so với 30 giây của tự luận. Các e tham khảo và rút cho mình kinh nghiệm khi nào thì làm tự luận khi nào thì làm theo cách Casio
• Các tự luận tác giả dùng phương pháp Logarit hóa 2 vế vì trong bài toán xuất hiện đặc điểm “ có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung” các bạn lưu ý điều này.

VD3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 > 0$ :
A. $S = left( {2; + propto } right)$
B. S= (0;2)
C. S=R
D. $left( { – propto ;2} right)$ (Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017)

Lời giải

Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
+) CALC với giá trị cận trên X= 10 ta được

Đây là 1 giá trị âm vậy đáp án A loại dẫn đến C sai
 Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
+) CALC với giá trị cận trên X=2- 0.1

+) CALC với giá trị cận dứoi X= 0+ 0.1

Cả 2 giá trị này đều dương vậy đáp án B đúng
Vì D chứa B nên để xem đáp án nào đúng nhất thì ta chọn 1 giá trị thuộc D mà không B
+) CALC với giá trị X= -2

Giá trị này cũng nhận vậy D là đáp án chính xác

Cách tham khảo: Tự luận
Bất phương trình $ Leftrightarrow $ ${2.2^x} + {3.3^x} + 1 > {6^x} Leftrightarrow 2.{left( {frac{2}{6}} right)^x} + 3.{left( {frac{3}{6}} right)^x} + {left( {frac{1}{6}} right)^x} > 1$
$ Leftrightarrow 2.{left( {frac{1}{3}} right)^x} + 3.{left( {frac{1}{2}} right)^x} + {left( {frac{1}{6}} right)^x} > 1$ (1)
Đặt $fleft( x right) = 2.{left( {frac{1}{3}} right)^x} + 3.{left( {frac{1}{2}} right)^x} + {left( {frac{1}{6}} right)^x}$ khi đó (1) $ Leftrightarrow fleft( x right) > fleft( 2 right)$ (2)
Ta có $f’left( x right) = 2.{left( {frac{1}{3}} right)^x}ln left( {frac{1}{3}} right) + 3.{left( {frac{1}{2}} right)^x}ln left( {frac{1}{2}} right) + {left( {frac{1}{6}} right)^x}ln left( {frac{1}{6}} right) < 0$ với mọi x
$ Rightarrow $ Hàm số f(x) nghịch biến trên R
Khi đó (2) $ Leftrightarrow x < 2$ Bình luận :

  • Tiếp tục nhắc nhở các bạn tính chất quan trọng của bất phương trình : B là đáp án đúng nhưng D mới là đáp án chính xác (đúng nhất)
  •  Phần tự luận tác giả dùng phương pháp hàm số với dấu hiệu “Một bất phương trình có 3 số hạng với 3 cơ số khác nhau”
  • Nội dng của phương pháp hàm số như sau : Cho một bất phương trình dạng $fleft( u right) > fleft( v right)$ trên miền $left[ {a;b} right]$ nếu hàm đại diện f(t) đồng biến trên $left[ {a;b} right]$ thì u= v còn hàm đại diện luôn nghịch biến trên $left[ {a;b} right]$ thì u< v 2)

Phương pháp 2: CALC theo chiều nghịch

Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái $ ge 0$ hoặc Vế trái $ le 0$

Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . CALC NGHỊCH có nội dung : Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng (a;b) thì bất phương trình sai với mọi giá trị không thuộc khoảng (a;b)

Ví dụ minh họa VD1. Bất phương trình ${log _{frac{1}{2}}}left( {{{log }_3}frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} right) > 0$ có tập nghiệm là:
A. $left( { – propto ; – 2} right)$
B. $left( {4; + propto } right)$
C. $left( { – 2;1} right) cup left( {1;4} right)$
D. $left( { – propto ; – 2} right) cup left( {4; + propto } right)$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 )

Lời giải:

Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
+) CALC với giá trị ngoài cận trên X= -2+ 0.1 ta được

Vậy lân cận phải của -2 là vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án A đúng và đáp án C sai
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
+) CALC với giá trị ngoài cận trên X=4-0.1 ta được

Đây là giá trị âm. Vậy lân cận tráii của 4 là vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án B đúng và đáp án C sai
Đáp án A đúng B đúng vậy ta chọn hợp của 2 đáp án là đáp án D chính xác.

