Kiến thức

Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, dt và mp

Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, dt và mp

Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng

Bài tập vận dụng!

Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, dt và mp

Bạn đang xem: Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, dt và mp

1) Góc giữa 2 mặt phẳng .

Gọi $varphi $ là góc giữa 2 mặt phẳng (P)(Q) ta có:

$cos varphi =left| cos left( overrightarrow{{{n}_{(P)}}};overrightarrow{{{n}_{Q}}} right) right|=frac{left| A.A’+B.B’+C.C’ right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.sqrt{A{{‘}^{2}}+B{{‘}^{2}}+C{{‘}^{2}}}}({{0}^{o}}le varphi ,9{{0}^{o}})$

2) Góc giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vecto chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{1}}}=({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{2}})$và đường thẳng ${{d}_{2}}$ có vecto chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{2}}}=({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}})$. Góc $varphi $ giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức

$cos varphi =left| cos left( overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|=frac{left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}} right|}{sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}({{0}^{o}}le varphi ,9{{0}^{o}})$

3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương là $overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $overrightarrow{n}(A;B;C)$. Gọi $varphi $ là góc giữa d(P) thì $varphi $ được tính theo công thức

$sin varphi =left| cos left( overrightarrow{u};overrightarrow{n} right) right|=frac{left| A.a+B.b+C.c right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}({{0}^{o}}le varphi ,9{{0}^{o}})$

Bài tập trắc nghiệm về góc trong không gian có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hai mặt phẳng $(P):2x-y-2z-5=0$ và $(Q):x-y+1=0$. Góc giữa hai mặt phẳng (P)(Q) là:

A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{135}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;-1;-2);overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;0)$

Khi đó: $cos left( (P);(Q) right)=left| cos left( overrightarrow{{{n}_{1}}};overrightarrow{{{n}_{2}}} right) right|=frac{left| 2.1+2-2.0 right|}{sqrt{4+1+4}.sqrt{2}}=frac{3}{3sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}}Rightarrow widehat{left( (P);(Q) right)}={{45}^{0}}$

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0$ và $(Q):x+2y-z+3=0$. Gọi $alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (P) (Q) khi đó $cos alpha $ bằng

A. $-frac{sqrt{6}}{9}.$ B. $frac{-2sqrt{5}}{15}.$ C. $frac{2sqrt{5}}{15}.$ D. $frac{sqrt{6}}{9}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;-1;2);overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;2;-1)$

Khi đó: $cos alpha =left| cos left( overrightarrow{{{n}_{1}}};overrightarrow{{{n}_{2}}} right) right|=frac{left| 2-2-2 right|}{sqrt{4+1+4}.sqrt{1+4+1}}=frac{2}{3sqrt{6}}=frac{sqrt{6}}{9}.$

Bài tập 3: Cho hai mặt phẳng $(P):mx+2y+mz-12=0$ và $(Q):x+my+z+3=0$. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và (Q) bằng ${{45}^{o}}$

A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=overrightarrow{{{n}_{1}}}=(m;2;m);overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;m;1)$

Khi đó: $cos {{45}^{o}}=left| cos left( overrightarrow{{{n}_{1}}};overrightarrow{{{n}_{2}}} right) right|=frac{left| m+2m+m right|}{sqrt{2{{m}^{2}}+4}.sqrt{{{m}^{2}}+2}}=frac{4left| m right|}{sqrt{2}left( {{m}^{2}}+2 right)}$

$Leftrightarrow frac{sqrt{2}}{2}=frac{4left| m right|}{sqrt{2}({{m}^{2}}+2)}Leftrightarrow {{m}^{2}}+2=4left| m right|xrightarrow{t=left| m right|>0}{{t}^{2}}-4t+2=0Rightarrow t=2pm sqrt{2}Rightarrow m=pm sqrt{2pm sqrt{2}}$

Suy ra có 4 giá trị của m.

Bài tập 4: Cho hai mặt phẳng $(P):4x+my+mz+1=0$ và $(Q):x-y-3=0$. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và (Q) bằng ${{60}^{o}}$

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=overrightarrow{{{n}_{1}}}=(4;m;m);overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;0)$

Khi đó: $cos {{60}^{o}}=left| cos left( overrightarrow{{{n}_{1}}};overrightarrow{{{n}_{2}}} right) right|=frac{left| 4-m right|}{sqrt{2{{m}^{2}}+16}.sqrt{2}}=frac{left| 4-m right|}{2sqrt{{{m}^{2}}+8}}$

