Kiến thức

Bài tập tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số (Đặt x = hàm theo biến t)-Tự Học 365

Bài tập tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số (Đặt x = hàm theo biến t)

Bài tập tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số (Đặt x = hàm theo biến t)

Bài tập vận dụng!

Bài tập tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số (Đặt x = hàm theo biến t)

Bạn đang xem: Bài tập tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số (Đặt x = hàm theo biến t)-Tự Học 365

Phương pháp đổi biến số đặt x = hàm theo biến t

@ Mẫu 1: Nếu $fleft( x right)$ có chứa $sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ ta đặt $x=asin t,,left( tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right] right)$

$Rightarrow left{ begin{array} {} dx=acos tdt \ {} sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{sin }^{2}}t}=left| a right|cos t \ end{array} right.$

@ Mẫu 2: Dạng $sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}$ thì đổi biến số $x=atan t,,,,,left( tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right) right)$

$Rightarrow left{ begin{array} {} dx=frac{adt}{{{cos }^{2}}t} \ {} sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{tan }^{2}}t}=frac{left| a right|}{cos t} \ end{array} right.$

@ Mẫu 3: Dạng $sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$ thì ta đặt $x=frac{a}{sin t}$ (hoặc $x=frac{a}{cos t}$).

$Rightarrow left{ begin{array} {} dx=frac{-acos tdt}{{{sin }^{2}}t} \ {} sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}{{cot }^{2}}t} \ end{array} right.$

@ Mẫu 4: Dạng $int{frac{dx}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}$ thì ta đặt $x=atan t.$

@ Mẫu 5: Nếu $fleft( x right)$ có chứa $sqrt{frac{a+x}{a-x}}$ thì đặt $x=acos 2txrightarrow{,}left{ begin{array} {} dx=dleft( acos 2t right)=-2a.sin 2tdt \ {} sqrt{frac{a+x}{a-x}}=sqrt{frac{1+cos 2t}{1-cos 2t}}=sqrt{frac{{{cos }^{2}}t}{{{sin }^{2}}t}} \ end{array} right.$

Ü Một số kết quả quan trọng cần lưu ý khi giải trắc nghiệm:

Ø $int{frac{dx}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}=frac{1}{a}arctan frac{x}{a}+C,,,,left( ane 0 right)$

Ø $int{frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}=frac{1}{2a}ln left| frac{x+a}{x-a} right|+C$

Ø $int{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}+a}}}=ln left| x+sqrt{{{x}^{2}}+a} right|+C,,,,left( ane 0 right)$

Ø $int{frac{dx}{sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=arcsin frac{x}{a}+C,,,,,left( a>0 right)$

Bài tập trắc nghiệm tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{sqrt{4-{{x}^{2}}}}};,,left( a=2 right)$ b) ${{I}_{2}}=int{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx},;,,left( a=1 right)$

c) ${{I}_{3}}=int{frac{{{x}^{2}}dx}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}};,,left( a=1 right)$ d) ${{I}_{4}}=int{{{x}^{2}}sqrt{9-{{x}^{2}}}dx};,,left( a=3 right)$

Lời giải chi tiết

a) Đặt $x=2sin tRightarrow left{ begin{array} {} dx=dleft( 2sin t right)=2cos tdt \ {} sqrt{4-{{x}^{2}}}=sqrt{4-4{{sin }^{2}}t}=2cos t \ end{array} right.xrightarrow{,}{{I}_{1}}=int{frac{dx}{sqrt{4-{{x}^{2}}}}}=int{frac{2cos tdt}{2cos t}}=int{dt}=t+C$

Từ phép đặt $x=2sin tLeftrightarrow t=arcsin left( frac{x}{2} right)xrightarrow{,,}{{I}_{1}}=arcsin left( frac{x}{2} right)+C$

b) Đặt $x=sin tRightarrow left{ begin{array} {} dx=dleft( sin t right)=cos tdt \ {} sqrt{1-{{x}^{2}}}=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=cos t \ end{array} right.$