VD2. Giải bất phương trình ${2^{{x^2} – 4}} ge {5^{x – 2}}$.
A. $x in left( { – propto ; – 2} right) cup left( {{{log }_2}5; + propto } right)$
B. $x in left( { – propto ; – 2} right] cup left( {{{log }_2}5; + propto } right)$
C. $x in left( { – propto ;{{log }_2}5 – 2} right) cup left( {2; + propto } right)$
D. $x in left( { – propto ;lo{g_2}5 – 2} right] cup left[ {2; + propto } right)$ (Chuyên Thái Bình 2017)

Lời giải:

Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu ${2^{{x^2} – 4}} – {5^{x – 2}} ge 0$
Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại
Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
+)CALC với giá trị ngoài cận trên -2 là X= -2+ 0.1 ta được

Đây là 1 giá trị dương (thỏa đề bài) mà đáp án B không chứa X= -2+ 0.1 $ Rightarrow $ Đáp án B sai
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác

VD3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 > 0$:
A. $S = left( {2; + propto } right)$
B. $S = left( {0;2} right)$
C. S=R
D. $left( { – propto ;2} right)$ (Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017)

Lời giải:

Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
+) CALC với giá trị ngoài cận dưới 2 ta chọn X= 2-0.1

Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) vậy đáp án A sai dẫn đến đáp án C sai
Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
+) CALC với giá trị ngoài cận dưới 0 ta chọn X= 0-0.1

Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) $ Rightarrow $ Đáp án B sai
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Bất phương trình $ln left[ {left( {x – 1} right)left( {x – 2} right)left( {x – 3} right) + 1} right] > 0$ có tập nghiệm là :
A. $left( {1;2} right) cup left( {3; + propto } right)$
B. $left( {1;2} right) cap left( {3; + propto } right)$
C. $left( { – propto ;1} right) cap left( {2;3} right)$
D. $left( { – propto ;1} right) cup left( {2;3} right)$ (Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017)

Bài 2. Tập xác định của hàm số $y = sqrt {{{log }_{frac{1}{2}}}left( {x – 1} right) – 1} $ là :
A. $left[ {1; + propto } right)$
B. $left( {1;frac{3}{2}} right]$
C. $left( {1; + propto } right)$
D. $left[ {frac{3}{2}; + propto } right)$
(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017)

Bài 3. Nghiệm của bất phương trình ${log _{x – 1}}left( {{x^2} + x – 6} right) > 1$ là:
A. x > 1
B. $x > sqrt 5 $
C. $x > 1;x ne 2$
D. $1 < x < sqrt 5 ,x ne 2$
(Chuyên Khoa học tự nhiên 2017)

Bài 4. Giải bất phương trình ${left( {tan frac{pi }{7}} right)^{{x^2} – x – 9}} le {left( {tan frac{pi }{7}} right)^{x – 1}}$:
A. $x le – 2$
B. $x ge 4$
C. $ – 2 le x le 4$
D. $x le – 2$ hoặc $x ge 4$
(Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017)

Bài 5. Bất phương trình ${2^{{x^2}}}{.3^x} < 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên :
A.1
B. Vô số
C. 0
D. 2
(THPT HN Amsterdam 2017)

Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình ${32.4^x} – {18.2^x} + 1 < 0$ là tập con của tập A. $left( { – 5; – 2} right)$ B. $left( { – 4;0} right)$ C. $left( {1;4} right)$ D. $left( { – 3;1} right)$ (Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017) LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Bất phương trình $ln left[ {left( {x – 1} right)left( {x – 2} right)left( {x – 3} right) + 1} right] > 0$ có tập nghiệm là :
A. $left( {1;2} right) cup left( {3; + propto } right)$
B. $left( {1;2} right) cap left( {3; + propto } right)$
C. $left( { – propto ;1} right) cap left( {2;3} right)$
D. $left( { – propto ;1} right) cup left( {2;3} right)$
(Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017)

Lời giải:

Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với cận dưới X= 1+ 0.1 và cận trên X= 2- 0.1

Hai cận đều nhận $ Rightarrow left( {1;2} right)$ nhận
Kiểm tra khoảng nghiệm $left( {3: + propto } right)$ với cận dưới X= 3+0.1 và cận trên $X = {10^9}$

Hai cận đều nhận $ Rightarrow left( {3; + propto } right)$ nhận
Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng $ Rightarrow $ A là đáp số chính xác
Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với ngoài cận dưới X= 3 – 0.1 và ngoài cận trên X= 2+ 0.1

Hai cận ngoài khoảng (1;2) đều vi phạm $ Rightarrow $ Khoảng (1;2) thỏa
Kiểm tra khoảng $left( {3: + propto } right)$ với ngoài cận dưới X= 3-0.1và trong cận dưới (vì không có cận trên)

Ngoài cận dưới vi phạm, trong cận dưới thỏa $ Rightarrow $ Khoảng $left( {3; + propto } right)$ nhận
Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng $ Rightarrow $ A là đáp số chính xác

