Kiến thức

Bài tập tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) của hàm số ó đáp án chi tiết

Bạn đang xem: Bài tập tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) của hàm số ó đáp án chi tiết

Bài tập tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) của hàm số ó đáp án chi tiết

Bài tập tìm giá trị lớn nhất (Max)

Bài tập vận dụng!

BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ  CÓ ĐÁP ÁN

Dưới đây là bài tập tìm GTLN – GTNN của hàm số có đáp án

Bài tập 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  $y={{x}^{3}}-3x+5$ trên đoạn [0;2] là

A. 0. B. 3. C. 5. D. 7.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3x+5$ trên [0;2], có $f'(x)=3{{x}^{2}}-3$

Phương trình $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 0le xle 2 \  {} 3{{x}^{2}}-3=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=1$

Tính $f(0)=5;f(1)=3;f(2)=7.$ Vậy $underset{text{ }!![!!text{ }0;2]}{mathop{min }},f(x)=f(1)=3$.

Bài tập 2: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$ trên đoạn [0;2] là

A. 64. B. 1. C. 0. D. 9.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Xét hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$ trên [0;2], có $f'(x)=4{{x}^{3}}-4x$

Phương trình $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 0le xle 2 \  {} 4{{x}^{3}}-4x=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}  {} x=0 \  {} x=1 \ end{array} right.$

Tính $f(0)=1;f(1)=0;f(2)=9.$ Vậy $underset{text{ }!![!!text{ }0;2]}{mathop{max }},f(x)=f(2)=9.$

Bài tập 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}$ trên đoạn [2;4] là

A. 7. B. 6. C. $frac{19}{3}$  D. $frac{13}{3}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Cần nhớ công thức đạo hàm:  ${{left( frac{u}{v} right)}^{‘}}=frac{u’v-uv’}{{{v}^{2}}}$

Cách 1: Xét hàm số $f(x)=frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}$ trên [2;4], có $f'(x)=frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{(x-1)}^{2}}}$

Phương trình $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 2le xle 4 \  {} {{x}^{2}}-2x-3=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=3$

Tính $f(2)=7;f(3)=6;f(4)=frac{19}{3}.$ Vậy $underset{text{ }!![!!text{ 2;4 }!!]!!text{ }}{mathop{min }},f(x)=f(3)=6$.

Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7)

Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7

Bước 2: Nhập $f(X)=frac{{{X}^{2}}+3}{X-1}$

Sau đó ấn phím = (nếu có $g(X)$ thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập $left{ begin{array}  {} Star=2 \  {} End=4 \  {} Step=0.2 \ end{array} right.$

(Chú ý: Thường ta chọn $Step=frac{End-Start}{10}$)

Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN:

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy $underset{text{ }!![!!text{ }2;4]}{mathop{min }},f(x)=f(3)=6.$

Bài tập 4: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  $f(x)=frac{3x-1}{x-3}$ trên đoạn [0;2]. Giá trị của 3M + m bằng

A. 0. B. – 4. C. – 2.  D. 1.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Xét hàm số $f(x)=frac{3x-1}{x-3}$trên [0;2] có $f'(x)=-frac{8}{{{(x-3)}^{2}}}<0$

Suy ra $f(x)$ là hàm số nghịch biến trên (0;2) $Rightarrow left{ begin{array}  {} underset{text{ }!![!!text{ 0;2 }!!]!!text{ }}{mathop{min }},f(x)=f(2)=-5 \  {} underset{text{ }!![!!text{ 0;2 }!!]!!text{ }}{mathop{max }},f(x)=f(0)=frac{1}{3} \ end{array} right.$

Vậy $M=frac{1}{3}Rightarrow 3M=3;m=-5to 3M+m=-2$

Bài tập 5: Giá trị lớn nhất của hàm số  $y=sqrt{3x-2x-{{x}^{2}}}$ là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Cần nhớ công thức đạo hàm: ${{left( sqrt{u} right)}^{‘}}=frac{u’}{2sqrt{u}}$

