Kiến thức

Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có đáp án chi tiết cực hay.-Tự Học 365

Bạn đang xem: Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có đáp án chi tiết cực hay.-Tự Học 365

Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có đáp án chi tiết cực hay.

Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có đáp án chi tiết cực hay.

Bài tập vận dụng!

Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có đáp án chi tiết cực hay.

Dưới đây là bài tập trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) $I=int{{{sin }^{3}}x.{{cos }^{2}}xdx}$

b) $I=int{{{sin }^{3}}x.{{cos }^{5}}xdx}$

c) $I=int{{{sin }^{2}}x.{{cos }^{2}}xdx}$

d) $I=int{{{sin }^{4}}xdx}$

Lời giải chi tiết

a) $I=int{{{sin }^{3}}x.{{cos }^{2}}xdx=-int{{{sin }^{2}}x.{{cos }^{2}}xdleft( cos x right)=-int{left( 1-{{cos }^{2}}x right){{cos }^{2}}xdleft( cos x right)}}}$

$xrightarrow{t=cos x}I=int{left( {{t}^{2}}-1 right){{t}^{2}}dt=int{left( {{t}^{4}}-{{t}^{2}} right)dt=frac{{{t}^{5}}}{5}-frac{{{t}^{3}}}{3}+C=frac{{{cos }^{5}}x}{5}-frac{{{cos }^{3}}x}{3}+C}}$

b) $I=int{{{sin }^{3}}x.{{cos }^{5}}xdx=-int{{{sin }^{2}}x.{{cos }^{5}}xdleft( cos x right)=-int{left( 1-{{cos }^{2}}x right){{cos }^{5}}xdleft( cos x right)}}}$

$xrightarrow{t=cos x}I=int{left( {{t}^{2}}-1 right){{t}^{5}}dt=int{left( {{t}^{7}}-{{t}^{5}} right)dt=frac{{{t}^{8}}}{8}-frac{{{t}^{6}}}{6}+C=frac{{{cos }^{8}}x}{8}-frac{{{cos }^{6}}x}{6}+C}}$

c) $I=int{{{sin }^{2}}x.{{cos }^{2}}xdx=int{{{left( operatorname{sinx}.cosx right)}^{2}}dx=frac{1}{4}int{{{left( sin 2x right)}^{2}}dx}}}$

$=frac{1}{8}int{left( 1-cos 4x right)dx=frac{x}{8}-frac{sin 4x}{32}+C}$

d) $I=int{{{sin }^{4}}xdx=int{{{left( {{sin }^{2}}x right)}^{2}}dx=int{{{left( frac{1-cos 2x}{2} right)}^{2}}dx}}}$

$begin{array} {} =frac{1}{4}int{left( 1-2cos 2x+{{cos }^{2}}2x right)dx=frac{1}{4}int{left( 1-2cos 2x+frac{1+cos 4x}{2} right)}dx} \ {} =frac{1}{8}int{left( 3-4cos 2x+cos 4x right)dx=frac{3x}{8}-frac{sin 2x}{4}+frac{sin 4x}{32}+C} \ end{array}$

Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) $I=int{frac{{{cos }^{3}}x}{1+sin x}dx}$

b) $I=int{frac{left( 2+cos x right)dx}{operatorname{sinx}}}$

c) $I=int{frac{dx}{sin x.{{cos }^{2}}x}}$

d) $I=int{frac{dx}{{{sin }^{4}}x.{{cos }^{2}}x}}$

Lời giải chi tiết

a) $I=int{frac{{{cos }^{3}}x}{1+sin x}dx}=int{frac{{{cos }^{2}}xdleft( sin x right)}{1+sin x}=int{frac{left( 1-{{sin }^{2}}x right)dleft( sin x right)}{1+sin x}=int{left( 1-sin x right)dleft( sin x right)=sin x-frac{{{sin }^{2}}x}{2}+C}}}$

b) $begin{array} {} I=int{frac{left( 2+cos x right)dx}{sin x}=int{frac{2dx}{sin x}+int{frac{cos xdx}{sin x}=int{frac{2sin xdx}{{{sin }^{2}}x}+int{frac{dleft( sin x right)}{sin x}=-int{frac{2dleft( cos x right)}{1-{{cos }^{2}}x}+ln left| sin x right|}}}}}} \ {} =ln left| sin x.frac{cos x-1}{cos x+1} right|+C \ end{array}$

