Kiến thức

Bài tập tìm cực trị của hàm số hợp có đáp án chi tiết-Tự Học 365

Bạn đang xem: Bài tập tìm cực trị của hàm số hợp có đáp án chi tiết-Tự Học 365

Bài tập tìm cực trị của hàm số hợp có đáp án chi tiết

Bài tập tìm cực trị của hàm số hợp có đáp án chi tiết

Bài tập vận dụng!

BÀI TẬP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP CÓ ĐÁP ÁN

Bài tập 1: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)=left( 3-x right)left( {{x}^{2}}-1 right)+2x,forall xin mathbb{R}.$ Hỏi hàm số $gleft( x right)=fleft( x right)-{{x}^{2}}-1$ đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?

A. $x=-1.$  B. $x=1.$ C. $x=3.$ D. $x=0.$

Lời giải chi tiết

HD: Ta có $g’left( x right)=f’left( x right)-2x=left( 3-x right)left( {{x}^{2}}-1 right);g’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=3text{  }  \   x=pm 1  \end{matrix} right.$

Lập bảng xét dấu $xrightarrow[{}]{}$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1.$Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)=left( x+3 right)left( 9-{{x}^{2}} right)-3{{x}^{2}},forall xin mathbb{R}.$ Hỏi hàm số $gleft( x right)=fleft( x right)+{{x}^{3}}-1$ đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

A. $x=3.$ B. $x=-3.$ C. $x=0.$ D. $x=-1.$

Lời giải chi tiết

HD: Ta có $g’left( x right)=f’left( x right)+3{{x}^{2}}=left( x+3 right)left( 9-{{x}^{2}} right)={{left( x+3 right)}^{2}}left( 3-x right);g’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-3text{  }  \   x=3text{    }  \end{matrix} right.$

Và $g’left( x right)$ không đổi dấu khi qua điểm $x=-3Rightarrow x=3$là điểm cực đại. Chọn A.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)={{x}^{2}}-3x,forall xin mathbb{R}$ và $fleft( 0 right)ge 10$. Giá trị cực tiểu của hàm số $gleft( x right)=fleft( x right)+3$ có thể bằng

A. 13. B. 12. C. 16. D. 14.

Lời giải chi tiết

HD: Ta có $g’left( x right)=f’left( x right)={{x}^{2}}-3x;g’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{    }  \   x=3text{    }  \end{matrix} right.$

Suy ra $x=3$ là điểm cực tiểu của hàm số $Rightarrow gleft( 3 right)<gleft( 0 right)=fleft( 0 right)+3<13.$ Chọn B.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)={{x}^{2}}-2x,forall xin mathbb{R}.$ Hỏi hàm số $gleft( x right)=fleft( 1-x right)$ đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. $x=1.$  B. $x=-1.$ C. $x=0.$ D. $x=2.$

Lời giải chi tiết

HD: Ta có $g’left( x right)=-f’left( 1-x right)=-left( 1-x right)left( -1-x right)=left( 1-x right)left( x+1 right)$

Phương trình $g’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=1text{  }  \   x=-1  \end{matrix} right.xrightarrow{{}}x=1$ là điểm cực đại. Chọn A.

Bài tập 5: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-3x right)left( 1-x right)$trên $mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số $gleft( x right)=fleft( {{x}^{2}}-x+1 right)$ là

A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-3x right)left( 1-x right)$

Khi đó: $g’left( x right)=left[ fleft( {{x}^{2}}-x+1 right) right]begin{matrix}   ‘  \   {}  \end{matrix}=left( 2x-1 right)f’left( {{x}^{2}}-x+1 right)=left( 2x-1 right)left( {{x}^{2}}-x+1 right)left( {{x}^{2}}-x-2 right)left( x-{{x}^{2}} right)$

$=left( 2x-1 right)left( {{x}^{2}}-x+1 right)left( x+1 right)left( x-2 right)xleft( 1-x right)$

Do   đổi dấu qua 5 điểm suy ra hàm số   có 5 điểm cực trị. Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-1 right)left( {{x}^{2}}-4x+3 right)$trên $mathbb{R}$. Số điểm cực đại của hàm số $gleft( x right)=fleft( {{x}^{2}}+2x right)$ là

A. 1. B. 2. C. 4. D. 5.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f’left( x right)={{left( x-1 right)}^{2}}left( x+1 right)(x-3)$

Khi đó: $g’left( x right)=left( 2x+2 right)f’left( {{x}^{2}}+2x right)=left( 2x+2 right){{left( {{x}^{2}}+2x-1 right)}^{2}}left( {{x}^{2}}+2x+1 right)left( {{x}^{2}}+2x-3 right)$

$=left( 2x+2 right){{left( {{x}^{2}}+2x-1 right)}^{2}}{{left( x+1 right)}^{2}}left( x-1 right)left( x+3 right).$Ta có bảng xét dấu:

Do $g’left( x right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua 1 điểm nên hàm số $gleft( x right)$ có 1 điểm cực đại. Chọn A.