Khi đó ${{I}_{2}}=int{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}=int{cos t.cos tdt}=int{frac{1+cos 2t}{2}dt}=frac{1}{2}int{dt}+frac{1}{2}int{cos 2tdt}=frac{t}{2}+frac{1}{4}sin 2t+C.$

Từ $x=sin tRightarrow left{ begin{array} {} cos t=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=sqrt{1-{{x}^{2}}} \ {} t=arcsin x \ end{array} right.xrightarrow{,}sin 2t=2sin t.cos t=2xsqrt{1-{{x}^{2}}}$

$xrightarrow{,}{{I}_{2}}=frac{arcsin x}{2}+frac{1}{2}xsqrt{1-{{x}^{2}}}+C$

c) Đặt $x=sin txrightarrow{,}left{ begin{array} {} dx=dleft( sin t right)=cos tdt \ {} sqrt{1-{{x}^{2}}}=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=cos t \ end{array} right.$

Khi đó, ${{I}_{3}}=int{frac{{{x}^{2}}dx}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}}=int{frac{{{sin }^{2}}t.cos tdt}{cos t}}=int{{{sin }^{2}}tdt}=int{frac{1-cos 2t}{2}dt}=frac{1}{2}t-frac{1}{4}sin 2t+C$

Từ $x=sin tRightarrow left{ begin{array} {} cos t=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=sqrt{1-{{x}^{2}}} \ {} t=arcsin x \ end{array} right.xrightarrow{{}}sin 2t=2sin t.cos t=2xsqrt{1-{{x}^{2}}}$

$xrightarrow{,}{{I}_{3}}=frac{arcsin x}{2}-frac{1}{2}xsqrt{1-{{x}^{2}}}+C$

d) Đặt $x=3sin txrightarrow{,}left{ begin{array} {} dx=dleft( 3sin t right)=3cos tdt \ {} sqrt{9-{{x}^{2}}}=sqrt{9-9{{sin }^{2}}t}=3cos t \ end{array} right.$

${{I}_{4}}=int{{{x}^{2}}sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}=int{9{{sin }^{2}}t.3cos tdt}=81int{{{sin }^{2}}t.{{cos }^{2}}tdt}=frac{81}{4}int{{{sin }^{2}}2tdt}=frac{81}{4}int{frac{1-cos 4t}{2}dt}$

$=frac{81}{4}left[ frac{1}{2}int{dt}-frac{1}{2}int{cos 4tdt} right]=frac{81}{4}left( frac{t}{2}-frac{1}{8}sin 4t right)+C$

Từ $x=3sin tRightarrow left{ begin{array} {} cos t=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=sqrt{1-frac{{{x}^{2}}}{9}} \ {} t=arcsin left( frac{x}{3} right) \ end{array} right.xrightarrow{,}sin 2t=frac{2x}{3}sqrt{1-frac{{{x}^{2}}}{9}}$

Mà $cos 2t=1-2{{sin }^{2}}t=1-2{{left( frac{x}{3} right)}^{2}}=1-frac{2{{x}^{2}}}{9}xrightarrow{,}sin 4t=2sin 2t.cos 2t=2.frac{2x}{3}sqrt{1-frac{{{x}^{2}}}{9}}.left( 1-frac{2{{x}^{2}}}{9} right)$

Từ đó ta được ${{I}_{4}}=frac{81}{4}left[ frac{arcsin left( frac{x}{3} right)}{2}-frac{x}{6}sqrt{1-frac{{{x}^{2}}}{9}}.left( 1-frac{2{{x}^{2}}}{9} right) right]+C.$

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{{{x}^{2}}+1}};,,left( a=1 right)$ b) ${{I}_{2}}=int{sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}dx}$ c) ${{I}_{3}}=int{frac{{{x}^{2}}dx}{sqrt{{{x}^{2}}+4}}};,,left( a=2 right)$