Bài 2. Tập xác định của hàm số $y = sqrt {{{log }_{frac{1}{2}}}left( {x – 1} right) – 1} $ là :
A. $left[ {1; + propto } right)$
B. $left( {1;frac{3}{2}} right]$
C. $left( {1; + propto } right)$
D. $left[ {frac{3}{2}; + propto } right)$ (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017)

Lời giải:

Điều kiện : ${log _{0.5}}left( {x – 1} right) – 1 ge 0$ ( trong căn $ ge 0$)
Kiểm tra khoảng nghiệm $left[ {1; + propto } right)$ với cận dưới X=1 và cận trên ${10^9}$

Cận dưới vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án A sai
Kiểm tra khoảng nghiệm $left( {1;frac{3}{2}} right]$ với cận dưới $X = 1 + 0.1$ và cận trên X=3

Hai cận đều nhận $ Rightarrow left( {1;frac{3}{2}} right]$ nhận
Kiểm tra khoảng nghiệm $left( {1; + propto } right)$ với cận trên $X = {10^9}$ $ Rightarrow $ Cận trên bị vi phạm $ Rightarrow $ C sai $ Rightarrow $ D sai

Tóm lại A là đáp số chính xác
Casio cách 2
Đáp án A sai luôn vì cận x=1 không thỏa mãn điều kiện hàm logarit
Kiểm tra khoảng nghiệm $left( {1;frac{3}{2}} right]$ với ngoài cận dưới $X = 1 – 0.1$ và ngoài cận trên $X = frac{3}{2} + 0.1$

Ngoài hai cận đều vi phạm $ Rightarrow $ $left( {1;frac{3}{2}} right]$ nhận
Hơn nữa $X = frac{3}{2} + 0.1$ vi phạm $ Rightarrow $ C và D loại luôn

Bài 3. Nghiệm của bất phương trình ${log _{x – 1}}left( {{x^2} + x – 6} right) > 1$ là?
A. x >1
B. $x > sqrt 5 $
C. $x > 1;x ne 2$
D. $1 < x < sqrt 5 ,x ne 2$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017)

Lời giải:

Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu ${log _{x – 1}}left( {{x^2} + x – 6} right) – 1 > 0$
Kiểm tra khoảng nghiệm x> 1 với cận dưới X= 1+0.1 và cận trên $X = {10^9}$

Cận dưới vi phạm $ Rightarrow $ A sai $ Rightarrow $ C và D chứa cận dưới X=1 + 0.1 vi phạm nên cũng sai
Tóm lại đáp số chính xác là B
Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với ngoài cận dưới X=1 – 0.1 và cận dưới X=1 + 0.1

Cận dưới X=1 + 0.1 vi phạm nên A , C , D đều sai

Bài 4. Giải bất phương trình ${left( {tan frac{pi }{7}} right)^{{x^2} – x – 9}} le {left( {tan frac{pi }{7}} right)^{x – 1}}$.
A. $x le – 2$
B. $x ge 4$
C. $ – 2 le x le 4$
D. $x le – 2$ hoặc $x ge 4$
(Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017)

Lời giải:

Casio cách 1
Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu ${left( {tan frac{pi }{7}} right)^{{x^2} – x – 9}} – {left( {tan frac{pi }{7}} right)^{x – 1}} le 0$
Kiểm tra khoảng nghiệm $x le – 2$ với cận dưới X= -10 và cận trên X= -2

Hai cận đều nhận $ Rightarrow $ $x le – 2$ nhận $ Rightarrow $ Đáp số chính xác chỉ có thể là A hoặc D
Kiểm tra khoảng nghiệm $x ge 4$ với cận dưới X=4 và cận trên X= 10
Hai cận đều nhận $ Rightarrow $ $x ge 4$ nhận
Tóm lại đáp số chính xác là D
Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm $x le – 2$ với ngoài cận trên X= -2+ 0.1 và cận trên X= -2

Ngoài cận trên X= -2+ 0.1 vi phạm nên A nhận đồng thời C sai
Kiểm tra khoảng nghiệm $x ge 4$ với ngoài cận dưới X= 4 -0.1 và cận dưới X=4

Ngoài cận dưới X= 4 -0.1 vi phạm nên B nhận đồng thời C sai
Tóm lại A , B đều nhận nên hợp của chúng là D là đáp số chính xác.

Bài 5. Bất phương trình ${2^{{x^2}}}{.3^x} < 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên.
A. 1
B. Vô số
C. 0
D. 2
(THPT HN Amsterdam 2017)
(Xem đáp án ở Bài 5 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn)

Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình ${32.4^x} – {18.2^x} + 1 < 0$ là tập con của tập?
A. (-5, -2)
B. (-4; 0)
C. (1;4)
D. (-3; 1)
(Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017)
(Xem đáp án ở Bài 6 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn)

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button