Điều kiện xác định: $3-2x-{{x}^{2}}ge 0Leftrightarrow -3le xle 1$

Xét hàm số $f(x)=sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}$ trên [-3;1], có $f'(x)=frac{-2-2x}{2sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}}=-frac{x+1}{sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}};$

Phương trình $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array}  {} -3<x<1 \  {} x+1=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=-1$

Tính $f(-3)=0;f(-1)=2;f(1)=0.$ Vậy $underset{text{ }!![!!text{ }-3;1]}{mathop{max}},f(x)=f(-1)=2.$

Bài tập 6: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=xsqrt{1-{{x}^{2}}}.$ Giá trị của

M – 2m bằng

A. 0. B. $-frac{1}{2}.$  C. 1. D. $frac{3}{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Điều kiện xác định:  $1-{{x}^{2}}ge 0Leftrightarrow -1le xle 1$

Xét hàm số $f(x)=xsqrt{1-{{x}^{2}}}$ trên [-1;1], có $f'(x)=sqrt{1-{{x}^{2}}}-frac{{{x}^{2}}}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}=frac{1-2{{x}^{2}}}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}$

Phương trình $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array}  {} -1<x<1 \  {} 1-2{{x}^{2}}=0 \

end{array} right.Leftrightarrow x=left{ -frac{sqrt{2}}{2};frac{sqrt{2}}{2} right}$

Tính $f(-1)=f(1)=0;fleft( -frac{sqrt{2}}{2} right)=-frac{1}{2};fleft( -frac{sqrt{2}}{2} right)=frac{1}{2}$

Vậy $left{ begin{array}  {} m=underset{text{ }!![!!text{ }-1;1]}{mathop{min }},f(x)=-frac{1}{2} \  {} M=underset{text{ }!![!!text{ }-1;1]}{mathop{max }},f(x)=frac{1}{2} \ end{array} right.to M-2m=frac{1}{2}-2.left( -frac{1}{2} right)=frac{3}{2}$

Bài tập 7: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=sqrt{1-x}+sqrt{1+x}$. Giá trị của $M-2{{m}^{2}}$ bằng

A. – 2. B. 2. C. 0. D. – 1.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Điều kiện xác định: $left{ begin{array}  {} 1-xge 0 \  {} x+1ge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -1le xle 1$

Xét hàm số $f(x)=sqrt{1-x}+sqrt{1+x}$  trên [-1;1], có $f'(x)=-frac{1}{2sqrt{1-x}}+frac{1}{2sqrt{1+x}};$

Phương trình  $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array}  {} -1<x<1 \  {} sqrt{1-x}=sqrt{1-x} \ end{array} right.Leftrightarrow x=0$. Tính $f(-1)=f(1)=sqrt{2};f(0)=2$

Vậy $left{ begin{array}  {} m=underset{text{ }!![!!text{ }-1;1]}{mathop{min }},f(x)=sqrt{2} \  {} M=underset{text{ }!![!!text{ }-1;1]}{mathop{max }},f(x)=2 \ end{array} right.to M-2{{m}^{2}}=2-2.2=-2$

Bài tập 8: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=sqrt{x-1}+sqrt{3-x}-2sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}$ là

A. 0. B. $-sqrt{2}.$  C. $sqrt{2}.$  D. $frac{9}{4}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Điều kiện xác định: $left{ begin{array}  {} x-1ge 0 \  {} 3-xge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow 1le xle 3$

Đặt $t=sqrt{x-1}+sqrt{3-x},$ ta có $t’=frac{1}{2sqrt{x-1}}-frac{1}{sqrt{3-x}};,t’=0Leftrightarrow x=2$

Tính  $t(1)=t(3)=sqrt{2};t(2)=2xrightarrow{{}}sqrt{2}le tle 2$

Khi đó ${{t}^{2}}=2+2sqrt{(x-1)(3-x)}=2+2sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}Leftrightarrow 2sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}={{t}^{2}}-2$