Lời giải chi tiết

a) Đặt $x=tan xxrightarrow{,,}left{ begin{array} {} dx=dleft( tan t right)=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}=left( 1+{{tan }^{2}}t right)dt \ {} 1+{{x}^{2}}=1+{{tan }^{2}}t \ end{array} right.xrightarrow{,}{{I}_{1}}=int{frac{left( 1+{{tan }^{2}}t right)dt}{1+{{tan }^{2}}t}}=int{dt}=t+C$

Từ giả thiết đặt $x=tan tLeftrightarrow t=arctan xxrightarrow{,}{{I}_{1}}=arctan x+C.$

b) Ta có ${{I}_{2}}=int{sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}dx}=int{sqrt{{{left( x+1 right)}^{2}}+4}dleft( x+1 right)}xrightarrow{t=x+1}I=int{sqrt{{{t}^{2}}+4}dt}$

Đặt $t=2tan uxrightarrow{,,}left{ begin{array} {} dt=dleft( 2tan u right)=frac{2du}{{{cos }^{2}}u} \ {} sqrt{4+{{t}^{2}}}=sqrt{4+4{{tan }^{2}}u}=frac{2}{cos u} \ end{array} right.xrightarrow{,,}{{I}_{2}}=int{frac{2du}{frac{2}{cos u}.{{cos }^{2}}u}}=int{frac{du}{cos u}}=int{frac{cos udu}{{{cos }^{2}}u}}$

$=int{frac{dleft( sin u right)}{1-{{sin }^{2}}u}}=frac{1}{2}int{frac{left( 1+sin u right)+left( 1-sin u right)}{left( 1+sin u right)left( 1-sin u right)}dleft( sin u right)}=frac{1}{2}int{frac{dleft( sin u right)}{1-sin u}}+frac{1}{2}int{frac{dleft( sin u right)}{1+sin u}}=frac{1}{2}ln left| frac{1+sin u}{1-sin u} right|+C.$

Từ phép đặt $t=2tan uLeftrightarrow tan u=frac{t}{2}xrightarrow{,}frac{1}{{{cos }^{2}}u}=1+frac{{{t}^{2}}}{4}xrightarrow{,}{{sin }^{2}}u=1-{{cos }^{2}}u=1-frac{4}{4+{{t}^{2}}}=frac{{{t}^{2}}}{4+{{t}^{2}}}$

Từ đó ta được ${{I}_{2}}=frac{1}{2}ln left| frac{1+sin u}{1-sin u} right|+C=frac{1}{2}ln left| frac{1+frac{t}{sqrt{4+{{t}^{2}}}}}{1-frac{t}{sqrt{4+{{t}^{2}}}}} right|+C=frac{1}{2}ln left| frac{1+frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}}}{1-frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}}} right|+C.$

c) Đặt $x=2tan txrightarrow{,}left{ begin{array} {} dx=dleft( 2tan t right)=frac{2dt}{{{cos }^{2}}t}=2left( 1+{{tan }^{2}}t right)dt \ {} sqrt{{{x}^{2}}+4}=sqrt{4{{tan }^{2}}t+4} \ end{array} right.$

$Rightarrow {{I}_{3}}=int{frac{4{{tan }^{2}}t.2left( 1+{{tan }^{2}}t right)dt}{2sqrt{1+{{tan }^{2}}t}}}=4int{{{tan }^{2}}tsqrt{1+{{tan }^{2}}t}dt}=4int{frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{3}}t}dt}$

$=4int{frac{{{sin }^{2}}t.cos tdt}{{{cos }^{4}}t}}=4int{frac{{{sin }^{2}}t.dleft( sin t right)}{{{left( 1-{{sin }^{2}}t right)}^{2}}}}$

