Kiến thức

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và phương pháp tính

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và phương pháp tính

Mục lục bài viết
  1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy

    1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1

    2. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2

  2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz

  3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài viết khoảng cách giữa 2 đường thẳng bao gồm: công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian…

Bạn đang xem: Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và phương pháp tính

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy

Cho 2 đường thẳng chéo nhau:
d1 đi qua A có 1 VTCP overrightarrow{u_1}

d2 đi qua B có 1 VTCP overrightarrow{u_2}

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1

    [d(M,{d_1}) = frac{{left| {left[ {overrightarrow {AM} ,overrightarrow {{d_1}} } right]} right|}}[left| {overrightarrow {{d_1}} } right|]

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2

    [d({d_1},{d_2}) = frac{{left| {left[ {overrightarrow {{d_1}} ,overrightarrow {{d_2}} } right]overrightarrow {AB} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow {{d_1}} ,overrightarrow {{d_2}} } right]} right|}}]

Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng {d_1}:frac{{x + 7}}{3} = frac{{y - 5}}{{ - 1}} = frac{{z - 9}}{4},,{d_2}:frac{x}{3} = frac{{y + 4}}{{ - 1}} = frac{{z + 18}}{4}. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Ta dễ dàng kiểm tra được d1 và d2 là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kì thuộc d1, và tính khoảng cách từ điểm đó đến d2.

Gọi M( - 7;5;9) in {d_1}, H(0; - 4; - 18) in {d_2}.

Ta có:

overrightarrow {MH} = left( {7; - 9; - 27} right)

VTCP,{d_2}:overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = left( {3; - 1;4} right),

Rightarrow left[ {overrightarrow {MH} ;overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } right] = ( - 63; - 109;20)

Vậy: d({d_1};{d_2}) = d(M,{d_2}) = frac{{left| {left[ {overrightarrow {MH} ,overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } right]} right|}}{{left| {overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } right|}} = 25

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz

Cách 1:
Delta _1 đi qua M1. có 1 VTCP overrightarrow{u_1}
Delta _2 đi qua M2. có 1 VTCP overrightarrow{u_2}
d(Delta _1;Delta _2)=frac{left | [overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}] .overrightarrow{M_1M_2}right |}{[overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}]}

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Cách 2:
AB là đoạn vuông góc chung Delta _1Delta _2
Ain Delta _1, Bin Delta _2
Leftrightarrow left{begin{matrix} overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_1}=0\ overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_2}=0 end{matrix}right.
d(Delta _1;Delta _2)=AB

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Ví dụ:

Cho (d_1)left{begin{matrix} x=1+2t\ y=2+t\ z=-3+3t end{matrix}right.(d_2)left{begin{matrix} x=2+u\ y=-3+2u\ z=1+3u end{matrix}right.
a) CMR: d1, d2 chéo nhau
b) Tính d(d1;d2)

Lời giải:
a)
d1 đi qua M1(1;2;-3), có 1 VTCP overrightarrow{u_1}=(2;1;3)
d2 đi qua M2(2;-3;1), có 1 VTCP overrightarrow{u_2}=(1;2;3)
left [ overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right ]= left ( begin{vmatrix} 1   3\ 2   3 end{vmatrix};begin{vmatrix} 3   2\ 3   1 end{vmatrix};begin{vmatrix} 2   1\ 1   2 end{vmatrix} right )\=(-3;-3;3)
overrightarrow{M_1M_2}=(1;-5;4)
left [ overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right ].overrightarrow{M_1M_2}= -3.1+(-3)(-5)+3.4\=24neq 0
Vậy d1, d2 chéo nhau
b)
Cách 1:
d(d_1;d_2)=frac{left | [overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}.overrightarrow{M_1M_2 }] right |}{left | overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right |}\= frac{24}{sqrt{(-3)^2+(-3)^2+3^2}}=frac{24}{3sqrt{3}}=frac{8}{sqrt{3}}
=frac{8sqrt{3}}{3}
Cách 2:
A(1+2t;2+t;-3+3t)in d_1
B(2+u;-3+2u;1+3u)in d_2
AB là đoạn vuông góc chung
Leftrightarrow left{begin{matrix} overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_1}=0\ overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_2}=0 end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} t\ u end{matrix}right.
AB = d(d1;d2)

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó dleft( {a,b} right) = MN. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó d(Delta ,Delta ') = d(Delta ',(alpha ))

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I.
  • Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ IJ bot Delta '.

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d(Delta ,Delta ') = IJ.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆.
  • Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm M in Delta dựng đoạn MN bot left( alpha right), lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆.
  • Bước 3: Gọi H = d cap Delta ', dựng HKparallel MN

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(Delta ,Delta ') = HK = MN.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Hoặc

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (alpha ) bot Delta tại I.
  • Bước 2: Tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α).
  • Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ bot d, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng HMparallel IJ.

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(Delta ,Delta ') = HM = IJ.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi left{ begin{array}{l}overrightarrow {AM} = xoverrightarrow {AB} \overrightarrow {CN} = yoverrightarrow {CD} \overrightarrow {MN} .overrightarrow {AB} = 0\overrightarrow {MN} .overrightarrow {CD} = 0end{array} right.
b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} thì OH = dleft( {O,left( alpha right)} right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {OH} bot overrightarrow {{u_1}} \overrightarrow {OH} bot overrightarrow {{u_2}} \H in left( alpha right)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {OH} .overrightarrow {{u_1}} = 0\overrightarrow {OH} .overrightarrow {{u_2}} = 0\H in left( alpha right)end{array} right..
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

4.4 / 5 ( 8 bình chọn )

Bài viết cùng chuyên mục

  • Chuyên đề số chính phương

  • Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

  • Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

  • Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

  • Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

  • Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

  • Góc giữa 2 vecto trong không gian

  • Công thức Hê Rông (Heron) – Chứng minh và bài tập áp dụng

  • Dấu hiệu chia hết cho 2 3 5 9 4 8 25 125 11

  • Ước số là gì – Bội số là gì?

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button