Kiến thức

Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án chi tiết-Tự Học 365

Bạn đang xem: Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án chi tiết-Tự Học 365

Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án chi tiết

Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Bài tập vận dụng!

Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án

Một số bài tập trắc nghiệm đạo hàm hàm mũ và logarit có Lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}$

A. $y’={{2}^{2{{x}^{2}}+x}}.$ B. $y’={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}ln 2.$

C. $y’=left( 4x+1 right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}ln 2.$ D. $y’=left( 2x+1 right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}ln 2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}Rightarrow y’={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}.ln 2.{{left( 2{{x}^{2}}+x+1 right)}^{prime }}=left( 4x+1 right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}ln 2.$ Chọn C.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=x.{{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

A. $y’=left( 2x+1 right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$ B. $y’=left( 2{{x}^{2}}+x right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

C. $y’=left( 2{{x}^{2}}+x+1 right){{e}^{{{x}^{2+x}}}}.$ D. $y’=left( 2{{x}^{2}}+x+2 right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y’={{e}^{{{x}^{2}}+x}}+x{{left( {{e}^{{{x}^{2}}+x}} right)}^{prime }}={{e}^{{{x}^{2}}+x}}+x.{{e}^{{{x}^{2}}+x}}.left( 2x+1 right)={{e}^{{{x}^{2}}+x}}left( 2{{x}^{2}}+x+1 right).$ Chọn C.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số $y=frac{x+1}{{{4}^{x}}}$

A. $y’=frac{1-2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{2x}}}$ B. $y’=frac{1+2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{2x}}}$

C. $y’=frac{1-2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}$ D. $y’=frac{1+2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y’=frac{{{4}^{x}}-left( {{4}^{x}} right)’.left( x+1 right)}{{{left( {{4}^{x}} right)}^{2}}}=frac{{{4}^{x}}-{{4}^{x}}ln 4.left( x+1 right)}{{{4}^{2x}}}=frac{{{4}^{x}}left[ 1-2left( x+1 right)ln 2 right]}{{{4}^{2x}}}=frac{1-2left( x+1 right)ln 2}{{{4}^{x}}}$

Hay $y’=frac{1-2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{2x}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số $y={{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+1 right)$

A. $y’=frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}.$ B. $y’=frac{2x+1}{{{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+2 right).ln 2}.$

C. $y’=frac{left( 2x+1 right)ln 2}{{{x}^{2}}+x+1}.$ D. $y’=frac{2x+1}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y’=frac{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{prime }}}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)ln 2}=frac{2x+1}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)ln 2}.$ Chọn D.

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số $y=sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}$

A. $y’=frac{ax+b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{{{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{3}}}}.$ B. $y’=frac{ax+b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}}.$

C. $y’=frac{4ax+4b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{{{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{3}}}}.$ D. $y’=frac{4ax+4b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y=sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}={{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{frac{1}{4}}}Rightarrow y’=frac{1}{4}{{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{frac{-3}{4}}}.left( 4ax+4b{{x}^{3}} right)$

$=frac{ax+b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{{{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{3}}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số $fleft( x right)={{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-x right).$ Tính $f’left( 2 right)$

A. $f’left( 2 right)=frac{3}{2}.$ B. $f’left( 2 right)=frac{3}{2}{{log }_{2}}e.$ C.$f’left( 2 right)=frac{3ln 2}{2}.$ D. $f’left( 2 right)=frac{2}{3ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $f’left( x right)=frac{2x-1}{left( {{x}^{2}}-x right)ln 2}Rightarrow f’left( 2 right)=frac{3}{2ln 2}=frac{3}{2}{{log }_{2}}e.$ Chọn B.