Đặt $u=sin txrightarrow{,}{{I}_{3}}=4int{frac{{{u}^{2}}}{{{left( 1-{{u}^{2}} right)}^{2}}}du}=4int{{{left( frac{u}{1-u} right)}^{2}}du}=4int{{{left[ frac{1}{2}frac{left( 1+u right)-left( 1-u right)}{left( 1+u right)left( 1-u right)} right]}^{2}}du}$

$=int{{{left( frac{1}{1-u}-frac{1}{1+u} right)}^{2}}du}=int{frac{du}{{{left( 1-u right)}^{2}}}}+int{frac{du}{{{left( 1+u right)}^{2}}}}-int{frac{2du}{left( 1-u right)left( 1+u right)}}$

$=-int{frac{dleft( 1-u right)}{{{left( 1-u right)}^{2}}}}+int{frac{dleft( 1+u right)}{{{left( 1+u right)}^{2}}}}-int{frac{left( 1-u right)left( 1+u right)du}{left( 1-u right)left( 1+u right)}}$

$=-frac{1}{1-u}-frac{1}{1+u}-int{left( frac{1}{1+u}+frac{1}{1-u} right)du}=-frac{1}{1-u}-frac{1}{1+u}-int{frac{du}{1+u}}-int{frac{du}{1-u}}$

$=-frac{1}{1-u}-frac{1}{1+u}-ln left| 1+u right|+ln left| u-1 right|+C=frac{1}{u-1}-frac{1}{1+u}+ln left| frac{u-1}{u+1} right|+C$

$xrightarrow{,}{{I}_{3}}=frac{1}{u-1}-frac{1}{1+u}+ln left| frac{u-1}{u+1} right|+C=frac{1}{sin t-t}-frac{1}{sin t+1}+ln left| frac{sin t-1}{sin t+1} right|+C.$

Lại có $x=2tan tLeftrightarrow tan t=frac{x}{2}xrightarrow{,}frac{1}{{{cos }^{2}}t}=1+{{tan }^{2}}t=1+frac{{{x}^{2}}}{4}Leftrightarrow {{cos }^{2}}t=frac{4}{4+{{x}^{2}}}xrightarrow{,}{{sin }^{2}}t=frac{{{x}^{2}}}{4+{{x}^{2}}}$

$Leftrightarrow sin t=frac{x}{sqrt{4+{{x}^{2}}}}xrightarrow{,}{{I}_{3}}=frac{1}{frac{x}{sqrt{4+{{x}^{2}}}}-1}-frac{1}{frac{x}{sqrt{4+{{x}^{2}}}}+1}+ln left| frac{frac{x}{sqrt{4+{{x}^{2}}}}-1}{frac{x}{sqrt{4+{{x}^{2}}}}+1} right|+C.$

Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}-1}}}.$ b) ${{I}_{2}}=int{frac{dx}{{{x}^{2}}sqrt{{{x}^{2}}-4}}}.$ c) ${{I}_{3}}=int{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}}.$

Lời giải chi tiết

a) Đặt $x=frac{1}{sin t}Rightarrow left{ begin{array} {} dx=dleft( frac{1}{sin t} right)=frac{-cos tdt}{{{sin }^{2}}t} \ {} sqrt{{{x}^{2}}-1}=sqrt{frac{1}{{{sin }^{2}}t}-1} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} dx=frac{-cos tdt}{{{sin }^{2}}t} \ {} sqrt{{{x}^{2}}-1}=cot t \ end{array} right.$

$Rightarrow {{I}_{1}}=int{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}-1}}}=int{frac{-cos tdt}{{{sin }^{2}}t.cot t}}=-int{frac{sin tdt}{{{sin }^{2}}t}}=int{frac{dleft( cos t right)}{1-{{cos }^{2}}t}}$