c) $begin{array} {} I=int{frac{dx}{sin x.{{cos }^{2}}x}=int{frac{sin xdx}{{{sin }^{2}}x.{{cos }^{2}}x}=-int{frac{dleft( cos x right)}{left( 1-{{cos }^{2}}x right){{cos }^{2}}x}xrightarrow{t=cos x}I=int{frac{dt}{{{t}^{2}}left( {{t}^{2}}-1 right)}}}}} \ {} =int{left( frac{1}{{{t}^{2}}-1}-frac{1}{{{t}^{2}}} right)dt=frac{1}{2}ln left| frac{t-1}{t+1} right|+frac{1}{t}+C=frac{1}{2}ln left| frac{cos x-1}{cos x+1} right|+frac{1}{cos x}+C} \ end{array}$

d)$I=int{frac{dx}{{{sin }^{4}}x.{{cos }^{2}}x}=int{frac{{{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x}{{{sin }^{4}}x{{cos }^{2}}x}dx=int{frac{dx}{{{sin }^{2}}x.{{cos }^{2}}x}+int{frac{dx}{{{sin }^{4}}x}}}}}$

$begin{array} {} =int{frac{{{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x}{{{sin }^{2}}x{{cos }^{2}}x}dx+int{frac{{{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x}{{{sin }^{4}}x}dx}} \ {} =int{left( frac{1}{{{cos }^{2}}x}+frac{1}{{{sin }^{2}}x} right)dx+int{left( frac{1}{{{sin }^{2}}x}+frac{1}{{{sin }^{2}}x}.{{cot }^{2}}x right)dx}} \ {} =tan x-2cot x-int{{{cot }^{2}}xdleft( cot x right)=tan x-2cot x-frac{{{cot }^{3}}x}{3}+C} \ end{array}$

Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau:

a) $I=int{{{tan }^{4}}x}dx$

b) $I=int{frac{{{tan }^{4}}x}{cos 2x}dx}$

c) $I=int{sin 2xcos 3xdx}$

d) $I=int{{{sin }^{2}}xcos 3xdx}$

Lời giải chi tiết

a)$I=int{{{tan }^{4}}xdx=int{{{tan }^{2}}x{{tan }^{2}}xdx=int{{{tan }^{2}}xleft( frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1 right)dx}}}$

$=int{frac{{{tan }^{2}}x}{{{cos }^{2}}x}dx}-int{{{tan }^{2}}xdx}=int{{{tan }^{2}}xdleft( tan x right)-int{left( frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1 right)dx}=frac{{{tan }^{3}}x}{4}-tan x+x+C}$

b)$I=int{frac{{{tan }^{4}}x}{cos 2x}dx=int{frac{{{tan }^{4}}xdx}{{{cos }^{2}}x-{{sin }^{2}}x}=int{frac{frac{{{tan }^{4}}x}{{{cos }^{2}}x}}{1-{{tan }^{2}}x}dxxrightarrow{t=tan x}I=int{frac{{{t}^{4}}dt}{1-{{t}^{2}}}}}}}$

$begin{array} {} =int{frac{{{t}^{4}}-1+1}{1-{{t}^{2}}}dt=-int{left( {{t}^{2}}+1+frac{1}{{{t}^{2}}-1} right)dt=-frac{{{t}^{3}}}{3}-t-frac{1}{2}ln left| frac{t-1}{t+1} right|+C}} \ {} Rightarrow I=-frac{{{tan }^{3}}t}{3}-tan t-frac{1}{2}ln left| frac{tan t-1}{tan t+1} right|+C \ end{array}$

c) $I=int{sin 2xcos 3xdx=frac{1}{2}int{left( sin 5x-sin x right)dx=-frac{cos 5x}{10}+frac{operatorname{cosx}}{2}+C}}$

d) $I=int{frac{1-cos 2x}{2}cos 3xdx}=frac{1}{2}int{left( cos 3x-cos 2xcos 3x right)dx}$

$=frac{1}{2}frac{sin 3x}{3}-frac{1}{2}int{cos 2xcos 3xdx=frac{sin 3x}{6}-frac{1}{4}int{left( cos 5x+cos x right)dx=frac{sin 3x}{6}-frac{sin 5x}{20}-frac{operatorname{sinx}}{4}+C}}$