Bài tập 7: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-4 right)left( {{x}^{2}}-2x right)$trên $mathbb{R}$. Số điểm cực tiểu của hàm số $gleft( x right)=fleft( {{x}^{2}}+3x right)$ là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4..

Lời giải chi tiết

Ta có: $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-2 right)left( x+2 right)x$

Khi đó: $g’left( x right)=left( 2x+3 right)f’left( {{x}^{2}}+3x right)=left( 2x+3 right){{left( {{x}^{2}}+3x-2 right)}^{2}}left( {{x}^{2}}+3x+2 right)left( {{x}^{2}}+3x right)$

$=left( 2x+3 right){{left( {{x}^{2}}+3x-2 right)}^{2}}left( x+1 right)left( x+2 right)xleft( x+3 right).$

Do $g’left( x right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua 3 điểm nên hàm số $gleft( x right)$ có 3 điểm cực tiểu. Chọn C.

Bài tập 8: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-3x+2 right)left( x-1 right)$và $gleft( x right)=-2fleft( 2-x right)+{{x}^{2}}.$ Hàm số đạt cực trị tại điểm x bằng

A. $x=2.$  B. $x=-2.$ C. $x=-3.$ D. $x=3.$

Lời giải chi tiết

Ta có $f’left( x right)={{left( x-1 right)}^{2}}left( x-2 right)xrightarrow{{}}f’left( 2-x right)=-x{{left( 1-x right)}^{2}}$

Lại có $g’left( x right)=2fleft( 2-x right)+2x=-2x{{left( 1-x right)}^{2}}+2x=2{{x}^{2}}left( 2-x right).$

Phương trình $g’left( x right)=0Leftrightarrow 2{{x}^{2}}left( 2-x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0  \

x=2  \end{matrix}. right.$

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm   Chọn A.

Bài tập 9: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right)$ có mấy điểm cực trị?

A. 9. B. 7. C. 6. D. 5.

Lời giải chi tiết

Ta có $y=left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right)xrightarrow{{}}y’=frac{2x-1}{2sqrt{{{x}^{2}}+x+2}}.f’left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right).$

Xét $y’=0Leftrightarrow left( 2x+1 right).f’left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-frac{1}{2}text{                             }  \   f’left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right)=0text{     (*)}  \end{matrix} right.$

Lại có $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=pm 1  \   x=2text{  }  \   x=4text{  }  \   {}  \end{matrix} right.$ suy ra (*)$Leftrightarrow left[ begin{matrix}   sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=pm 1  \   sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=2text{  }  \   sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=4text{  }  \end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix}   {{x}^{2}}+x+1=0  \   {{x}^{2}}+x=2text{    }  \   {{x}^{2}}+x=14text{   }  \end{matrix} right.$ (có 4 nghiệm).

Suy ra hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 10: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

Số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( 2x-1 right) right|$ là:

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=left| fleft( x right) right|$ thì $y’=frac{f’left( x right).fleft( x right)}{left| fleft( x right) right|}$

Ta có: $y=left| fleft( 2x-1 right) right|Rightarrow y’=frac{left[ fleft( 2x-1 right) right]’.fleft( 2x-1 right)}{left| fleft( 2x-1 right) right|}=frac{2f’left( 2x-1 right).fleft( 2x-1 right)}{left| fleft( 2x-1 right) right|}(*)$

Dựa vào BBT suy ra phương trình $fleft( x right)=0$ có một nghiệm $x=a>2$ nên phương trình

$fleft( 2x-1 right)=0Leftrightarrow 2x-1=a(1)$có 1  nghiệm.

$f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-3  \   x=2text{  }  \end{matrix} right.Rightarrow fleft( 2x-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   2x-1=-3  \   2x-1=2text{  }  \end{matrix} right.(2)$

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số $y=left| fleft( 2x-1 right) right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn A.

Bài tập 11: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới:

Số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right|$ là:

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-2  \   x=3text{  }  \end{matrix} right.$

Ta có: $y=left( left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right| right)begin{matrix}   ‘  \   {}  \end{matrix}=frac{fleft( {{x}^{2}}+2 right)left[ fleft( {{x}^{2}}+2 right) right]’}{left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right|}=frac{fleft( {{x}^{2}}+2 right).2x.f’left( {{x}^{2}}+2 right)}{left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right|}(*)$

Dựa vào BBT ta có thể giả sử $fleft( x right)=0$ có 1 nghiệm duy nhất là$x=a>3$

Khi đó $fleft( {{x}^{2}}+2 right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2=a(1)$

Mặt khác $2x.f’left( {{x}^{2}}+2 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{              }  \   {{x}^{2}}+2=-2(2)  \   {{x}^{2}}+2=3text{        }  \end{matrix} right.$

Từ (1) và (2) suy ra (*) có 5 nghiệm phân biệt suy ra hàm số $y=left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right|$ có 5 điểm cực trị.

Chọn C.

