Kiến thức

Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án chi tiết-Tự Học 365

Bạn đang xem: Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án chi tiết-Tự Học 365

Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án chi tiết

Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án chi tiết

Bài tập vận dụng!

Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân từng phần với hàm ẩn có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $fleft( x right)$ thỏa mãn điều kiện $intlimits_{0}^{1}{left( x+1 right)f’left( x right)dx=10}$ và $2fleft( 1 right)-fleft( 0 right)=2$. Tính tích phân $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$

A. $I=-12$.                                   B. $I=8$.                                              C. $I=12$.                                     D. $I=-8$.

Lời giải chi tiết

Đặt $left{ begin{array}  {} u=x+1 \  {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} du=dx \  {} v=fleft( x right) \ end{array} right.$ , khi đó $intlimits_{0}^{1}{left( x+1 right)f’left( x right)dx=left. left( x+1 right)fleft( x right) right|}_{0}^{1}-intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$

$Leftrightarrow 10=2fleft( 1 right)-fleft( 0 right)-ILeftrightarrow I=2fleft( 1 right)-fleft( 0 right)-10=2-10=-8$. Chọn D.

Bài tập 2: Cho $intlimits_{0}^{2}{left( 1-2x right){f}’left( x right)dx=3fleft( 2 right)+fleft( 0 right)=2016}$. Tích phân $intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)dx}$ bằng:

A. 4032.                                         B. 1008.                                               C. 0.                                                D. 2016.

Lời giải chi tiết

Xét tích phân $intlimits_{0}^{2}{left( 1-2x right){f}’left( x right)dx}$

Đặt $left{ begin{array}  {} u=1-2x \  {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}  {} du=-2dx \  {} v=fleft( x right) \ end{array} right.Rightarrow I=left. left( 1-2x right)fleft( x right) right|_{0}^{2}+2intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}$

$=3fleft( 2 right)+fleft( 0 right)+2intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}Rightarrow 2016=-2016+2intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}Rightarrow intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}=2016$

Xét $J=intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)dx}$, đặt $t=2xRightarrow dt=2dx$, đổi cận suy ra $J=intlimits_{0}^{2}{fleft( t right).frac{dt}{2}=frac{1}{2}}intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}=1008$. Chọn B.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ thỏa mãn điều kiện $intlimits_{0}^{1}{frac{{f}’left( x right)}{x+1}dx=1}$ và $fleft( 1 right)-2fleft( 0 right)=2$. Tính tích phân $intlimits_{0}^{1}{frac{fleft( x right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}dx}$

A.                                                    B.                                                           C.                                                     D.

Lời giải chi tiết

Đặt $left{ begin{array}  {} u=frac{1}{x+1} \  {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ du=-frac{dx}{begin{array}  {} {{left( x+1 right)}^{2}} \  {} v=fleft( x right) \ end{array}} right.$ , khi đó $intlimits_{0}^{1}{frac{{f}’left( x right)}{x+1}dx=left. frac{fleft( x right)}{x+1} right|}_{0}^{1}+intlimits_{0}^{1}{frac{fleft( x right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}dx}$

Suy ra $1=left. frac{fleft( x right)}{x+1} right|_{0}^{1}+IRightarrow I=1-left[ frac{fleft( 1 right)}{2}-fleft( 0 right) right]=1-frac{1}{2}left[ fleft( 1 right)-2fleft( 0 right) right]=1-frac{1}{2}.2=0$. Chọn A.

Bài tập 4: Cho $Fleft( x right)={{x}^{2}}+{{ln }^{3}}x$ là một nguyên hàm của hàm số $frac{fleft( x right)}{x}$. Tính tích phân $intlimits_{1}^{e}{{f}’left( x right)}ln xdx$

A. $I={{e}^{2}}+3e$.                B. $I={{e}^{2}}+3$.                         C. $I=-{{e}^{2}}+e$.                 D. $I={{e}^{2}}+4$.

Lời giải chi tiết

Đặt $left{ begin{array}  {} u=ln x \  {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}  {} du=frac{1}{x}dx \  {} v=fleft( x right) \ end{array} right.Rightarrow I=left. ln x.fleft( x right) right|_{1}^{e}-intlimits_{1}^{e}{frac{fleft( x right)}{x}}dx$

$Rightarrow I=left. left[ ln xfleft( x right)-{{x}^{2}}-{{ln }^{3}}x right] right|_{1}^{e}=fleft( e right)-{{e}^{2}}-2+2=fleft( e right)-{{e}^{2}}$

Mặt khác $fleft( x right)=x{F}’left( x right)=xleft( 2x+frac{3{{ln }^{2}}x}{x} right)Rightarrow fleft( e right)=2{{e}^{2}}+3$

Do đó $I={{e}^{2}}+3$. Chọn B.

Bài tập 5: Cho $F=left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right).{{e}^{3x}}$. Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{{f}’left( x right).{{e}^{3x}}}dx$

A. $I=e$.                                       B. $I=e+1$.                                        C. $I=-e+1$.                                D. $I=-e$.

Lời giải chi tiết

Đặt $left{ begin{array}  {} u={{e}^{3x}} \  {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}  {} du=3{{e}^{3x}}dx \  {} v=fleft( x right) \ end{array} right.$

$Rightarrow I=left. {{e}^{3x}}fleft( x right) right|_{0}^{1}-3intlimits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}fleft( x right)dx=left. left[ {{e}^{3x}}fleft( x right)-3left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} right){{e}^{3x}} right] right|}_{0}^{1}$

Trong đó $fleft( x right)=frac{{F}’left( x right)}{{{e}^{3x}}}=frac{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x}{{{e}^{2x}}}Rightarrow I=left. {{e}^{x}}left( -2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x right) right|_{0}^{1}=e$. Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục và luôn dương trên $mathbb{R}$. Biết rằng $fleft( 1 right)=2,,,intlimits_{0}^{1}{frac{xdx}{fleft( x right)}}=ln sqrt{2}$. Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}.{f}’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}}dx$

A. $I=2+ln 2$.                           B. $I=-frac{1}{2}+ln 2$.              C. $I=-frac{1}{2}-ln 2$.        D. $I=-2+ln 2$.

Lời giải chi tiết

Đặt $left{ begin{array}  {} u={{x}^{2}} \  {} dv=frac{{f}’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}  {} du=2xdx \  {} v=-frac{1}{fleft( x right)} \ end{array} right.$

$Rightarrow I=left. frac{-{{x}^{2}}}{fleft( x right)} right|_{0}^{1}+2intlimits_{0}^{1}{frac{x}{fleft( x right)}=frac{-1}{fleft( 1 right)}+2ln sqrt{2}}=-frac{1}{2}+ln 2$. Chọn B.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button