Do đó $y=f(t)=t-({{t}^{2}}-2)=-{{t}^{2}}+t+2$

Xét $f(t)=-{{t}^{2}}+t+2$ trên $left[ sqrt{2};2 right]xrightarrow{{}}underset{text{ }!![!!text{ }sqrt{2};2]}{mathop{max }},f(t)=sqrt{2}.$ Vậy $underset{text{ }!![!!text{ }1;3]}{mathop{max }},y=sqrt{2}$

Bài tập 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  $y=2{{cos }^{3}}x-frac{9}{2}{{cos }^{2}}x+3cos x+frac{1}{2}$ là

A. – 9. B. 1. C. $-frac{3}{2}.$  D. $frac{1}{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Đặt $t=cos xin text{ }!![!!text{ }-1;1],$ khi đó $y=f(t)=2{{t}^{3}}-frac{9}{2}{{t}^{2}}+3t+frac{1}{2}$

Xét hàm số $f(t)=2{{t}^{3}}-frac{9}{2}{{t}^{2}}+3t+frac{1}{2}$ trên [-1;1], có $f'(t)=8{{t}^{2}}-9t+3>0,forall t$

Suy ra $f(t)$ là hàm số đồng biến trên $(-1;1)Rightarrow underset{text{ }!![!!text{ }-1;1]}{mathop{min }},f(t)=f(-1)=1.$

Bài tập 10: Giá trị lớn nhất của hàm số $y={{sin }^{3}}x+cos 2x+sin x+3$ là

A. 0. B. 5. C. 4. D. $frac{112}{27}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Cần nhớ công thức lượng giác: $cos 2x=1-2{{sin }^{2}}x$

Ta có $y={{sin }^{3}}x+1-2{{sin }^{2}}x+sin x+3={{sin }^{3}}x-2{{sin }^{2}}x+sin x+4$

Đặt $t=sin xin text{ }!![!!text{ }-1;1],$ khi đó $y=f(t)={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+t+4$

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+t+4$ trên [-1;1], có $f'(t)=3{{t}^{2}}-4t+1;$

Phương trình $f'(t)=0Leftrightarrow left{ begin{array}  {} -1le tle 1 \  {} 3{{t}^{2}}-4t+1=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}  {} t=1 \  {} t=frac{1}{3} \ end{array} right.$

Tính $f(-1)=0;fleft( frac{1}{3} right)=frac{112}{27};f(1)=4.$ Vậy ${{y}_{max }}=frac{112}{27}.$

Bài tập 11: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $f(x)=left| -{{x}^{2}}-4x+5 right|$ trên đoạn [-6;6]

A. 110. B. 9. C. 55. D. 7.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Xét hàm số $g(x)=-{{x}^{2}}-4x+5$ liên tục trên đoạn [-6;6]

Đạo hàm $g'(x)=-2x-4to g'(x)=0Leftrightarrow x=-2in text{ }!![!!text{ }-6;6]$

Lại có $g(x)=0Leftrightarrow -{{x}^{2}}-4x+5=0Leftrightarrow left[ begin{array}  {} x=1in text{ }!![!!text{ }-6;6] \  {} x=-5in text{ }!![!!text{ }-6;6] \ end{array} right.$

Tính $left{ begin{array}  {} g(-6)=-7 \  {} g(-2)=9 \  {} g(6)=-55 \  {} g(1)=g(-5)=0 \ end{array} right.to underset{text{ }!![!!text{ }-6;6]}{mathop{max }},f(x)=underset{text{ }!![!!text{ }-6;6]}{mathop{max }},left{ left| g(-6) right|;left| g(-2) right|;left| g(6) right|;left| g(1) right|;left| g(-5) right| right}=55.$

Nhận xét: bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.