$Leftrightarrow frac{1}{2}=frac{left| 4-m right|}{2sqrt{{{m}^{2}}+8}}Leftrightarrow {{m}^{2}}+8={{(4-m)}^{2}}Leftrightarrow 8=16-8mLeftrightarrow m=1$

Bài tập 5: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x}{-1}=frac{y+1}{4}=frac{z}{3}$ và ${{d}_{2}}:frac{x}{1}=frac{y+1}{-4}=frac{z+2}{-3}$. Góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:

A. ${{0}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

$overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-1;4;3);overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-4;-3)Rightarrow cos ({{d}_{1}};{{d}_{2}})=left| cos left( overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|=frac{left| -26 right|}{sqrt{1+16+9}.sqrt{1+16+9}}=1.$

Do đó $widehat{left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} right)}={{0}^{o}}.$

Bài tập 6: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:left{ begin{align} & x=t \ & y=5-2t \ & z=14-3t \ end{align} right.$ và ${{d}_{2}}:left{ begin{align} & x=1-4t \ & y=2+t \ & z=-1+5t \ end{align} right.$. Góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:

A. ${{0}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

$overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-2;3);overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-4;1;5)Rightarrow cos ({{d}_{1}};{{d}_{2}})=left| cos left( overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|=frac{left| -4-2-15 right|}{sqrt{1+4+9}.sqrt{16+1+25}}=frac{21}{14sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{2}.$

Suy ra $widehat{left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} right)}={{30}^{o}}.$

Bài tập 7: Cho 4 điểm $A(1;0;0);,B(0;1;0);,C(0;0;1)$ và $D(-2;1;-1)$. Góc giữa 2 đường thẳng ABCD là:

A. ${{45}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có: $overrightarrow{{{u}_{AB}}}=overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-1;1;0);overrightarrow{{{u}_{CD}}}=overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;1;-2)$

Khi đó: $cos left( widehat{AB;CD} right)=left| cos left( overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|=frac{left| 2+1 right|}{sqrt{2}.3}=frac{1}{sqrt{2}}Rightarrow left( widehat{AB;CD} right)={{45}^{o}}.$

Bài tập 8: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-1}{2}=frac{y}{2}=frac{z+1}{-1}$ và ${{d}_{2}}:frac{x+1}{1}=frac{y-2}{-2}=frac{z+3}{1}$. Cosin góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:

A. $frac{sqrt{6}}{3}.$ B. $frac{sqrt{3}}{2}.$ C. $frac{1}{sqrt{6}}.$ D.$frac{1}{sqrt{2}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có: $overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;2;-1);overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-2;1)Rightarrow cosleft( {{d}_{1}};{{d}_{2}} right)=left| cos left( overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|=frac{left| 2-4-1 right|}{3.sqrt{6}}=frac{3}{3sqrt{6}}=frac{1}{sqrt{6}}.$

Suy ra $left( widehat{{{d}_{1}};{{d}_{2}}} right)={{30}^{o}}.$

Bài tập 9: Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:left{ begin{align} & x=-1+t \ & y=-tsqrt{2} \ & z=2+t \ end{align} right.$ và ${{d}_{2}}:left{ begin{align} & x=2+t \ & y=1+tsqrt{2} \ & z=2+mt \ end{align} right.$. Tìm giá trị của m sao cho góc giữa ai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ bằng ${{60}^{o}}.$

A. $m=1.$ B. $m=-1.$ C.$m=1$ và $m=-1.$ D.$m=0.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-sqrt{2};1);overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;sqrt{2};m)Rightarrow cos left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} right)=left| cos left( overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|=frac{left| 1-2+m right|}{2.sqrt{{{m}^{2}}+3}}=frac{left| m-1 right|}{2.sqrt{{{m}^{2}}+3}}$

Do $left( widehat{{{d}_{1}};{{d}_{2}}} right)={{60}^{o}}Rightarrow cos {{60}^{o}}=frac{left| m-1 right|}{2sqrt{{{m}^{2}}+3}}Leftrightarrow frac{left| m-1 right|}{2.sqrt{{{m}^{2}}+3}}=frac{1}{2}.$

$Leftrightarrow left| m-1 right|=sqrt{{{m}^{2}}+3}Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1={{m}^{2}}+3Leftrightarrow m=-1.$

Bài tập 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $left( alpha right):x-y+2z+1=0$ và đường thẳng $Delta :frac{x}{1}=frac{y}{2}=frac{z-1}{-1}.$ Góc giữa đường thẳng $Delta $ và mặt phẳng $(alpha )$ bằng