$=int{frac{dleft( cos t right)}{left( 1-cos t right)left( 1+cos t right)}}=frac{1}{2}int{frac{left( 1-cos t right)+left( 1+cos t right)}{left( 1-cos t right)+left( 1+cos t right)}dleft( cos t right)}=frac{1}{2}ln left| frac{1+cos t}{1-cos t} right|+C.$

Từ phép đặt $x=frac{1}{sin t}Rightarrow {{cos }^{2}}t=1-{{sin }^{2}}t=1-frac{1}{{{x}^{2}}}Leftrightarrow cos t=frac{sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x}Rightarrow {{I}_{1}}=frac{1}{2}ln left| frac{1+frac{sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x}}{1-frac{sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x}} right|+C.$

b) Đặt $x=frac{2}{sin t}xrightarrow{,}left{ begin{array} {} dx=dleft( frac{2}{sin t} right)=frac{-2cos tdt}{{{sin }^{2}}t} \ {} sqrt{{{x}^{2}}-4}=sqrt{frac{4}{{{sin }^{2}}t}-4} \ end{array} right.overset{,}{longleftrightarrow}left{ begin{array} {} dx=frac{-2cos tdt}{{{sin }^{2}}t} \ {} sqrt{{{x}^{2}}-4}=2cos tRightarrow {{x}^{2}}sqrt{{{x}^{2}}-4}=frac{8cot t}{{{sin }^{2}}t} \ end{array} right.$

Khi đó, ${{I}_{2}}=int{frac{dx}{{{x}^{2}}sqrt{{{x}^{2}}-4}}=int{frac{-2cos tdt}{{{sin }^{2}}t.frac{8cot t}{{{sin }^{2}}t}}}=-frac{1}{4}int{sin tdt}=frac{1}{4}cos t}+C.$

Từ $x=frac{2}{sin t}xrightarrow{,}{{cos }^{2}}t=1-{{sin }^{2}}t=1-frac{4}{{{x}^{2}}}Leftrightarrow cos t=frac{sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x}xrightarrow{,}{{I}_{2}}=frac{sqrt{{{x}^{2}}-4}}{4x}+C.$

c) ${{I}_{3}}=int{frac{dx}{sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}}=int{frac{dleft( x-1 right)}{sqrt{{{left( x-1 right)}^{2}}-3}}}xrightarrow{t=x-1}{{I}_{3}}=int{frac{dt}{sqrt{{{t}^{2}}-3}}}=int{frac{dt}{sqrt{{{t}^{2}}-{{left( sqrt{3} right)}^{2}}}}}.$

Đặt $t=frac{sqrt{3}}{sin u}xrightarrow{,}left{ begin{array} {} dt=dleft( frac{sqrt{3}}{sin u} right)=frac{-sqrt{3}cos udu}{{{sin }^{2}}u} \ {} sqrt{{{t}^{2}}-3}=sqrt{frac{3}{{{sin }^{2}}u}-3} \ end{array} right.overset{,}{longleftrightarrow}left{ begin{array} {} dt=frac{-sqrt{3}cos udu}{{{sin }^{2}}u} \ {} sqrt{{{t}^{2}}-3}=sqrt{3}cot u \ end{array} right.$

$xrightarrow{,}{{I}_{3}}=int{frac{dt}{sqrt{{{t}^{2}}-3}}}=int{frac{-sqrt{3}cos udu}{{{sin }^{2}}u.sqrt{3}cot u}}=-int{frac{sin udu}{{{sin }^{2}}u}}=int{frac{dleft( cos u right)}{1-{{cos }^{2}}u}}=int{frac{dleft( cos u right)}{left( 1-cos u right)left( 1+cos u right)}}$

$=frac{1}{2}int{frac{left( 1-cos u right)+left( 1+cos u right)}{left( 1-cos u right)left( 1+cos u right)}dleft( cos u right)}=frac{1}{2}ln left| frac{1+cos u}{1-cos u} right|+C.$