Bài tập 4: Xét các mệnh đề sau:

(1). $int{frac{dx}{sin x}=ln left| frac{cos x-1}{cos x+1} right|+C}$

(2) $int{{{sin }^{6}}xcos xdx=frac{{{sin }^{7}}x}{7}+C}$

(3) $int{frac{{{sin }^{2}}x}{{{cos }^{4}}x}dx=frac{{{tan }^{3}}x}{3}+C}$

(4) $int{{{cos }^{3}}xdx=-sin x+frac{{{sin }^{3}}x}{3}+C}$

Số mệnh đề đúng là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải chi tiết

Ta có: $int{frac{dx}{operatorname{sinx}}=int{frac{sin xdx}{{{sin }^{2}}x}=int{frac{dleft( cos x right)}{{{cos }^{2}}x-1}=frac{1}{2}ln left| frac{operatorname{cosx}-1}{cos x+1} right|+C}}}$

$begin{array} {} int{{{sin }^{6}}xcos xdx=int{{{sin }^{6}}xdleft( sin x right)=frac{{{sin }^{7}}x}{7}+C}} \ {} int{frac{{{sin }^{2}}x}{{{cos }^{4}}x}dx}=int{{{tan }^{2}}x}.frac{1}{{{cos }^{2}}x}dx=int{{{tan }^{2}}xdleft( tan x right)=frac{{{tan }^{3}}x}{3}+C} \ {} int{{{cos }^{3}}xdx=int{{{cos }^{2}}xdleft( sin x right)}=int{left( 1-{{sin }^{2}}x right)dleft( sin x right)=operatorname{sinx}-frac{{{sin }^{3}}x}{3}+C}} \ end{array}$

Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B

Bài tập 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f’left( x right)=x+sin xsin 2x.$ Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của $fleft( frac{pi }{2} right)$ là:

A. $fleft( frac{pi }{2} right)=frac{{{pi }^{2}}}{4}+frac{2}{3}$ B. $fleft( frac{pi }{2} right)=frac{{{pi }^{2}}}{4}+frac{8}{3}$ C. $fleft( frac{pi }{2} right)=frac{{{pi }^{2}}}{2}+frac{2}{3}$ D. $fleft( frac{pi }{2} right)=frac{{{pi }^{2}}}{2}+frac{8}{3}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $fleft( x right)=int{f’left( x right)dx=frac{{{x}^{2}}}{2}+int{2{{sin }^{2}}xcos xdx}=frac{{{x}^{2}}}{2}+2int{{{sin }^{2}}xdleft( sin x right)}=frac{{{x}^{2}}}{2}+frac{2{{sin }^{3}}x}{3}+C}$

Lại có: $fleft( 0 right)=C=2Rightarrow fleft( frac{pi }{2} right)=frac{{{pi }^{2}}}{4}+frac{8}{3}$ . Chọn B

Bài tập 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f’left( x right)=frac{{{sin }^{3}}x}{{{cos }^{5}}x}.$ Biết rằng $fleft( frac{pi }{4} right)=2.$ Tính giá trị của $fleft( frac{pi }{3} right)$

A. $fleft( frac{pi }{3} right)=0$ B. $fleft( frac{pi }{3} right)=16$ C. $fleft( frac{pi }{3} right)=4$ D. $fleft( frac{pi }{3} right)=2$

Lời giải chi tiết

Ta có: $fleft( x right)=int{f’left( x right)dx}=int{frac{{{sin }^{3}}x}{{{cos }^{3}}x}.frac{dx}{{{cos }^{2}}x}=int{{{tan }^{3}}xdleft( tan x right)=frac{{{tan }^{4}}x}{4}+C}}$

Lại có: $fleft( frac{pi }{4} right)=2Rightarrow frac{1}{4}+C=2Rightarrow C=frac{7}{4}Rightarrow fleft( frac{pi }{3} right)=frac{9}{4}+frac{7}{4}=4$ . Chọn C

Bài tập 7: Tìm nguyên hàm $I=int{frac{sin 2xdx}{{{left( 2+operatorname{s}text{inx} right)}^{2}}}}$