Ví dụ 7: Giá trị của tham số $m$ để $y’left( e right)=2m+1$ với $y=ln left( 2x+1 right)$ là:

A. $frac{1+2e}{4e-2}.$ B. $frac{1+2e}{4e+2}.$ C. $frac{1-2e}{4e+2}.$ D. $frac{1-2e}{4e-2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y’=frac{2}{2x+1}Rightarrow y’left( e right)=frac{2}{2e+1}=2m+1Leftrightarrow frac{2}{2e+1}-1=2mLeftrightarrow frac{1-2e}{2e+1}=2mLeftrightarrow m=frac{1-2e}{2+4e}.$

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hàm số $fleft( x right)=ln left( 2{{e}^{x}}+m right)$ thỏa mãn $f’left( -ln 2 right)=frac{3}{2}.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $min left( 1;3 right).$ B. $min left( -5;-2 right).$ C. $min left( 1;+infty right).$ D. $min left( -1;0 right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f’left( x right)=frac{2{{e}^{x}}}{2{{e}^{x}}+m},$ lại có ${{e}^{-ln 2}}={{2}^{-ln e}}=frac{1}{2}$

Do đó $f’left( -ln 2 right)=frac{3}{2}Leftrightarrow frac{1}{1+m}=frac{3}{2}Leftrightarrow m=-frac{1}{3}.$ Chọn D.

Ví dụ 9: Cho hàm số $y={{log }_{3}}left( {{3}^{x}}+x right),$ biết $y’left( 1 right)=frac{a}{4}+frac{1}{bln 3}$ với $a,bin mathbb{Z}.$ Giá trị của $a+b$ là:

A. $a+b=2.$ B. $a+b=7.$ C. $a+b=4.$ D. $a+b=5.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y’=frac{{{left( {{3}^{x}}+x right)}^{prime }}}{left( {{3}^{x}}+x right)ln 3}=frac{{{3}^{x}}ln 3+1}{left( {{3}^{x}}+x right)ln 3}$

Suy ra $y’left( 1 right)=frac{3ln 3+1}{4ln 3}=frac{3}{4}+frac{1}{4ln 3}Rightarrow left{ begin{align} & a=3 \ & b=4 \ end{align} right.Rightarrow a+b=7.$ Chọn B.

Ví dụ 10: Cho hàm số $fleft( x right)=frac{ln left( {{x}^{2}}+1 right)}{x}.$ Biết rằng $f’left( 1 right)=aln 2+b$ với $a,bin mathbb{Z}.$ Tính $a-b.$

A. $a-b=1.$ B. $a-b=-1.$ C. $a-b=2.$ D. $a-b=-2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f’left( x right)=frac{{{left[ ln left( {{x}^{2}}+1 right) right]}^{prime }}.x-ln left( {{x}^{2}}+1 right)}{{{x}^{2}}}=frac{frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}-ln left( {{x}^{2}}+1 right)}{{{x}^{2}}}$

Do đó $f’left( 1 right)=1-ln 2Rightarrow left{ begin{align} & a=-1 \ & b=1 \ end{align} right.Rightarrow a-b=-2.$ Chọn D.

Ví dụ 11: Cho hàm số $y=frac{ln x}{x},$ mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $2y’+xy”=-frac{1}{{{x}^{2}}}.$ B. $y’+xy”=frac{1}{{{x}^{2}}}.$ C. $y’+xy”=-frac{1}{{{x}^{2}}}.$ D. $2y’+xy”=frac{1}{{{x}^{2}}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $xy=ln xRightarrow left( xy right)’=left( ln x right)’Rightarrow x’y+y’x=frac{1}{x}Leftrightarrow y+xy’=frac{1}{x}$

Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta có: $y’+y’+xy”=-frac{1}{{{x}^{2}}}Leftrightarrow 2y’+xy”=-frac{1}{{{x}^{2}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 12: Tính đạo hàm của hàm số $y={{log }_{2}}left( sqrt[3]{3x+1} right)$ trên tập xác định của nó

A. $frac{1}{left( 3x+1 right)ln 2}.$ B. $frac{1}{sqrt[3]{3x+1}ln 2}.$ C. $frac{ln 2}{3x+1}.$ D. $frac{1}{3left( 3x+1 right)ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{log }_{2}}left( sqrt[3]{3x+1} right)=frac{1}{3}{{log }_{2}}left( 3x+1 right)Rightarrow y’=frac{1}{3}.frac{3}{left( 3x+1 right)ln 2}=frac{1}{left( 3x+1 right)ln 2}.$ Chọn A.