$t=frac{sqrt{3}}{sin u}Rightarrow {{cos }^{2}}u=1-frac{3}{{{t}^{2}}}Leftrightarrow cos t=frac{sqrt{{{t}^{2}}-3}}{t}Rightarrow {{I}_{3}}=frac{1}{2}ln left| frac{1+frac{sqrt{{{t}^{2}}-3}}{t}}{1-frac{sqrt{{{t}^{2}}-3}}{t}} right|+C=frac{1}{2}ln left| frac{1+frac{sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}{x-1}}{1-frac{sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}{x-1}} right|+C.$

Bài tập 4: Cho nguyên hàm $I=int{{{x}^{2}}sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}.$ Bằng cách đặt $x=sin t,,,left( tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right] right)$ mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $I=int{left( 1-cos 4t right)dt}.$ B. $I=int{left( 1+cos 4t right)dt}.$

C. $I=frac{t}{8}-frac{sin 4t}{32}+C.$ D. $I=frac{t}{8}+frac{sin 4t}{32}+C.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $x=sin t,,left( tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right] right)Rightarrow left{ begin{array} {} dx=cos tdt \ {} sqrt{1-{{x}^{2}}}=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=left| cos t right|=cos t \ end{array} right.$

Khi đó $I=int{{{sin }^{2}}t.{{cos }^{2}}tdt}=frac{1}{4}int{{{sin }^{2}}2tdt}=frac{1}{8}int{left( 1-cos 4t right)dt}Rightarrow I=frac{t}{8}-frac{sin 4t}{32}+C.$ Chọn C.

Bài tập 5: Cho nguyên hàm $I=int{sqrt{{{x}^{2}}-9}dx}.$ Bằng cách đặt $x=frac{3}{cos t},$ với $tin left( 0,;,,frac{pi }{2} right).$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $I=-9int{frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{3}}t}dt}.$ B. $I=9int{frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{3}}t}dt}.$ C. $I=-9int{frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{4}}t}dt}.$ D. $I=9int{frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{4}}t}dt}.$

Lời giải chi tiết

Ta có $I=int{sqrt{frac{9}{{{cos }^{2}}t}-9}dleft( frac{3}{cos t} right)}=int{3sqrt{frac{1}{{{cos }^{2}}t}-1}.frac{-9}{{{cos }^{2}}t}.left( -sin t right)dt}$

$=9int{sqrt{frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{2}}t}}.frac{sin t}{{{cos }^{2}}t}dt}=9int{frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{3}}}dt}.$ Chọn B.

Bài tập 6: Tính nguyên hàm $I=int{frac{dx}{sqrt{4-{{x}^{2}}}}.}$

A. $I=arcsin frac{x}{2}+C.$ B. $I=x+C.$ C. $I=arccos frac{x}{2}+C.$ D. $I=arcsin x+C.$

Lời giải chi tiết

Đặt $x=2sin t,,left( tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right) right)Rightarrow left{ begin{array} {} dx=2cos tdt \ {} sqrt{4-{{x}^{2}}}=sqrt{4-{{sin }^{2}}t}=2left| cos t right|=2cos t \ end{array} right.$

Khi đó $I=int{frac{2cos tdt}{2cos t}}=int{dt=t+C}=arcsin frac{x}{2}+C.$ Chọn A.

Tổng quát: $int{frac{dx}{sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=arcsin frac{x}{a}+C,,left( a>0 right)$

Bài tập 7: Tính nguyên hàm $I=int{frac{dx}{sqrt{1-x-{{x}^{2}}}}}.$

A. $I=arcsin frac{x+1}{sqrt{5}}+C.$ B. $I=arcsin frac{2x+1}{2sqrt{5}}+C.$

C. $I=arcsin left( 2x+1 right)+C.$ D. $I=arcsin frac{2x+1}{sqrt{5}}+C.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=int{frac{dx}{sqrt{1-x-{{x}^{2}}}}}=int{frac{dx}{sqrt{frac{5}{4}-{{left( frac{1}{2}+x right)}^{2}}}}}=int{frac{dleft( x+frac{1}{2} right)}{sqrt{frac{5}{4}-{{left( frac{1}{2}+x right)}^{2}}}}}$

$=arcsin frac{x+frac{1}{2}}{frac{sqrt{5}}{2}}+C=arcsin frac{2x+1}{sqrt{5}}+C.$ Chọn D.