A. ${{150}^{o}}.$ B. ${{60}^{o}}.$ C. ${{30}^{o}}.$ D.${{120}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có$overrightarrow{{{n}_{alpha }}}=(1;-1;2);overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=(1;2;-1)Rightarrow sin left( widehat{(alpha );Delta } right)=left| cos left( widehat{overrightarrow{{{n}_{alpha }}};overrightarrow{Delta }} right) right|=frac{left| 1-2-2 right|}{sqrt{6}.sqrt{6}}=frac{1}{2}Rightarrow left( widehat{left( alpha right);Delta } right)={{30}^{o}}.$

Bài tập 11: Cho đường thẳng $d:left{ begin{align} & x=6+5t \ & y=2+t \ & z=1 \ end{align} right.$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+1=0.$ Góc hợp giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-2;0);overrightarrow{{{u}_{d}}}=(5;1;0)Rightarrow sinleft( widehat{(P);Delta } right)=left| cos left( widehat{overrightarrow{{{n}_{(P)}}};overrightarrow{Delta }} right) right|=frac{left| 15-2 right|}{sqrt{13}.sqrt{26}}=frac{1}{sqrt{2}}Rightarrow left( widehat{(P);Delta } right)={{45}^{o}}.$

Bài tập 12: Cho đường thẳng $d:frac{x-3}{2}=frac{y-2}{1}=frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x+4y+5z+8=0.$ Góc hợp giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;4;5);overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;1)Rightarrow sin left( widehat{(P);Delta } right)=left| cos left( widehat{overrightarrow{{{n}_{(P)}}};overrightarrow{Delta }} right) right|=frac{left| 6+4+5 right|}{sqrt{6}.sqrt{50}}=frac{sqrt{3}}{2}Rightarrow left( widehat{(P);Delta } right)={{60}^{o}}.$

Bài tập 13: Cho đường thẳng $d:frac{x+1}{2}=frac{y}{-1}=frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+5z+3=0.$ Gọi $alpha $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó $sin alpha $ bằng

A. $frac{13}{2sqrt{57}}.$ B. $frac{13}{sqrt{57}}.$ C. $frac{13}{sqrt{75}}.$ D. $frac{13}{2sqrt{75}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-2;5);overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;-1;1)Rightarrow sin left( widehat{(P);Delta } right)=left| cos left( widehat{overrightarrow{{{n}_{(P)}}};overrightarrow{Delta }} right) right|=frac{left| 6+2+5 right|}{sqrt{38}.sqrt{6}}=frac{13}{2sqrt{57}}.$

Bài tập 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:frac{x}{1}=frac{y-1}{-1}=frac{z+2}{-2}$ và mặt phẳng $(P):2x+y-z+5=0.$ Góc giữa $d$ và (P) là:

A. ${{60}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{30}^{o}}.$ D. ${{150}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(2;1;-1);overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;-1;-2)Rightarrow sin left( widehat{(P);Delta } right)=left| cos left( widehat{overrightarrow{{{n}_{(P)}}};overrightarrow{Delta }} right) right|=frac{left| 2-1+2 right|}{sqrt{6}.sqrt{6}}=frac{1}{2}.$

Suy ra $left( widehat{(P);Delta } right)={{30}^{o}}.$

Bài tập 15: Cho đường thẳng $d:frac{x-1}{3}=frac{y-1}{4}=frac{z}{5}$ và mặt phẳng $(P):2x+my+mz-1=0.$ Gọi $alpha $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho $alpha ={{60}^{o}}.$ Tổng các phần tử của tập hợp S là:

A. 0. B. – 19. C. – 18. D. – 20.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(2;m;m);overrightarrow{{{u}_{d}}}=(3;4;5)Rightarrow sin left( widehat{(P);Delta } right)=left| cos left( widehat{overrightarrow{{{n}_{(P)}}};overrightarrow{Delta }} right) right|=frac{left| 6+4m+5m right|}{sqrt{4+2{{m}^{2}}}.sqrt{50}}$

$Leftrightarrow sin {{60}^{o}}=frac{left| 9m+6 right|}{10sqrt{{{m}^{2}}+2}}Leftrightarrow frac{sqrt{3}}{2}=frac{left| 9m+6 right|}{10sqrt{{{m}^{2}}+2}}Leftrightarrow 3.25left( {{m}^{2}}+2 right)=9{{(3m+2)}^{2}}$

$Leftrightarrow 3(9{{m}^{2}}+12m+4)=25{{m}^{2}}+50Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+36m-38=0Leftrightarrow left[ begin{align} & m=1 \ & m=-19. \ end{align} right.$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button