Bài tập 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $f(x)=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|-x$ trên đoạn [-4;4]

A. 2. B. 17. C. 34. D. 68.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn [-4;4]

  •    Nếu $xin text{ }!![!!text{ }1;2]$ thì ${{x}^{2}}-3x+2le 0$ nên suy ra $f(x)=-{{x}^{2}}+2x-2$

Đạo hàm $f'(x)=-2x+2to f'(x)=0Leftrightarrow x=1in text{ }!![!!text{ }1;2].$ Ta có $left{ begin{array}  {} f(1)=-1 \  {} f(2)=-2 \ end{array} right.$

  •    Nếu $xin text{ }!![!!text{ }-4;1]cup text{ }!![!!text{ }2;4]$ thì ${{x}^{2}}-3x+2ge 0$ nên suy ra $f(x)={{x}^{2}}-4x+2$

Đạo hàm $f'(x)=2x-4to f'(x)=0Leftrightarrow x=2in text{ }!![!!text{ }-4;1]cup text{ }!![!!text{ }2;4].$ Ta có $left{ begin{array}  {} f(-4)=34 \  {} f(1)=-1 \  {} f(2)=-2 \  {} f(4)=2 \ end{array} right.$

So sánh hai trường hợp, ta được $underset{text{ }!![!!text{ }-4;4]}{mathop{max }},f(x)=f(-4)=34.$

Bài tập 13: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn [-2;4] như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y=left| f(x) right|$ trên đoạn [-2;4]?

A. 2. B. 3. C. 1. D. $left| f(0) right|.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn [-2;4]

Ta suy ra đồ thị hàm số $left| f(x) right|$ trên [-2;4] như hình vẽ.

Do đó $underset{text{ }!![!!text{ }-2;4]}{mathop{max }},left| f(x) right|=3$ tại $x=-1$

Bài tập 14: Cho $(P):y={{x}^{2}}$ và $Aleft( -2;frac{1}{2} right)$. Gọi M là điểm bất kì thuộc (P). Khoảng cách MA bé nhất là

A. $frac{5}{4}.$  B. $frac{2sqrt{3}}{3}.$  C. $frac{sqrt{2}}{2}.$  D. $frac{sqrt{5}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Vì M thuộc parabol (P) $Rightarrow M(m;{{m}^{2}})Rightarrow overrightarrow{AM}=left( m+2;{{m}^{2}}-frac{1}{2} right)$

Suy ra $M{{A}^{2}}={{left| overline{AM} right|}^{2}}={{(m+2)}^{2}}+{{left( m-frac{1}{2} right)}^{2}}={{m}^{4}}+4m+frac{17}{4}$

Xét hàm số $f(m)={{m}^{4}}+4m+frac{17}{4},$ có $f'(m)=4{{m}^{3}}+4;f'(m)=0Leftrightarrow m=-1$

Do đó $min f(m)=f(-1)=1-4+frac{17}{4}=frac{5}{4}to M{{A}_{min }}=sqrt{frac{5}{4}}=frac{sqrt{5}}{2}.$

Bài tập 15: Cho hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn [-1;1] thỏa mãn $f(x)>0,g(x)>0,forall xin text{ }!![!!text{ }-1;1]$ và $f'(x)ge g'(x)ge 0,forall xin text{ }!![!!text{ }-1;1].$ Gọi m là giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] của hàm số $h(x)=2f(x).g(x)-{{g}^{2}}(x).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m=h(-1).$  B. $m=h(0).$  C. $m=frac{h(-1)+h(1)}{2}.$  D. $m=h(1).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $h'(x)=2.left[ f'(x).g(x)+f(x).g'(x) right]-2g'(x).g(x);,,forall xin text{ }!![!!text{ }-1;1]$

Suy ra $h(x)=2.g(x).left[ f'(x)-g'(x) right]+2f(x).g'(x)ge 0$ vì $f'(x)-g'(x)ge 0$

Do đó $h(x)$ là hàm số đồng biến trên [-1;1] $Rightarrow underset{text{ }!![!!text{ }-1;1]}{mathop{min }},h(x)=h(-1).$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button