Bài tập 8: Tính nguyên hàm $I=int{frac{{{x}^{2}}dx}{sqrt{{{left( 1-{{x}^{2}} right)}^{5}}}}}$ bằng cách đặt $x=sin t,,left( tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right) right)$ ta được:

A. $I=2{{tan }^{2}}t+C.$ B. $I=frac{{{tan }^{3}}t}{3}+C.$ C. $I=frac{{{tan }^{2}}t}{2}+C.$ D. $I=frac{{{tan }^{5}}t}{5}+C.$

Lời giải chi tiết

Đặt $x=sin t,,left( tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right) right)Rightarrow left{ begin{array} {} dx=cos tdt \ {} sqrt{1-{{x}^{2}}}=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=left| cos t right|=cos t \ end{array} right..$

Khi đó: $I=int{frac{{{sin }^{2}}t.cos tdt}{{{cos }^{5}}t}}=int{frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{2}}t}.frac{1}{{{cos }^{2}}t}dt}=int{{{tan }^{2}}tdleft( tan t right)}=frac{{{tan }^{3}}t}{3}+C.$ Chọn B.

Bài tập 9: Tính nguyên hàm $I=int{sqrt{frac{1+x}{1-x}}dx}$ bằng cách đặt $x=cos 2t,,left( tin left( 0;frac{pi }{2} right) right)$ ta được:

A. $I=-4int{{{cos }^{2}}tdt}.$ B. $I=-2int{{{cos }^{2}}tdt}.$ C. $I=-4int{si{{n}^{2}}tdt}.$ D. $I=-4int{frac{{{cos }^{3}}t}{sin t}dt}.$

Lời giải chi tiết

Đặt $x=cos 2tRightarrow dx=-2sin 2tdt=-4sin tcos tdt.$

Mặt khác $sqrt{frac{1+cos 2t}{1-cos 2t}}=sqrt{frac{2{{cos }^{2}}t}{2{{sin }^{2}}t}}=sqrt{frac{{{cos }^{2}}t}{{{sin }^{2}}t}}=left| frac{cos t}{sin t} right|=frac{cos t}{sin t}$

Khi đó $I=int{frac{cos t}{sin t}.left( -4sin tcos t right)dt}=-4int{{{cos }^{2}}tdt.}$ Chọn A.

Bài tập 10: Tính nguyên hàm $I=int{frac{sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x}dx}$ bằng cách đặt $x=frac{1}{cos t},,left( tin left( 0;frac{pi }{2} right) right)$ ta được.

A. $I=int{{{tan }^{3}}xdx}.$ B. $I=int{{{tan }^{2}}xdx}.$ C. $I=int{{{cot }^{3}}xdx}.$ D. $I=int{{{cot }^{2}}xdx}.$

Lời giải chi tiết

Đặt $x=frac{1}{cos t},,left( tin left( 0;frac{pi }{2} right) right)Rightarrow dx=frac{-{{left( cos t right)}^{prime }}}{{{cos }^{2}}t}dt=frac{sin t}{{{cos }^{2}}t}dt$

Lại có: $sqrt{frac{1}{{{cos }^{2}}t}-1}=sqrt{{{tan }^{2}}t}=left| tan t right|=tan t$

Do đó $I=int{frac{tan t}{frac{1}{cos t}}.frac{sin t}{{{cos }^{2}}t}dt}=int{{{tan }^{2}}tdt}.$ Chọn B.

.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button