A. $I=2ln left( 2+sin x right)+frac{4}{2+sin x}+C$ B. $I=2ln left( 2+sin x right)+frac{2}{2+sin x}+C$

C. $I=ln left( 2+sin x right)+frac{2}{2+sin x}+C$ D. $I=-2ln left( 2+sin x right)-frac{4}{2+sin x}+C$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$begin{array} {} I=int{frac{sin 2xdx}{{{left( 2+sin x right)}^{2}}}=int{frac{2sin xcos xdx}{{{left( 2+sin x right)}^{2}}}=int{frac{2sin xdleft( sin x right)}{{{left( 2+sin x right)}^{2}}}}}} \ {} =int{frac{2left( 2+sin x right)-4}{{{left( 2+sin x right)}^{2}}}dleft( sin x right)=int{left[ frac{2}{2+sin x}-frac{4}{{{left( 2+sin x right)}^{2}}} right]dleft( sin x right)}} \ {} =2ln left( 2+sin x right)+frac{4}{2+sin x}+C \ end{array}$

(do 2 + sinx > 0). Chọn A

Bài tập 8: Biết rằng $I=int{frac{{{operatorname{sinxcos}}^{2}}xdx}{1+cos x}=acos x+bcos 2x-ln left( 1+cos x right)+C(a;bin mathbb{R})}$ . Giá trị của a + b là

A. $a+b=-frac{3}{4}$ B. $a+b=frac{5}{4}$ C. $a+b=frac{3}{4}$ D. $a+b=-frac{5}{4}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=-int{frac{{{cos }^{2}}xdleft( cos x right)}{1+cos x}xrightarrow{t=cos x}-int{frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=int{left( -t+1-frac{1}{t+1} right)dt}}}$

$begin{array} {} =-frac{{{t}^{2}}}{2}+t-ln left| 1+t right|+C=-frac{{{cos }^{2}}x}{2}+cos x-ln left( 1+cos x right)+C \ {} =-frac{1}{4}cos 2x+cos x-ln left( 1+cos x right)+C+frac{1}{4} \ end{array}$

Do đó: $a=1,b=frac{-1}{4}Rightarrow a+b=frac{3}{4}.$ Chọn C

Bài tập 9: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{1}{{{left( 2sin x+3cos x right)}^{2}}}$ và $Fleft( 0 right)=frac{5}{6}.$ Khi đó:

A. $Fleft( x right)=frac{-1}{4tan x+6}+1$ B. $Fleft( x right)=frac{1}{4tan x+6}+frac{2}{3}$ C. $Fleft( x right)=frac{-1}{2tan x+3}+frac{7}{6}$ D. $Fleft( x right)=frac{1}{2tan x+3}+frac{1}{2}$

Lời giải chi tiết

Ta có $fleft( x right)=int{frac{dx}{{{left( 2sin x+3cos x right)}^{2}}}}=int{frac{dx}{{{cos }^{2}}x{{left( 2tan ,x+3 right)}^{2}}}=int{frac{dleft( tan ,x right)}{{{left( 2tan ,x+3 right)}^{2}}}=-frac{1}{2left( 2tan ,x+3 right)}}}+C$

Do $Fleft( 0 right)=frac{5}{6}Rightarrow frac{-1}{6}+C=frac{5}{6}Rightarrow C=1$ $Rightarrow Fleft( x right)=frac{-1}{4tan x+6}+1$. Chọn A

Bài tập 10: Tính nguyên hàm $int{frac{operatorname{tanx}}{cos xsqrt{1+{{cos }^{2}}x}}dx}$

A. $I=sqrt{{{tan }^{2}}x+2}+C$ B. $I=sqrt{{{cos }^{2}}x+2}+C$ C. $I=sqrt{{{tan }^{2}}x+1}+C$ D. $I=sqrt{{{cos }^{2}}x+1}+C$

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=int{frac{tan xdx}{{{cos }^{2}}xsqrt{frac{1}{{{cos }^{2}}x}+1}}=int{frac{tan xdx}{{{cos }^{2}}xsqrt{{{tan }^{2}}x+2}}xrightarrow{t=tan x}int{frac{tdt}{sqrt{2+{{t}^{2}}}}}}}$

$=frac{1}{2}int{frac{dleft( {{t}^{2}}+2 right)}{sqrt{{{t}^{2}}+2}}=sqrt{{{t}^{2}}+2}+C=sqrt{{{tan }^{2}}x+2}+C.}$ Chọn A

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button