Bài tập 12: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)={{left( x+1 right)}^{2}}left( {{x}^{2}}-3x right),$với mọi $xin mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số$y=fleft( {{x}^{2}}-4x-m right)$ có 5 điểm cực trị?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có $g’left( x right)=left( 2x-4 right)f’left( {{x}^{2}}-4x-m right)=2left( x-2 right){{left( t+1 right)}^{2}}left( {{t}^{2}}-3t right)$ (với $t={{x}^{2}}-4x-m$)

Số điểm cực trị của hàm số $gleft( x right)$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $left( x-2 right)left( {{t}^{2}}-3t right)=0$

$Leftrightarrow left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-4x-m right)left( {{x}^{2}}-4x-m-3 right)=0$

Hàm số có 5 điểm cực trị khi các phương trình $uleft( x right)={{x}^{2}}-4m-m=0$ và $vleft( x right)={{x}^{2}}-4m-m-3=0$

Có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 2 $Leftrightarrow left{ begin{matrix}   Delta _{u}^{‘}=4+m>0text{    }  \   Delta _{u}^{‘}=4+m+3>0  \   uleft( 2 right)=-4-mne 0  \   vleft( 2 right)=-7-mne 0  \end{matrix} right.Leftrightarrow m>-4$

Vậy 3 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.

Bài tập 13: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)={{left( x-2 right)}^{4}}left( {{x}^{3}}-x right),$với mọi $xin mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;0 right]$ để hàm số$y=fleft( {{x}^{2}}+m right)$ có 7 điểm cực trị?

A. 9. B. 7. C. 8. D. 10.

Lời giải chi tiết

Ta có $g’left( x right)=left[ fleft( {{x}^{2}}+m right) right]’=2x.f’left( {{x}^{2}}+m right)=2x{{left( t-2 right)}^{4}}left( {{t}^{3}}-t right)$ (với $t={{x}^{2}}+m$)

Số điểm cực trị của hàm số $gleft( x right)$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $x.tleft( {{t}^{2}}-1 right)$

$Leftrightarrow xleft( {{x}^{2}}+m right)left( {{x}^{2}}+m-1 right)left( {{x}^{2}}+m+1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{          }  \   {{x}^{2}}=-mtext{     }  \   {{x}^{2}}=1-mtext{  }  \   {{x}^{2}}=-1-m  \end{matrix} right.(*)$

PT (*) có 7 nghiệm phân biệt khi $Leftrightarrow left{ begin{matrix}   -m>0text{     }  \   1-m>0text{  }  \   -1-m>0  \end{matrix} right.Leftrightarrow m<-1.$

Vậy có 8 giá trị nguyên âm của $min left[ -10;0 right]$ thỏa mãn. Chọn C.

Bài tập 14: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục trên khoảng $mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Số giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để hàm số$gleft( x right)={{left[ fleft( x right)+m right]}^{2}}$ có 5 điểm cực trị là:

A. 11. B. 10. C. 9. D. 12.

Lời giải chi tiết

Ta có: $g’left( x right)=2.f’left( x right).left[ fleft( x right)+m right]=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   f’left( x right)=0text{   }  \   fleft( x right)=-m  \end{matrix} right.$

Do hàm số $y=fleft( x right)$ có 3 điểm cực trị nên phương trình $f’left( x right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Để hàm số$gleft( x right)$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $fleft( x right)=-m$ có 2 nghiệm phân biệt

$Leftrightarrow left[ begin{matrix}   -2le m<0  \   mle -3text{     }  \end{matrix} right.$

Chú ý:Với $m=-2,m=-3$ thì $f’left( x right)=-m$ có nghiệm kép tại $x=-2.$

Kết hợp với $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ -10;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 right}.$ Chọn B.

Bài tập 15: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} right)left( {{x}^{3}}-2x right),$với mọi $xin mathbb{R}$. Hàm số$y=left| fleft( 1-2018x right) right|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 9. B. 2018. C. 2022. D. 11.

Lời giải chi tiết

Ta có $f’left( x right)=left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} right)left( {{x}^{3}}-2x right)={{x}^{3}}left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-2 right);forall xin mathbb{R}.$

Số điểm cực trị của hàm số $y=gleft( x right)=left| fleft( 1-2018x right) right|$ là tổng số nghiệm của phương trình

$g’left( x right)=0Leftrightarrow 2018.f’left( 1-2018x right)=0xrightarrow{{}}$ có 4 điểm.

Số nghiệm của phương trình $left( 1-2018x right)=0xrightarrow{{}}$ có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm có 4 nghiệm.

Vậy hàm số đã cho có tối đa 9 điểm cực trị. Chọn A.

Bài tập 16: Hàm số đa thức bậc sáu $y=fleft( x right)$ có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.

Hàm số $gleft( x right)=fleft( 3-sqrt{3}x right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải chi tiết

Số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( ax+b right)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( x right)$

Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số $y=fleft( x right)$ có 5 điểm cực trị.

Chọn C.

Bài tập 13: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và có bảng xét dấu như hình vẽ.

Gọi m, n lần lượt là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số. Tính ${{m}^{2}}-2n.$

A. 3. B. 6. C.$-1$D. 0.

Lời giải chi tiết

Ta thấy $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-1  \   x=2text{  }  \   x=4text{  }  \end{matrix} right.$ và $f’left( x right)$ không xác định tại $x=0.$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button