Ví dụ 13: Đạo hàm của hàm số $y=sqrt[7]{cos x}$ là:

A. $frac{-sin x}{7.sqrt[7]{{{cos }^{8}}x}}.$ B. $frac{sin x}{7.sqrt[7]{{{cos }^{6}}x}}.$ C. $frac{1}{7.sqrt[7]{{{cos }^{6}}x}}.$ D. $frac{-sin x}{7.sqrt[7]{{{cos }^{6}}x}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y=sqrt[7]{cos x}={{left( cos x right)}^{frac{1}{7}}}Rightarrow y’=frac{1}{7}{{left( cos x right)}^{frac{-6}{7}}}.left( cos x right)’=frac{-sin x}{7.sqrt[7]{{{cos }^{6}}x}}.$ Chọn D.

Ví dụ 14: Tính đạo hàm của hàm số $y=ln frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}$

A. $y’=frac{4x}{{{x}^{4}}-1}.$ B. $y’=frac{-4x}{{{x}^{4}}-1}.$ C. $y’=frac{-4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}.$ D. [y’=frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}.]

Lời giải chi tiết:

Ta có $y=ln frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}=ln left( {{x}^{2}}+1 right)-ln left( {{x}^{2}}-1 right)Rightarrow y’=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}-frac{2x}{{{x}^{2}}-1}=frac{2xleft( {{x}^{2}}-1-{{x}^{2}}-1 right)}{left( {{x}^{2}}+1 right)left( {{x}^{2}}-1 right)}=frac{-4x}{{{x}^{4}}-1}.$

Chọn B.

Ví dụ 15: Đạo hàm của hàm số $fleft( x right)={{3}^{x}}.{{log }_{3}}x$ là:

A. $f’left( x right)={{3}^{x}}left( ln x+frac{1}{xln 3} right).$ B. $f’left( x right)={{3}^{x}}left( ln x+frac{1}{ln 3} right).$

C. $f’left( x right)={{3}^{x}}left( ln x+frac{ln 3}{x} right).$ D. $f’left( x right)={{3}^{x}}left( {{log }_{3}}x+frac{1}{xln 3} right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f’left( x right)={{3}^{x}}ln 3.lo{{g}_{3}}x+frac{{{3}^{x}}}{xln 3}={{3}^{x}}left( ln x+frac{1}{xln 3} right).$ Chọn A.

Ví dụ 16: Đạo hàm của hàm số $y={{log }_{sqrt{3}}}left| {{x}^{2}}-1 right|$ là:

A. $y’=frac{2x}{left( {{x}^{2}}-1 right)ln 3}.$ B. $y’=frac{4x}{left| {{x}^{2}}-1 right|ln 3}.$

C. $y’=frac{4x}{left( {{x}^{2}}-1 right)ln 3}.$ D. $y’=frac{2x}{left| {{x}^{2}}-1 right|ln sqrt{3}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y’=frac{2x}{left( {{x}^{2}}-1 right)ln sqrt{3}}=frac{2x}{left( {{x}^{2}}-1 right).frac{1}{2}ln 3}=frac{4x}{left( {{x}^{2}}-1 right)ln 3}.$ Chọn C.

Ví dụ 17: Cho hàm số $fleft( x right)=ln left( {{x}^{2}}-2x right).$ Tính đạo hàm của hàm số [y=frac{1}{{{f}^{2}}left( x right)}]

A. $y’=frac{2x-2}{{{left( {{x}^{2}}-2x right)}^{2}}}.$ B. $y’=frac{4-4x}{left( {{x}^{2}}-2x right){{ln }^{3}}left( {{x}^{2}}-2x right)}.$

C. $y’=frac{x-1}{2left( {{x}^{2}}-2x right)}.$ D. $y’=frac{-4x+4}{left( {{x}^{2}}-2x right){{ln }^{4}}left( {{x}^{2}}-2x right)}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y=frac{1}{{{f}^{2}}left( x right)}Rightarrow y’=frac{-{{left[ {{f}^{2}}left( x right) right]}^{prime }}}{{{f}^{4}}left( x right)}=-frac{2fleft( x right).f’left( x right)}{{{f}^{4}}left( x right)}=-frac{2f’left( x right)}{{{f}^{3}}left( x right)}$

Trong đó $f’left( x right)=frac{2x-2}{{{x}^{2}}-2x}Rightarrow y’=frac{4-4x}{left( {{x}^{2}}-2x right).{{ln }^{3}}left( {{x}^{2}}-2x right)}.$ Chọn B.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button